Uzdevumi 8 2 sem


R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
8. nodarb%2łba
y
2
1. piemrs. Atrast diferencilviendojuma 1 + (1+ y )e = 0 vispr%2łgo integrli.
Prveidosim viendojumu:
y y y y
2 2
1+ e + e y = 0 , e y = -(1+ e ).
Main%2łgos var atdal%2łt, ttad
y y y
dy e dy e dy d(e +1)= -+"dx ,
y y
e = -(1+ e ), = -dx , = - ,
+"+"dx +"
y y y
dx
e +1 e +1 e +1
y y y
ln e +1 = -x + lnC , ln e +1 + ln ex = ln C , (e +1)ex = C .
2
2. piemrs. Atrast diferencilviendojuma e2 x sin3 y + y (1+ e4 x)cos y = 0 vispr%2łgo
integrli.
Dotais diferencilviendojums ir diferencilviendojums ar atdalmajiem main%2łgajiem,
jo gan funkcija e2x sin3 y , gan (1+ e4x)cos y ir sadal%2łtas reizintjos t, ka katrs
dy
2
reizintjs ir atkar%2łgs tikai no viena main%2łg. Aizvietosim y = un atdal%2łsim
dx
main%2łgos
dy dy
e2x sin3 y + (1+ e4 x)cos y = 0 , (1+ e4x)cos y = -e2 x sin3 y ,
dx dx
cos ydy e2xdx
= - .
sin3 y 1+ e4x
Abas viendojuma puses jnointegr
d(sin y) 1 d(e2x), sin-2 y 1 1
= - = - arctg(e2x)+ C , arctg(e2x)- = C .
+" +"1+
2
sin3 y 2 e4x - 2 2
sin y
2
3. piemrs. Atrisint Koa%2ł uzdevumu 2(1+ ex) y " y = ex, y(0) = 0 .
dy
2
Vispirms aizstsim y ar un pareizinsim abas viendojuma puses ar dx:
dx
dy
2(1+ ex)y " = ex " dx , 2(1+ ex)y " dy = exdx .
dx
8. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
Tagad atdal%2łsim main%2łgos, dalot ar izteiksmm, kas atrodas pie  sveaa diferenci<a 
dotaj gad%2łjum ar (1+ ex):
exdx
2(1+ ex )y " dy = exdx : (1+ ex ) , 2ydy = .
1+ ex
Integrsim abas viendojuma puses:
exdx d(1+ ex), y2 ln1+ ex + C .
=
+"2ydy = +"1+ ex , y2 = +"
1+ ex
Lai atrisintu Koa%2ł uzdevumu, ievietosim skuma nosac%2łjumu y(0) = 0 iegktaj
vispr%2łgaj integrl%2ł :
02 = ln1+ e0 + C , 0 = ln 2 + C , C = - ln 2 ,
un partikulrais integrlis var bkt pierakst%2łts veid
1+ ex
y2 = ln1+ ex - ln 2 jeb y2 = ln .
2
a2 - y2
2
4. piemrs. Atrisint diferencilviendojumu y = .
a2 - x2
Dotaj viendojum var atdal%2łt main%2łgos; reizinot ar dx un dalot ar a2 - y2 :
a2 - y2
dy dx dx dx
= " , = ,
dx
a2 - x2 a2 - y2 a2 - y2 a2 - x2
dx dx y x
= , arcsin = arcsin + C .
+" +"
a a
a2 - y2 a2 - x2
T k abas viendojuma puses ms dal%2łjm ar a2 - y2 , lai atdal%2łtu main%2łgos,
jprbauda, vai viendojuma a2 - y2 = 0 atrisinjumi y = ąa nav dot viendojuma
singulrie atrisinjumi.
Ievietojot y = ąa dotaj viendojum, viegli prliecinties, ka funkcijas y = ąa
apmierina to. No otras puses, aos atrisinjumus nevar iegkt no vispr%2łg atrisinjuma ne
ar kdu C vrt%2łbu, tas noz%2łm, ka y = ąa ir dot viendojuma singulrie atrisinjumi.
8. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
y
2
5. piemrs. Atrast diferencilviendojuma xy - y = xtg vispr%2łgo integrli.
x
2
No viendojuma izteiksim y :
y y
2
y = + tg .
x x
y
T k funkcija viendojuma labaj pus ir atkar%2łga tikai no , tad dotais
x
diferencilviendojums ir homogns pirms krtas diferencilviendojums. To risina ar
2 2
substitkciju y = zx, y = z x + z . Ttad
2 2
z x + z = z + tg z , z x = tg z .
Ieguvm diferencilviendojumu ar atdalmajiem main%2łgajiem. Atrisinsim to:
dz dz dx cos z dx d(sin z) dx
x = tg z , = , dz = , = ,
+" +" +" +"
dx tg z x sin z x sin z x
y
ln sin z = ln x + ln C , sin z = xC , sin - xC = 0 .
x
6. piemrs. Atrisint Koa%2ł uzdevumu xdy - ydx = ydy, y(-1)=1.
2
Prrakst%2łsim viendojumu cit veid, izsakot y :
y
2
(x - y)dy = ydx , y = .
x - y
Viegli prliecinties, ka viendojums ir homogns. Patieam, izdalot labs puses
izteiksmes skait%2łtju un saucju ar x, iegksim
y
y y
x
= = # ś# .
ś# ź#
y
x - y x
# #
1-
x
2 2
Ttad ar substitkciju y = zx , y = z x + z reducsim doto viendojumu uz viendojumu
ar atdalmiem main%2łgajiem:
z dz z dz z - z + z2 (1- z)dz = dx
2
z x + z = , " x = - z , " x = , .
1- z dx 1- z dx 1- z x
z2
Integrjot, iegkst
dz dx 1
z-2dz - = , - - ln z = ln x + ln C
+" +" +"
z x z
8. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
x y y x
- - ln = ln x + ln C , ln x + ln + ln C + = 0,
y x x y
x y x
+ ln x " "C = 0 , + ln yC = 0 .
y x y
Ievietojot skuma nosac%2łjumu, t.i., x = -1, y = 1, iegksim
-1+ ln C = 0, C = ąe, ln C = 1.
Ttad dots problmas atrisinjums ir
x
+ ln y +1 = 0 .
y
2
7. piemrs. Atrisint viendojumu x " y = y(1 + ln y - ln x), ja y(1)=1.
2
Izteiksim no dot viendojuma y :
y y
#1+ ś#
2
y = ln
ś# ź#
x x
# #
2 2
un izmantosim substitkciju y = zx , y = z x + z . Tad
dz dz dx
2 2
z x + z = z + z ln z , z x = z ln z , x = z ln z , = ,
dx z ln z x
dz dx d(ln z)
= , = ln x + ln C , ln ln z = ln Cx ,
+"+"+"
z ln z x ln z
y y
ln z = Cx , ln = Cx , = eCx .
x x
Ttad viendojuma vispr%2łgais atrisinjums ir
y = xeCx .
Ievietojot skuma nosac%2łjumu y(1)=1, iegkst 1 =1"eC , no kurienes C = 0 un
partikulrais atrisinjums ir y = x .
2
8. piemrs. Atrisint Koa%2ł uzdevumu 4x2 y - 4xy + y2 = 0 , y(e) = 4e .
2
Prveidosim doto viendojumu form y = f (x, y), tad
8. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
2
4xy - y2 y 1 y
# ś#
2
y = = - ś# ź#
.
4x2 x 4 x
# #
2 2
Viendojums ir homogns un ms varam aizvietot y = zx , y = z x + z , iegkstot
viendojumu ar atdalmiem main%2łgajiem:
1 1 dz 1 # 4dx ś#
2
2 2
x " z + z = z - z2 , xz = - z , x = - z2 " ś#- ź#
,
2
4 4 dx 4
# x " z #
dz dx dx 4
- 4 = , - 4 z-2dz = , = ln x + C,
+" +"
x z
z2 x
4 4x
z = , y = .
ln x + C ln x + C
Ievietosim viendojum skuma nosac%2łjumu, t.i., x = e , y = 4e :
4e
4e = , ln e + C = 1, C = 0 .
ln e + C
4x
Dot viendojuma partikulrais atrisinjums ir y = .
ln x
9. piemrs. 6ermenis 10 minkau laik atdziest no 1000 C l%2łdz 600 C temperatkrai.
Noteikt, cik ilg laik 7ermenis atdzis%2łs l%2łdz 250 C, ja apkrtjs vides temperatkra
visu laiku ir 200 C.
No fizikas likumiem ir zinms, ka 7ermeFa atdziaanas trums ir proporcionls
7ermeFa temperatkras un vides temperatkras starp%2łbai, ttad
dT
= -k(T - 20) , kur k > 0.
dt
Iegktais diferencilviendojums ir viendojums ar atdalmiem main%2łgajiem. Atrisinsim
to:
dT
= -k " dt, ln T - 20 = -kt + ln C ,
T - 20
T - 20 = e-kt " C, T = 20 + Ce-kt .
Noteiksim k un C vrt%2łbas. Ir zinms, ka procesa skum (t = 0 ) 7ermeFa temperatkra
ir 1000 C, ttad
100 = 20 + Ce0 , C = 80 .
8. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
Koeficienta k noteikaanai izmantosim faktu, ka 7ermenis 10 minkau laik atdziest no
1000 C l%2łdz 600 C temperatkrai, t.i. sakar%2łbu
1
60 = 20 + 80e-10k , e-10k = 0,5 , -10k = ln 0,5 , k = - ln 2-1, k = 0,1ln 2.
10
Ttad procesa likumu var pierakst%2łt form
T = 20 + 80e-0,1ln 2"t jeb T = 20 + 80" 2-0,1"t (jo eln 2 = 2 ).
Lai atbildtu uz uzdevum uzdoto jautjumu, pietiek ievietot T = 25 pdj
izteiksm:
25 = 20 + 80" 2-0,1t .
Risinot viendojumu, iegkst
1
80" 2-0,1t = 5 , 2-0,1t = , 2-0,1t = 2-4 , - 0,1t = -4 , t = 40.
16
Ttad 7ermenis atdzis%2łs l%2łdz 250 C 40 minkau laik.
10. piemrs. 6ermeFa kust%2łbas trums ir proporcionls noietajam ce<am. Noteikt ce<u,
ko 7ermenis noiet laik t = 5 , ja 8 metrus 7ermenis noiet 1 sekund, bet 40 metrus 
3 sekunds.
T k kust%2łbas trums ir proporcionls noietajam ce<am (pc dot) un trums ir
ce<a atvasinjums pc laika, atbilstoaais diferencilviendojums ir
2
y = ky ,
kur k ir proporcionalittes koeficients. Tas ir diferencilviendojums ar atdalmiem
main%2łgajiem, ttad atdal%2łsim main%2łgos:
dy dy
= ky , = kdt
dt y
un nointegrsim abas puses:
dy
= k
+" +"dt , ln y = kt + lnC , y = Cekt .
y
Noteiksim k un C vrt%2łbas no dot:
ż#8 = Cek
#
.
#
#
#40 = Ce3k
8
No pirm viendojuma seko ek = . Ievietojot to otraj viendojum, iegkst
C
8. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
3
8 512 64 8
40 = C "# ś# , 40 = , C2 = , C = =1,6 5 .
ś# ź#
2
C 5
5
# # C
Tad
8
ek = = 5 , k = ln 5 .
1,6 5
Ttad
t
y =1,6 5 "eln 5"t =1,6 5 "( 5)
un 7ermenis 5 sekun~u laik noiet
5
y(5)=1,6 5 "( 5) =1,6 5 " 25 5 = 200 m.
11. piemrs. Laivas trums samazins kdens pretest%2łbas ietekm. jdens pretest%2łba ir
proporcionla laivas trumam. Laivas skuma trums ir 1,5 m/s, trums pc 4
sekundm ir 1 m/s. Noteikt sakar%2łbu starp laivas trumu v un laiku t.
jdens pretest%2łbas spks Fpret = kv , kur k ir proporcionalittes koeficients, laivas
dv
dzinjspks Fdz = 0 . Pc Ektona otr likuma F = ma = m , ttad no F = Fdz - Fpret
dt
seko
dv
m = 0 - kv .
dt
Tas ir diferencilviendojums ar atdalmiem main%2łgajiem. Atdal%2łsim main%2łgos un
nointegrsim abas viendojuma puses:
k
- t
dv k k
m
= - dt , ln v = - t + lnC , v = Ce .
v m m
No uzdevuma nosac%2łjumiem seko v(0)=1,5 , v(4)= 1, ttad
k
ż#
- "0
#1,5 = Ce m
#
k
- "4
#
m
1 = Ce
#
4k 4k
- -
2 4k 2
m m
No pirm nosac%2łjuma seko C =1,5 , no otr - 1 = 1,5e , e = , - = ln ,
3 m 3
m 2
k = - ln . Rezultt iegksim
4 3
8. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
t
t
t m 2
ś#
2
4
# ś#
- "# - ln
ś# ź#
ln
2 4
m 4 3 ź#
# #
3
v = 1,5e , v =1,5ś#e , v = 1,5# ś# .
ś# ź#
ś# ź#
3
# #
# #
12. piemrs. Materils punkts ar masu 10-3 kg spka F iedarb%2łbas rezultt prvietojas
pa taisni. Spks F ir tieai proporcionls laikam t un apgriezti proporcionls kust%2łbas
trumam v. Laika moment t = 10 s trums ir 0,5 m/s, bet spks ir 4"10-5 N.
Noteikt sakar%2łbu starp trumu v un laiku t.
T k pc uzdevuma nosac%2łjumiem spks F ir tieai proporcionls laikam t un
apgriezti proporcionls kust%2łbas trumam v, tad
t
F = k .
v
Ttad iegksim viendojumu
dv t
m = k .
dt v
No nosac%2łjuma: laika moment t = 10 s trums ir 0,5 m/s, bet spks ir 4"10-5 N,
noteiksim koeficientu k:
10 4"10-5
4"10-5 = k " , k = = 2"10-6 .
0,5 20
Eemot vr, ka masa m =10-3 , iegksim viendojumu
dv t dv t
10-3 = 2"10-6 jeb = 0,002 .
dt v dt v
Tas ir diferencilviendojums ar atdalmiem main%2łgajiem, ttad
v2 t2
vdv = 0,002tdt , = 0,002" + C , v = 0,002t2 + C .
2 2
No nosac%2łjuma: laika moment t = 10 s trums ir 0,5 m/s seko
0,5 = 0,002"102 + C , 0,2 + C = 0,25 , C = 0,05.
Ttad meklt sakar%2łba ir v = 0,002t2 + 0,05 .
13. piemrs. Trauks, kuram ir puslodes forma ar diametru 2 m, piepild%2łts ar a7idrumu.
Cik ilg laik viss a7idrums iztecs no trauka pa apa<u caurumu ar rdiusu 0,1 m,
kura atrodas trauka diben, ja a7idrums no trauka tek ar trumu v = c 2gh , kur h ir
8. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
attlums no a7idruma virsmas, c H" 0,6 - koeficients, kas raksturo a7idruma
viskozitti, g H" 10 m / s2 - br%2łvs kriaanas patrinjums.
R
R-h
"h
h
PieFemsim, ka laik posm "t a7idruma l%2łmenis kr%2łtas par "h vien%2łbm. Tad
aaj laika posm a7idruma daudzums samazins par z%2łmjum iez%2łmto daudzumu. `o
tilpumu aptuveni varam apr7int k cilindra tilpumu, t.i. V = Ą r2"h . Rdiusu r
noteiksim pc Pitagora teormas no taisnleF7a trijstkra ar malm R - h un R:
r = R2 -(R - h)2 . Ttad
2
#
V = Ą R2 -(R - h)2 ś# "h = Ą(R2 - R2 + 2Rh - h2)"h = Ą(2Rh - h2)"h .
ś# ź#
# #
No otras puses, pa caurumu ar rdiusu  laika posm "t iztek a7idrums ar trumu v.
Iztecjoa a7idruma daudzums ir
2 2
V = v"t "Ą  = Ą  c 2gh"t .
Piel%2łdzinot abos gad%2łjumos iegktos V, dabksim
2
Ą  c 2gh"t = Ą(2Rh - h2)"h .
Abas viendojuma puses izdal%2łsim ar Ą, ievietosim dotos lielumus R = 1,  = 0,1,
c = 0,6 , g = 10 un priesim uz robe~u, kad "t 0 . Td gad%2łjum "t = dt , "h = -dh
(jo h samazins, ttad "h < 0 ) un ms iegksim diferencilviendojumu
0,12 "0,6 2"10hdt = -(2h - h2)dh
jeb
0,012 5 " hdt = -(2h - h2)dh .
Tas ir viendojums ar atdalmiem main%2łgajiem. Atrisinsim to:
1 3
# ś#
2h - h2
0,012 5dt = - dh , 0,012 5 = - - h ,
+"dt +"ś#2h 2 2 ź#dh
ś# ź#
h
# #
8. nodarb%2łba. 9. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
3 5
2 2
h h 4 2
0,012 5t = -2" + + C , 0,012 5t = - h h + h2 h + C .
3 5
3 5
2 2
Skuma moment, t.i. pie t = 0 , trauks ir piln%2łgi piepild%2łts ar a7idrumu, ttad
h(0)= R = 1. No a%2ł nosac%2łjuma apr7insim C vrt%2łbu:
4 2 4 2 14
0,012 5 "0 = - "1+ "1+ C , C = - = .
3 5 3 5 15
Ievietojot ao C vrt%2łbu vispr%2łgaj atrisinjum, iegksim
4 2 14
0,012 5t = - h h + h2 h + .
3 5 15
Japr7ina, cik ilg laik viss a7idrums iztecs no trauka, ttad japr7ina, pie kdas t
vrt%2łbas h = 0 :
14 14 14"1000 5 140 5
0,012 5t = , t = = = H" 34,78 .
15 15"12"5 9
15"0,012 5
Ttad viss a7idrums iztecs no trauka aptuveni 35 sekunds.
8. nodarb%2łba. 10. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Uzdevumi 5 2 sem
Uzdevumi 4 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 9 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 1 2 sem
Uzdevumi 6 2 sem
Uzdevumi 2 2 sem
Uzdevumi 3 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 2 sem
mk wyklady transport sem 1
Przykładowy egzamin sem III

więcej podobnych podstron