W s t e p d o a n a l i z y m a t e m a t y c z n e j 1
W S T E P D O A N A L I Z Y M A T E M A T Y C Z N E J
1 R a c h u n e k z d a D, f u n k c j a z d a n i o w a , k w a n t y f i k a t o r y
Z a d . 1 U d o w o d n i n a s t e p u j a c e p r a w a r a c h u n k u z d a D ( t a u t o l o g i e ) :
a ) p (" ( q ) ; d ) [ ( p ! q ) '" ( q ! r ) ] ! ( p ! r ) ;
b ) p ! ( p ) ; e ) [ p '" ( ( p ! q ) ) ] ! q ;
c ) ( p ! q ) ! ( q ! p ) ; f ) p (" ( q '" r ) ! ( p (" q ) '" ( p (" r ) .
Z a d . 2 S p r a w d z i , c z y n a s t e p u j a c e s c h e m a t y z d a D s a t a u t o l o g i a m i :
a ) [ ( p (" q ) '" ( p ! q ) ] ! ( q ! p ) ; i ) [ <" ( p ! q ) ] ! ( p '" <" q ) ;
b ) p ! [ ( <" q '" q ) ! r ] ;
j ) [ ( p '" q ) ! p ] (" q ;
c ) [ ( p ! q ) '" p ] ! q ;
k ) [ <" ( p '" q ) ] ! [ <" p (" <" q ] ;
d ) [ ( p ! q ) '" ( q ! p ) ] ! ( p (" q ) ;
l ) ( p '" q ) ! ( p (" q ) ;
e ) [ ( p '" q ) ! r ] ! ( p ! r ) '" ( q ! r ) ;
m ) [ p ! ( q (" r ) ] ! r ;
f ) ( p ! q ) ! [ ( p '" q ) ! p ] ;
n ) { [ ( p (" r ) ! q ] '" r } ! ( <" p (" q ) ;
g ) ( p (" q (" r ) ! { <" p ! [ ( q (" r ) '" <" p ] } ;
h ) [ p '" ( q (" r ) ] ! [ ( p '" q ) (" ( p '" r ) ] ; o ) [ ( p ! q ) ! p ] ! q .
Z a d . 3 W y z n a c z y w y k r e s f u n k c j i z d a n i o w e j , k t r e j z a k r e s e m z m i e n n o [c i j e s t z b i r X , o k r e [l o n e j w
n a s t e p u j a c y s p o s b :
+
a ) ( x ) a" ( l o g x d" 0 ) , X = ;
b ) ( x ) a" ( | x - 1 | < 2 '" 2 x > 0 ) , X = ;
c ) ( x ) a" ( s i n x = 0 ) , X = ;
d ) ( x ) a" ( x 2 < 3 ! x > 1 ) , X = ;
e ) ( x ) a" ( x 2 = 5 ) , X = ;
f ) ( x ) a" ( e x - 1 > - 1 ) , X = ;
g ) ( x ) a" ( | x | = 4 ) , X = ;
h ) ( ( a n ) ) a" ( c i a g ( a n ) j e s t m o n o t o n i c z n y i o g r a n i c z o n y ) , X = z b i r c i a g w l i c z b o w y c h r z e c z y w i s t y c h ;
i ) ( ( a n ) ) a" ( l i m a n = 1 i a n j e s t z b i e |n y ) , X = z b i r c i a g w l i c z b o w y c h r z e c z y w i s t y c h ;
n ! "
j ) ( ( f ) ) a" ( f ( x ) > 0 d l a x " [ 0 , 1 ] ) , X = z b i r f u n k c j i o k r e [l o n y c h n a p r z e d z i a l e [ 0 , 1 ] .
Z a d . 4 K t r e s p o [r d p o d a n y c h f o r m u l s a z d a n i a m i ( o k r e [l i i c h w a r t o [ l o g i c z n a ) , a k t r e f u n k c j a m i
z d a n i o w y m i :
" "
"
3 2
a ) x 2 + 6 x + 9 = x + 3 (" x 2 = x ;
c ) l o g x > 0 ! c o s = - ;
4 2
x " x "
x " +
d ) l n x e" 0 ;
b ) x 2 > l o g ( 0 , 5 ) ! y 2 = 1 0 ;
e ) s i n 2 x e" 2 ;
x " y "
x "
2 0 0 7 - M
W s t e p d o a n a l i z y m a t e m a t y c z n e j 2
f ) s i n 2 x + c o s 2 x = 1 ; m ) y - x = 2 ;
x " x " y "
n ) x : x 2 - 4 < 0 = ( 0 , 2 ) ;
g ) s i n 2 x + c o s 2 x = 1 ;
x "
"
o ) f n ( x ) j e s t z b i e |n y ;
n = 1
h ) x 2 + y 2 = 4 ;
n
1
p ) l i m 1 - = e ;
n
n ! "
i ) x 2 + y 2 = 4 ;
x " y "
q ) ( s i n x ) > 0 ;
x "
j ) x 2 + y 2 = 4 ;
r ) ( s i n x ) < 0 ;
x " y "
x "
k ) x 2 + y 2 = 4 ;
s ) a 2 < b 2 ! a < b ;
y " x "
a , b "
l ) x 2 + y 2 = 4 ; t ) a 2 = b 2 ! a = b .
x " a " b "
Z a d . 5 N a p i s a z a p r z e c z e n i e p o d a n e g o z d a n i a i o k r e [l i j e g o w a r t o [ l o g i c z n a :
a ) ( x > 0 ! x > 1 ) ; g ) ( x 2 + y 2 e" 1 ! y = - x ) ;
x " x " y "
h ) ( n > x (" 3 n < x ) ;
b ) x 2 < 0 (" x 2 < 0 ;
x " n "
x " x "
i ) ( y = s i n x (" x = s i n y ) ;
c ) l o g 2 ( | x | + 1 ) > 0 (" x 3 d" - 1 ;
x " y "
x "
"
"
j ) x 2 = x ! x 4 > 0 ;
d ) 2 - x < 2 '" x 4 d" 0 ;
x "
x "
k ) l o g 2 x < y 2 '" | x | = 2 y ;
e ) n 2 > 4 ! 2 n > 4 ;
x > 0 y < 0
n "
f ) ( x y > 0 (" | x | + y d" 0 ) ; l ) x 2 + y 2 = 1 .
x " y " y d"1 x > - 1
Z a d . 6 " W y z n a c z y z b i r { x " : ( x ) } , j e [l i f u n k c j a z d a n i o w a o k r e [l o n a j e s t w n a s t e p u j a c y s p o s b :
a ) ( x ) a" ( 3 x - y = 0 ) ; d ) ( x ) a" ( 3 x - x y = 0 ) ;
y "
y "
b ) ( x ) a" ( y = s i n x ) ;
e ) ( x ) a" ( y s i n x = 0 ) ;
y "
y "
c ) ( x ) a" ( y 2 + x y + 1 < 0 ) ;
f ) ( x ) a" ( a r c s i n ( x + 1 ) = 0 ) .
y "
2
Z a d . 7 W y z n a c z y z b i r ( x , y ) " : ( x , y ) , j e [l i f u n k c a z d a n i o w a o k r e [l o n a j e s t w n a s t e p u j a c y
s p o s b :
a ) ( x , y ) a" ( x - 2 y + 1 = 0 ) ; e ) ( x , y ) a" ( | x - y | = 4 ) ;
b ) ( x , y ) a" ( x y e" 0 ) ; f ) ( x , y ) a" ( | x | + | y | d" 1 ) ;
c ) ( x , y ) a" ( x y = 1 ) ; g ) ( x , y ) a" ( y > x + 1 '" y < 1 - x ) ;
d ) ( x , y ) a" ( x 2 + y 2 d" 9 ) ; h ) ( x , y ) a" ( y > x + 1 ! y < 1 - x ) .
Z a d . 8 Z a p i s a , u |y w a j a c s y m b o l i k w a n t y f i k a t o r w , n a s t e p u j a c e s f o r m u l o w a n i a i o k r e [l i i c h w a r t o [ l o g -
i c z n a ( o i l e s a z d a n i a m i ) :
a ) K a |d a l i c z b a n a t u r a l n a j e s t l i c z b a c a l k o w i t a .
2 0 0 7 - M
W s t e p d o a n a l i z y m a t e m a t y c z n e j 3
b ) I l o r a z l i c z b n a t u r a l n y c h n i e m u s i b y l i c z b a n a t u r a l n a .
c ) I l o r a z l i c z b n a t u r a l n y c h m o |e b y l i c z b a n a t u r a l n a .
d ) D l a k a |d e j l i c z b y w y m i e r n e j m o |n a d o b r a l i c z b e c a l k o w i t a t a k a , |e i c h i l o c z y n j e s t l i c z b a c a l k o w i t a .
e ) D l a k a |d e g o > 0 i s t n i e j e l i c z b a n a t u r a l n a K t a k a , |e d l a k a |d e g o n > K w y r a z y c i a g u a n s a w i e k s z e
o d .
f ) S u m a d w c h c i a g w z b i e |n y c h j e s t c i a g i e m z b i e |n y m .
g ) {a d n a l i c z b a r z e c z y w i s t a n i e j e s t r o z w i a z a n i e m r w n a n i a x 2 + 2 = 0 .
x
h ) F o r m u l a : ( x + 1 > 0 ) j e s t p r a w d z i w a d l a p e w n e j l i c z b y r z e c z y w i s t e j d o d a t n i e j .
i ) I s t n i e j e c i a g r o s n a c y .
j ) D l a k a |d e j l i c z b y c a l k o w i t e j x i l o c z y n f ( x ) f ( y ) j e s t d o d a t n i , o i l e y j e s t l i c z b a u j e m n a .
2 R a c h u n e k z b i o r w
Z a d . 9 W y z n a c z y A , B , A *" B , A )" B , A \ B , B \ A , A , B , j e [l i
a ) A = , B = [ - 1 , 3 ] ;
b ) A = , B = { x " : x 2 = 5 } ;
c ) A = [ 0 , 2 ] , B = { x " : | x - 1 | e" 1 } ;
d ) A = ( 0 , + ") , B = { x " : l o g 1 x d" 1 } .
2
Z a d . 1 0 W y z n a c z y z b i r p o t e g o w y 2 X w p r z y p a d k u , g d y
a ) X = "; d ) X = { ", a } ;
b ) X = { a , b , c } ; e ) X = ( 0 , 1 ) ;
c ) X = { { 1 } , { 1 , 2 } } ; f ) X = .
W s k a z a z b i o r y , d l a k t r y c h z b i r 2 X m a s k o Dc z o n a i l o [ e l e m e n t w .
Z a d . 1 1 " W y z n a c z y m o c n a s t e p u j a c y c h z b i o r w :
a ) A = "; g ) G = ( 0 , 1 ) ( 3 , 4 ) ;
b ) B = { "} ;
h ) H = z b i r l i c z b p o d z i e l n y c h p r z e z 5 ;
c ) C = { x " : x 2 - x = 1 } ;
i ) I = z b i r l i c z b c a l k o w i t y c h c z t e r o c y f r o w y c h ,
d ) D = { x " : x 2 - 4 > 0 } ;
k t r e m o |n a u t w o r z y z c y f r 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ;
e ) E = { 2 n + 1 : n " } ;
j ) G = z b i r p r z e d z i a l w p o s t a c i ( a , b ) , g d z i e
f ) F = { 0 , 1 } { 3 , 4 } ; a , b " .
Z a d . 1 2 W y z n a c z y i n a r y s o w a z b i r :
a ) { - 1 , 2 , 4 } { 2 , 5 } ; e ) [ - 1 , 4 ] ( 2 , 5 ] ;
b ) { - 1 , 3 , 4 } ( 1 , ") ;
f ) [ - 2 , 1 ] [ - 2 , 4 ) ;
c ) ;
2
d ) ( 2 , 5 ] ( - ", 1 ) ; g ) ( x , y ) " : y > x '" y < 2 x ;
2 0 0 7 - M
W s t e p d o a n a l i z y m a t e m a t y c z n e j 4
2 2
h ) ( x , y ) " : y e" | x | (" x 2 + y 2 < 1 ; l ) ( x , y ) " : x - y + 2 < 0 ! | x | + | y | d" 0 ;
2
i ) ( x , y ) " : y e" | x - 1 | '" y < | x + 1 | ;
2 1
m ) ( x , y ) " : x 2 + y 2 - 2 x - 2 y d" 0 ! x > ;
2
2
j ) ( x , y ) " : y > 2 x (" x > 2 y ;
2
2
n ) ( x , y ) " : y = l o g 2 ( | x | + 1 ) '" y e" 0 .
k ) ( x , y ) " : y > x 2 ! y = | x | ;
Z a d . 1 3 W y z n a c z y i n a r y s o w a z b i o r y A , B , A *" B , A )" B , A \ B , B \ A , A , B , g d z i e :
1
a ) A = [ - 1 , 1 ] [ 0 , 1 ] , B = , 4 ;
2
2
b ) A = ( x , y ) " : y > x , B = ( 0 , 1 ) ( - ", 2 ] .
Z a d . 1 4 " U d o w o d n i , |e d l a d o w o l n y c h z b i o r w A , B , C " X z a c h o d z a r w n o [c i :
a ) A )" ( B *" C ) = ( A )" B ) *" ( A )" C ) ; e ) ( A *" A ) = ";
b ) A *" ( B )" C ) = ( A *" B ) )" ( A *" C ) ; f ) ( A \ B ) *" B = A ;
c ) ( A )" B ) = A *" B ; g ) A ( B *" C ) = ( A B ) *" ( A C ) ;
d ) A \ ( B *" C ) = ( A \ B ) \ C ; h ) ( B )" C ) A = ( B A ) )" ( C A ) .
Z a d . 1 5 C z y d l a d o w o l n y c h z b i o r w A , B , C " X z a c h o d z a p o n i |s z e r w n o [c i ? U z a s a d n i o d p o w i e d z.
a ) A \ ( B )" C ) = ( A \ B ) )" ( A \ C ) ; e ) ( A *" B ) \ B = A ;
b ) ( A *" B ) = A )" B ; f ) ( A \ C ) B = ( A B ) )" ( C B ) ;
c ) A *" ( B \ C ) = ( A *" B ) \ ( A )" C ) ; g ) ( A \ B ) \ C = A \ ( B \ C ) ;
d ) A \ B = ( A *" B ) ; h ) A )" ( B \ C ) = ( A )" B ) \ ( A )" C ) .
Z a d . 1 6 W y z n a c z y ( n a r y s o w a ) k i l k a z b i o r w z p o d a n e j r o d z i n y , a n a s t e p n i e w y z n a c z y A n i A n ,
n " n "
j e [l i
1 1 1
a ) A n = - n , 3 + , n " ; f ) A n = 0 , 2 - ( 0 , n ) , n " ;
n n
b ) A n = ( - 1 ) n 1 , n ! , n " ;
g ) A n = { 1 , 2 , . . . , n } [ 0 , n ] , n " ;
n
1 1
1 1
c ) A n = , , n " ; h ) A n = - n , , n " ;
n
n + 1 n
i ) A n = { x " : c o s n x = 1 } , n " ;
d ) A n = [ n , n + 1 ] , n " ;
1 2
e ) A n = [ ( - 1 ) n , 1 + ] , n " ; j ) A n = ( x , y ) " : x " [ 0 , 1 ] '" 0 d" y d" x n .
2 n
Z a d . 1 7 W y z n a c z y ( n a r y s o w a ) k i l k a z b i o r w z p o d a n e j r o d z i n y , a n a s t e p n i e w y z n a c z y A t i A t , j e [l i
1 2
a ) A t = ( 0 , ) , t " ; g ) A t = ( x , y ) " : y e" t | x | , t " ;
+ +
t
t
b ) A t = ( 0 , ) , t " ;
+
t + 1
2
h ) A t = ( x , y ) " : y e" | x - t | , t " ;
c ) A t = { x " : | x | < t } , t " ;
+
2
i ) A t = ( x , y ) " : x 2 + y 2 d" t 2 , t " ;
d ) A t = { x " : x t d" 1 } , t " ; +
e ) A t = { x " : s i n x = t } , t " ;
2 1
j ) " A t = ( x , y ) " : x 2 + y 2 d" t 2 '" y e" t ,
2
f ) A t = [ - 1 , s i n t ] , t " ; t " .
+
2 0 0 7 - M
W s t e p d o a n a l i z y m a t e m a t y c z n e j 5
3 F u n k c j a w y m i e r n a , w a r t o [ b e z w z g l e d n a
Z a d . 1 8 R o z w i a z a r w n a n i a i n i e r w n o [c i :
x 2 + 1
a ) x 3 - 1 > 0 ;
h ) d" 2 ;
x
b ) x 3 - 5 x 2 + 6 x > 0 ;
2
c ) x 4 - 2 x 2 + 3 d" 0 ;
i ) x + > 3 ;
x
4 1
d ) - = 1 ;
x 2 - 4 2 - x
1 5
j ) 1 + < ;
x - 4 x + 3
1 6 - 4 x 2
e ) e" 0 ;
x - 3
x - 1 1 3
k ) - < + 2 ;
2 x 2 + x + 1
x 2 - 4 2 - x 2 + x
f ) < 0 ;
x 2 - 7 x + 1 2
3
1 1
l ) - 4 < < 1 .
g ) e" ;
x 2 - 1
x 4 x 3
2 x
Z a d . 1 9 R o z w i a z a n i e r w n o [ f ( - x ) < 2 f ( x ) , g d z i e f ( x ) = .
x + 1
( O d p . x " ( - ", - 1 ) *" ( 0 , 1 ) *" ( 3 , + ") )
Z a d . 2 0 R o z w i a z a r w n a n i a i n i e r w n o [c i :
a ) x 2 + 2 | x + 5 | - 1 0 = 0 ; h ) x 2 - 2 x > x ;
b ) | x - 2 | + | x | = 2 ;
1
i ) < 2 ;
| x - 4 |
c ) x 2 - 4 = 5 ;
1 2
d ) | x - 4 | e" 2 ;
j ) < ;
| x + 2 | | x - 1 |
e ) | 2 x - 3 | < x ;
k ) | x + 2 | - 3 | x | e" 2 ;
f ) | x + 1 | + x - 1 d" x 2 ;
" "
g ) x 2 + x + 3 < 3 ; l ) x 2 + 4 x + 4 + x 2 > 4 .
Z a d . 2 1 N a s z k i c o w a w y k r e s f u n k c j i :
1
e ) f ( x ) = x 2 - 4 | x | + 4 ;
a ) f ( x ) = ;
x 2
"
f ) f ( x ) = x 2 + 6 x + 9 ;
b ) f ( x ) = | 2 x - 4 | ;
"
g ) f ( x ) = x 4 - 4 x 2 + 4 ;
c ) f ( x ) = x 2 - x ;
1
d l a | x | < 1 ,
| x - 1 | d l a x < 1 ,
h ) f ( x ) =
x
d ) f ( x ) =
x 2 - x d l a x e" 1 ; 2 x - 1 d l a | x | e" 1 .
Z a d . 2 2 W y z n a c z y z b i o r y A )" B , A *" B , A \ B , B \ A , j e [l i :
x
a ) A = { x " : | 3 - x | d" 1 } , B = x " \ { 4 } : < 1 ;
x - 4
3 x + 2
b ) A = x " : x 2 + 2 e" 1 , B = x " \ { 2 } : < 2 .
x - 2
Z a d . 2 3 W y z n a c z y z b i r C = R \ ( A *" B ) , j e [l i
1
a ) A = x " \ { 0 } : + x e" 2 , B = { x " ; | x + 1 | e" 2 } ;
x
2 0 0 7 - M
W s t e p d o a n a l i z y m a t e m a t y c z n e j 6
x 2 + 1
b ) A = x " \ { 0 } : < - 1 , B = { x " : | x - 1 | d" 2 x } .
2 x
Z a d . 2 4 W y z n a c z y d z i e d z i n e f u n k c j i :
" "
a ) f ( x ) = 2 + x - x 2 ; d ) f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 ;
"
"
e ) f ( x ) = - 4 + 4 x - x 2 ;
b ) f ( x ) = 3 x - x 3 ;
1 + x
x
f ) f ( x ) = ( x - 2 ) .
c ) f ( x ) = ;
1 - x
1 + x
1
Z a d . 2 5 " F u n k c j a f : \ { 0 } ! o k r e [l o n a j e s t w z o r e m f ( x ) = + 1 . R o z w i a z a n i e r w n o [
x
f ( x ) > f ( 2 - x ) .
4 F u n k c j a w y k a d n i c z a
Z a d . 2 6 R o z w i a z a r w n a n i a i n i e r w n o [c i :
x + 1 x + 1 x
2 3 1 1 x 2 3 x
2
a ) = ;
g ) > ;
3 4 8 3 2
3 2
x + 1 x + 1 x
2 3 1
b ) < 8 ;
3 4 8
h ) 3 2 x + 1 + 5 3 x - 2 = 0 ;
1 2
-
1 1
2 x
c ) > ;
i ) 3 2 x + 1 + 5 3 x - 2 > 0 ;
3 2 7
" "
"
2 - 3 x
x x
j ) 4 - 2 + 1 e" 0 ;
d ) 7 x - 4 = 7 ;
2
1
e ) 5 x - 5 x + 4 = ;
k ) 9 x - 1 0 3 x + 9 d" 0 ;
2 5
2 3
1
f ) " 5 x 5 x 5 x d" ; l ) " 4 x - 2 5 2 x < 1 0 x .
5
Z a d . 2 7 W y z n a c z y m i e j s c a z e r o w e f u n k c j i f , j e [l i f ( x ) = 1 6 x + 4 x + 2 o r a z r o z w i a z a r w n a n i e f ( x ) = 3 6 .
" "
x - x
Z a d . 2 8 W y z n a c z y d z i e d z i n e , z b i r w a r t o [c i f u n k c j i d a n e j w z o r e m f ( x ) = 3 + 3 . N a s z k i c o w a j e j
w y k r e s .
Z a d . 2 9 W y z n a c z y z b i o r y : A = { x " : f ( x ) e" 0 } , A )" , A )" , j e [l i
a ) f ( x ) = 2 2 x - 4 - 1 7 2 x - 4 + 1 ; b ) f ( x ) = 3 x + 1 + 3 x - 1 - 3 0 .
Z a d . 3 0 N a s z k i c o w a w y k r e s f u n k c j i :
- 3 x d l a x < 1 , ( 1 ) x d l a x < 0 ,
2
a ) f ( x ) = 0 d l a x = 1 , b ) f ( x ) = 1 d l a x " [ 0 , 2 ) ,
"
2 x d l a x > 1 ; x d l a x e" 2 .
5 F u n k c j a l o g a r y t m i c z n a
Z a d . 3 1 R o z w i a z a r w n a n i a i n i e r w n o [c i :
a ) l o g 4 ( x + 3 ) - l o g 4 ( x - 1 ) = 2 - l o g 4 8 ; e ) l o g 2 x - l o g 3 x 3 + 2 = 0 ;
3
5 x + 4
l o g 4 ( x 2 - 1 )
b ) = 2 ;
f ) l o g 1 > 1 ;
l o g 4 ( x - 2 )
2 - 2
x
c ) l o g 3 ( 3 x - 8 ) = 2 - x ;
g ) l o g 3 ( 3 x - 8 ) d" 2 ;
1
d ) l o g ( 2 x - 4 x ) - l o g 8 = l o g 2 x - 1 - ; h ) l o g 2 ( 8 - x ) - l o g 2 ( x - 2 ) < 2 ;
4
2 0 0 7 - M
W s t e p d o a n a l i z y m a t e m a t y c z n e j 7
1 1 1
i ) l o g 3 ( x + 1 ) + l o g 3 x < l o g 3 2 7 ;
n ) + e" 1 ;
l o g x 1 - l o g x
"
j ) 3 - l o g 1 x < 1 ;
o ) " l o g 5 x + l o g 2 5 x = l o g 1 3 ;
2
5
1
k ) l o g 2 | x | + e" 1
2 p ) " 8 l o g 2 x = 4 x ;
l ) l n 2 x - l n x < 0 ;
q ) " l o g 2 x + l o g 2 x 2 + l o g 2 x 3 > l o g x 6 4 ;
m ) l o g 2 x - 1 d" 0 ;
1 r ) " l o g 1 x + 2 l o g 3 x < 3 .
3 3
Z a d . 3 2 W y z n a c z y d z i e d z i n e f u n k c j i f , j e [l i
a ) f ( x ) = l o g x 2 - 4 ; d ) f ( x ) = l n ( x - 2 ) ;
e ) f ( x ) = l o g 1 - x 2 + x - x 2 ;
b ) f ( x ) = l o g ( x + 2 ) - l o g ( 3 - x )
"
l o g ( 2 x - 4 x )
c ) f ( x ) = l n x - 2 ; f ) f ( x ) = .
l o g x
Z a d . 3 3 D a n a j e s t f u n k c j a f o k r e [l o n a w z o r e m f ( x ) = l o g 0 , 5 x 2 - 5 x + 4 - l o g 0 , 5 ( 5 x - 5 ) .
a ) W y z n a c z y d z i e d z i n e i m i e j s c a z e r o w e f u n k c j i f .
b ) R o z w i a z a n i e r w n o [ f ( x ) e" - 1 .
Z a d . 3 4 W y z n a c z y d z i e d z i n e f u n k c j i f o r a z p r z e d z i a l y , w k t r y c h f p r z y j m u j e w a r t o [c i d o d a t n i e :
3 x + 5
a ) f ( x ) = l o g x 2 + 2 x + 1 ;
b ) f ( x ) = l o g 1 .
2 - 3
x
x 2 - 3 x - 9
Z a d . 3 5 W y z n a c z y z b i r B = x " : l o g e" 0 '" x < 5 .
x - 4
6 F u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e
Z a d . 3 6 O b l i c z y :
5
a ) s i n ( - 1 7 ) - 2 c o s ( 3 + ) + t g ( 2 5 ) = b ) c t g ( 3 3 ) + s i n ( 1 5 0 %) + c o s ( - 1 2 0 %) =
4 3 2 4
Z a d . 3 7 R o z w i a z a r w n a n i a i n i e r w n o [c i :
"
a ) 2 s i n ( 2 x ) = 3 ; g ) | s i n x + 1 | d" 1 ;
b ) s i n x - c o s x = 0 ; h ) s i n 2 x - s i n x d" 0
"
1
3
i ) c o s 2 x > ;
c ) c o s ( 3 x ) < ;
4
2
x 1
j ) 6 c o s 2 x - 5 s i n x - 2 > 0 ;
d ) s i n e" ;
2 2
e ) 1 - | c o s x | > 0 ; k ) " 4 s i n 2 x - 4 | c o s x | - 1 > 0 ;
f ) | t g x | > 1 ; l ) c o s 4 x + 2 c o s 2 x - 1 d" 0 .
Z a d . 3 8 N a s z k i c o w a w y k r e s f u n k c j i :
a ) f ( x ) = 2 s i n | x | ; c ) f ( x ) = s i n x c o s x ;
b ) f ( x ) = | c o s 2 x | + 1 ; d ) f ( x ) = c o s 2 x .
2 0 0 7 - M
W s t e p d o a n a l i z y m a t e m a t y c z n e j 8
7 F u n k c j e c y k l o m e t r y c z n e
Z a d . 3 9 O b l i c z y :
7 3
a ) a r c s i n ( s i n ) + a r c s i n ( s i n ) = c ) a r c c o s ( c o s ) - a r c c t g ( s i n ( - ) )
6 6 4 2
"
b ) a r c t g ( - 3 ) + 3 a r c s i n 1 + 2 a r c c o s 0 = d ) s i n ( a r c s i n 1 ) c o s ( a r c s i n 0 ) =
Z a d . 4 0 R o z w i a z a r w n a n i a i n i e r w n o [c i
a ) a r c s i n x = 1 ; c ) a r c s i n ( 3 x + 9 ) d" ;
6
1
b ) a r c c o s ( x - 1 ) = ; d ) | a r c t g x | < .
2 4
Z a d . 4 1 W y z n a c z y d z i e d z i n e f u n k c j i :
- 1
a ) f ( x ) = a r c s i n ( x 2 - x - 1 ) ; c ) f ( x ) = a r c c o s ( - x 2 + x - 1 ) - ;
2
b ) f ( x ) = a r c c o s ( | 2 l o g x - 3 | ) ; d ) f ( x ) = a r c s i n x - .
4
Z a d . 4 2 N a s z k i c o w a w y k r e s f u n k c j i :
s g n x d l a | x | < 1 , | a r c t g x | d l a x = 0 ,
a ) f ( x ) = d ) f ( x ) =
a r c s i n x d l a | x | e" 1 ; a r c c o s x d l a x = 0 ;
b ) f ( x ) = | a r c s i n x | ;
e ) f ( x ) = - 1 a r c c t g ( x + 2 ) ;
2
c ) f ( x ) = - 2 a r c t g | x | ; f ) " f ( x ) = a r c s i n x + a r c c o s x ;
Z a d . 4 3 " W y k a z a , |e
a ) a r c s i n ( - x ) = - a r c s i n x ;
x "[ - 1 ; 1 ]
b ) a r c t g ( - x ) = - a r c t g x ;
x "
c ) a r c s i n x + a r c c o s x = ;
2
x "[ 0 ; 1 ]
d ) a r c t g x + a r c c t g x = ;
2
x "
1
e ) a r c t g x = a r c c t g .
x
x > 0
8 O b r a z , p r z e c i w o b r a z
Z a d . 4 4 N a s z k i c o w a w y k r e s f u n k c j i , w y z n a c z y D f , f [ D f ] , f [ A ] , f - 1 [ B ] , j e [l i
3 x d l a x < - 2 ,
a ) f ( x ) = A = [ - 3 , 1 ] , B = ( - ", 0 ) ;
x 2 - 4 d l a x e" - 2 ,
"
b ) f ( x ) = x - 2 + x 2 - 6 x + 9 , A = [ - 1 , 0 ] , B = ( 0 , 2 ) ;
1
c ) f ( x ) = x 2 - 2 x , A = [ - 1 , 3 ) *" { 0 } , B = ( - 1 , ) ;
2 2
d ) f ( x ) = 2 | x | , A = ( - 2 , 1 ) , B = [ 4 , + ") ;
| a r c t g x | d l a x d" 1 ,
e ) f ( x ) = A = [ - 1 , 1 ] , B = [ 0 , ) ;
6
- l n ( x - 3 ) d l a x e" 4 ,
x
1
f ) f ( x ) = - 1 , A = [ 1 , + ") , B = ( - ", 1 ] ;
2
2 0 0 7 - M
W s t e p d o a n a l i z y m a t e m a t y c z n e j 9
x 2 - 1
g ) f ( x ) = , A = ( - ", - 2 ) , B = [ - 3 , 3 ] ;
| x + 1 |
h ) f ( x ) = 3 s i n 2 x + 1 , A = ( 0 , ) , B = [ 4 , + ") .
2
x
1
Z a d . 4 5 F u n k c j a f : ! o k r e [l o n a j e s t w z o r e m f ( x ) = . W y z n a c z y t a k i z b i r A " , |e o b r a z
2
f [ A ] = ( 0 , 4 ] .
9 W a s n o [c i f u n k c j i : m o n o t o n i c z n o [, r |n o w a r t o [c i o w o [, p a r z y s t o [,
o k r e s o w o [
Z a d . 4 6 K o r z y s t a j a c z d e f i n i c j i z b a d a m o n o t o n i c z n o [ p o d a n y c h f u n k c j i :
x 2 - 4 d l a x e" 0 ,
a ) f ( x ) = x 3 + 3 x ;
e ) f ( x ) =
- 1 d l a x < 0 ;
b ) f ( x ) = x 2 - 1 ;
f ) f ( x ) = l n ( x 2 - 1 ) , x > 1 ;
"
g ) f ( x ) = 2 a r c t g ( - x ) + 1 ;
c ) f ( x ) = 1 - 3 x + 2 ;
1
"
h ) f ( x ) = .
d ) f ( x ) = x + x ;
1 - a r c s i n x
K t r e s p o [r d b a d a n y c h f u n k c j i s a r |n o w a r t o [c i o w e ?
Z a d . 4 7 Z b a d a r |n o w a r t o [c i o w o [ p o d a n y c h f u n k c j i :
1
c ) f ( x ) = a r c s i n ( 2 x - 1 ) ;
a ) f ( x ) = ;
x 2 + 1
x + 1 d l a x < 1 ,
b ) f ( x ) =
d ) f ( x ) = l o g ( | x - 1 | + 2 ) .
x 3 d l a x e" 1
Z a d . 4 8 Z b a d a p a r z y s t o [- n i e p a r z y s t o [ p o d a n y c h f u n k c j i :
x
f ) f ( x ) = s i n x + c o s x ;
a ) f ( x ) = ;
x 2 + 4
2 x + 1
g ) f ( x ) = x ;
b ) f ( x ) = s i n ( x 3 - x ) ;
2 x - 1
c ) f ( x ) = x | x | ; 1
h ) f ( x ) = x + ;
x
1
d ) f ( x ) = c o s ;
x - 1
x
i ) f ( x ) = l o g ;
x + 1
x 4 + 1
e ) f ( x ) = ;
j ) f ( x ) = | a r c s i n ( t g x ) | .
s i n x
Z a d . 4 9 W y z n a c z y o k r e s f u n k c j i f i n a s z k i c o w a j e j w y k r e s
a ) f ( x ) = 2 s i n 3 x ; e ) f ( x ) = c o s ( x ) ;
f ) f ( x ) = s i n x + | s i n x | ;
b ) f ( x ) = 3 c o s ( 1 x - 3 ) ;
2
1
g ) f ( x ) = s i n 2 x ;
c ) f ( x ) = t g x ;
2
d e f
d ) f ( x ) = - c t g ( 2 x + 1 ) ; h ) f ( x ) = x = m a x { k " : k d" x } .
Z a d . 5 0 N a s z k i c o w a w y k r e s f u n k c j i f : ! , j e [l i w i a d o m o , |e j e s t o k r e s o w a o o k r e s i e p o d s t a w o w y m
1
T = 1 o r a z f ( x ) = | 1 - 2 x | d l a x " [ 0 , 1 ] . W y z n a c z y z b i r A = x " : f ( x ) e" .
2
2 0 0 7 - M
W s t e p d o a n a l i z y m a t e m a t y c z n e j 1 0
Z a d . 5 1 K t r e z p o d a n y c h s t w i e r d z e D s a p r a w d z i w e ? U z a s a d n i o d p o w i e d z i n e g a t y w n e , p o d a j a c o d p o w i e d -
n i e p r z y k l a d y .
a ) I s t n i e j e n i e p a r z y s t a f u n k c j a o k r e s o w a o o k r e s i e T = .
2
b ) I s t n i e j e p a r z y s t a f u n k c j a r |o w a r t o [c i o w a .
c ) I s t n i e j e f u n k c j a j e d n o c z e [n i e p a r z y s t a i n i e p a r z y s t a .
d ) J e [l i f u n k c j a j e s t [c i [l e m o n o t o n i c z n a , t o j e s t r |n o w a r t o [c i o w a .
e ) J e [l i f u n k c j a j e s t r |n o w a r t o [c i o w a , t o j e s t [c i [l e m o n o t o n i c z n a .
f ) J e [l i f u n k c j a j e s t p a r z y s t a , t o j e s t r |n o w a r t o [c i o w a .
1 0 F u n k c j a z o |o n a , f u n k c j a o d w r o t n a
Z a d . 5 2 W y z n a c z y f u n k c j e z l o |o n e : f % f , g % g , f % g , g % f o r a z i c h d z i e d z i n y , j e [l i
1
c ) f ( x ) = | x | , g ( x ) = x 2 - x ;
a ) f ( x ) = , g ( x ) = 2 x ;
x - 1
"
1
"
d ) f ( x ) = ; g ( x ) = 2 x - 1 .
b ) f ( x ) = x , g ( x ) = x 2 ;
x
Z a d . 5 3 W y z n a c z y f u n k c j e z l o |o n e : f % g , g % f , i c h d z i e d z i n y o r a z p r z e c i w d z i e d z i n y , j e [l i
"
a ) f ( x ) = s i n x + 1 , g ( x ) = x ; d ) f ( x ) = e x - 2 , g ( x ) = x 2 ;
b ) f ( x ) = l n x , g ( x ) = x 2 + 1 ;
e ) f ( x ) = a r c t g x , g ( x ) = x 3 ;
1
c ) f ( x ) = , g ( x ) = a r c s i n x ;
f ) f ( x ) = | x | , g ( x ) = a r c c o s x .
x + 2
Z a d . 5 4 W y z n a c z y f u n k c j e z l o |o n e : f % g % h , g % f % h , h % f % g o r a z i c h d z i e d z i n y , j e [l i
f ( x ) = l n x , g ( x ) = x - 1 , h ( x ) = e 2 x .
Z a d . 5 5 R o z w i a z a n i e r w n o [ g ( 2 x ) + ( f % g ) ( x ) e" 4 , j e [l i f ( x ) = x 2 , g ( x ) = 2 x .
O d p . x " - 1 , + "
2
Z a d . 5 6 W y z n a c z y D f , f [ D f ] o r a z ( o i l e t o m o |l i w e ) f u n k c j e o d w r o t n a d o f , j e [l i
a ) f ( x ) = x 3 - 1 ;
g ) f ( x ) = 2 x 3 - 1 ;
x
b ) " f ( x ) = x 3 - 3 x 2 + 3 x + 2 7 ;
h ) f ( x ) = l n ( ) ;
x + 1
1
c ) f ( x ) = , x e" 1 ;
i ) f ( x ) = l o g 3 x ;
x 2 + 1
"
j ) f ( x ) = a r c t g l o g 2 ( 3 x - 1 ) ;
d ) f ( x ) = x 2 - 1 , x < - 1 ;
"
e ) f ( x ) = x 2 - 1 , x > 1 ; k ) f ( x ) = c o s ( x - 1 ) , x " [ 1 , 3 ] ;
1 1
d l a x < 0 , d l a x < 0 ,
x 2 x
" "
f ) f ( x ) = l ) f ( x ) =
x - 1 d l a x e" 0 ; x + 1 d l a x e" 0 .
1 1 P o w t r z e n i e w i a d o m o [c i o f u n k c j a c h
Z a d . 5 7 W y z n a c z y d z i e d z i n e f u n k c j i f , j e [l i
2 0 0 7 - M
W s t e p d o a n a l i z y m a t e m a t y c z n e j 1 1
"
"
4 x - 2 x + 1
g ) f ( x ) = l n ( x + 1 ) + a r c c o s 2 x ;
a ) f ( x ) = ;
| x + 4 | - 1
h ) f ( x ) = l o g ( + 1 ) 3 + 2 x - x 2 ;
x
2
b ) f ( x ) = l o g ( c o s ( l o g x ) ) ;
1
x + 1 i ) f ( x ) = ;
"
c ) f ( x ) = a r c s i n ;
3 - 3 t g x
x - 2
"
l o g ( a r c s i n ( 2 c o s x ) )
"
j ) f ( x ) = ;
d ) f ( x ) = l o g ( 1 - x ) + x 2 + x + 1 ;
x 2 + 3 x
"
1 1
1 - x 3
e ) f ( x ) = + ;
k ) f ( x ) = ;
2
l o g 3 ( x 2 - 4 ) x - 3
a r c s i n 5 l o g x + 2
2 x - 1 1
f ) f ( x ) = l o g 2 + - x ;
l ) f ( x ) = a r c c o s ( 2 x - 4 ) + a r c s i n ( | x | - 1 ) .
4 - x x 2
Z a d . 5 8 W y z n a c z y d z i e d z i n e i z b i r w a r t o [c i f u n k c j i f , j e [l i
"
2
a ) f ( x ) = 2 + x - x 2 ; d ) f ( x ) = e x - 1 ;
1
b ) f ( x ) = ; e ) f ( x ) = l o g ( 1 - 2 c o s x ) ;
s i n x
"
c ) f ( x ) = 1 + l o g ( a r c t g x ) ; f ) f ( x ) = - a r c s i n x .
Z a d . 5 9 R o z w i a z a n i e r w n o [c i :
2
1 - | x |
a ) l o g 1 d" c o s ;
x
c ) 4 e" 2 ;
3
x + 1
d ) l o g ( 4 x - 2 x + 1 + 1 ) d" a r c s i n 0 ;
c o s x - 2
b ) > a r c t g 0 ;
e ) " 3 l o g 4 - x 2 - c t g x > x - 2 - x 2 ; .
l o g 0 , 5 ( x + 5 )
Z a d . 6 0 " R o z w i a z a n i e r w n o [
f ( x ) - ( f % f ) ( x ) < ( f % g ) ( x ) - ( f % f % g ) ( x ) ,
1
j e [l i f ( x ) = o r a z g ( x ) = x 3 .
x
Z a d . 6 1 N a s z k i c o w a w y k r e s f u n k c j i f i p o d a j e j p o d s t a w o w e w l a [n o [c i , j e s l i
a ) f ( x ) = x | x + 2 | ; d ) f ( x ) = a r c s i n ( s i n x ) ;
b ) f ( x ) = | s i n 2 x | ; e ) f ( x ) = - 2 x + 1 + 3 ;
a r c s i n ( - x ) g d y | x | d" 1 , l o g ( - x ) g d y x < 0 ,
c ) f ( x ) = f ) f ( x ) =
0 d l a | x | > 1 ; a r c t g ( x - 1 ) d l a x e" 0 .
1 2 R e l a c j e
Z a d . 6 2 S p r a w d z i , k t r e s p o [r d p o n i |e j z d e f i n i o w a n y c h r e l a c j i s a f u n k c j a m i :
a ) 1 = ( x , y ) " ( 0 , + ") ( - ", 0 ) : x 2 = y 2 ; d ) 4 = ";
b ) 2 = ( x , y ) " ( - ", 0 ) : x 2 = y 2 ; e ) 5 = [ { 1 } ( - ", 0 ) ] *" [ { 2 } ( 0 , + ") ] ;
c ) 3 = ( x , y ) " ( - ", 0 ) : x 2 = y 2 ; f ) 6 = { ( x , y ) " ( - ", 0 ) : | y | = 2 } ;
2 0 0 7 - M
W s t e p d o a n a l i z y m a t e m a t y c z n e j 1 2
2
g ) 7 = ( x , y ) " ( - ", 0 ] : y 2 + y d" 0 ; h ) 8 = ( x , y ) " : y 2 + y d" 0 .
Z a d . 6 3 S p r a w d z i , c z y p o d z b i r f " A B j e s t f u n k c j a o d w z o r o w u j a c a z b i r A w z b i r B , j e [l i :
a ) A = , B = \ { 0 } o r a z
( x , y ) " f ! 2 x y = 1 ;
x " y " \ { 0 }
b ) A = , B = o r a z
( x , y ) " f ! x 2 - y 2 = 1 ;
x " y "
c ) A , B s a d o w o l n y m i z b i o r a m i , y o j e s t d o w o l n y m e l e m e n t e m z b i o r u B o r a z
( x , y ) " f ! y = y o .
x "A y "B
Z a d . 6 4 Z b a d a , c z y f u n k c j a f j e s t i n j e k c j a , s u r j e k c j a , b i j e k c j a ; w y z n a c z y p r z e c i w d z i e d z i n e f u n k c j i f i ( o
i l e i s t n i e j e ) f u n k c j e o d w r o t n a f - 1 .
2
a ) f : [ 2 , + ") ! , f ( x ) = - x 2 + 4 x - 3 ; f ) f : ! , f ( x , y ) = x + y ;
x
b ) f ( x ) = ; 2 2
x - 1 g ) f : ! , f ( x , y ) = ( x , x y ) ;
x 2 , x d" 0 ,
2 2
h ) f : ! , f ( x , y ) = ( x - y , x + 2 y ) ;
c ) f ( x ) =
l o g ( x + 1 ) , x > 0 ;
i ) f : ! , f ( z ) = z + 1 - 2 i ;
d ) f ( x ) = 2 - | x + 2 | ;
j ) f : ! , f ( z ) = i z .
e ) f : ! , f ( k ) = 2 k + 1 ;
Z a d . 6 5 Z b a d a , c z y " X X j e s t r e l a c j a r w n o w a |n o [c i . J e [l i t a k , t o w y z n a c z y ( o p i s a , n a r y s o w a ,
p o l i c z y ) k l a s y a b s t r a k c j i t e j r e l a c j i .
a ) X = { 0 } , x y ! x y > 0 ;
b ) X = , x y ! x y e" 0 ;
c ) X = , x y ! x - y > 1 ;
d ) X = , n m ! n - m = 3 k ;
k "
e ) X = , x y ! x - y " ;
f ) X = , x y ! x 2 = y 2 ;
g ) X = 2 , A B ! A " B ;
h ) X = 2 , A B ! A )" B = ";
2 2 2
i ) X = , ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) ! x 2 + y 1 = x 2 + y 2 ;
1 2
2
j ) X = , ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) ! x 1 = x 2 ;
2
k ) X = , ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) ! x 1 = y 2 ;
y 1 y 2
l ) X = , ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) ! = ;
+ +
x 1 x 2
2
m ) X = , z 1 z 2 ! I m z 1 = I m z 2 ;
2
n ) X = , z 1 z 2 ! a r g z 1 = a r g z 2 ;
o ) X = z b i r l u d z i , x y ! x j e s t o j c e m y ;
2 0 0 7 - M
W s t e p d o a n a l i z y m a t e m a t y c z n e j 1 3
2
p ) X = z b i r p r o s t y c h w , l k ! l " k ;
2
q ) X = z b i r p r o s t y c h w , l k ! l k ;
2
r ) X = z b i r w e k t o r w w , x y ! x y i x = y ;
s ) X = z b i r s t u d e n t w P L , x y ! x i y u c z a s i e n a t y m s a m y m w y d z i a l e P L ;
t ) X = z b i r p u n k t w p e w n e j m a p y , P Q ! h ( P ) = h ( Q ) , g d z i e h ( P ) = w y s o k o [ n . p . m . p u n k t u P .
J a k n a z y w a m y k l a s y a b s t r a k c j i r e l a c j i z d e f i n i o w a n y c h w c z t e r e c h o s t a t n i c h p o d p u n k t a c h ?
Z a d . 6 6 " Z b a d a , c z y " X X j e s t r e l a c j a p o r z a d k u ( l i n i o w e g o p o r z a d k u ) , j e [l i
a ) X = , n m ! n | m ( n j e s t d z i e l n i k i e m m ) ;
b ) X = 2 , A B ! A )" B = ";
c ) X = , x y ! x - y " ;
d ) X = , x y ! x d" y .
Z a d . 6 7 " W y z n a c z y e l e m e n t y m a k s y m a l n e , m i n i m a l n e , n a j w i e k s z e i n a j m n i e j s z e ( o i l e i s t n i e j a ) w z b i o r z e
u p o r z a d k o w a n y m ( X , ) , j e [l i
a ) X = { 2 , 4 , 6 , 8 , 1 2 , 1 6 } , n m ! n | m ;
b ) X = r o d z i n a p r z e d z i a l w p o s t a c i ( - a , a ) , g d z i e a j e s t d o w o l n a l i c z b a d o d a t n i a , A B ! A " B ;
c ) X = 2 , A B ! A " B ;
d ) X = z b i r s l w w d a n y m j e z y k u , s 1 s 2 ! s 1 w y s t e p u j e w s l o w n i k u p r z e d s 2 ;
e ) X = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } , x y ! x ! y w g s c h e m a t u :
1 ! 2 ! 3
!
4 ! 5 ! 6
f ) X = { 1 , 2 , 3 , 4 } , x y ! x ! y w g s c h e m a t u :
1 ! 2
! !
4 ! 3
g ) X = { a , b , c , d , e , f , g } , x y ! x ! y w g s c h e m a t u :
a ! b f
! ! !
c ! d ! e ! g
2 0 0 7 - M
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