Uzdevumi 14 2 sem


R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
14. nodarb%2łba
"
(-1)n-1n 2 3
1. piemrs. Noskaidrot, vai rinda = 1- + - ... + (-1)n-1 n + ...
"
6n - 5 7 13 6n - 5
n=1
konver#.
Dot rinda ir alternjoaa rinda. Noskaidrosim, vai izpilds pirmais Leibnica
paz%2łmes nosac%2łjums, t.i., vai ir spk pras%2łba an > an+1 , kur an ir rindas vispr%2łgais
loceklis pc absolkts vrt%2łbas. Lai a%2ł pras%2łba bktu spk, nepiecieaams, lai izpild%2łtos
n n +1 n n +1 n n +1
> ! > ! - > 0 !
6n - 5 6(n +1)- 5 6n - 5 6n +1 6n - 5 6n +1
n(6n +1)- (n +1)(6n - 5) 6n2 + n - 6n2 + 5n - 6n + 5
! > 0 !
(6n - 5)(6n +1)> 0 ! (6n - 5)(6n +1)
5
! > 0 .
(6n - 5)(6n +1)
Redzam, ka neviend%2łba izpilds visiem n e" 1. Ttad pirm pras%2łba ir izpild%2łta. Tagad
apskat%2łsim
n 1
lim an = lim = `" 0 .
n" n" - 5 6
6n
Otr pras%2łba neizpilds, ttad rinda diver#.
2. piemrs. Noskaidrot, vai rinda
"
n2+n n2+n
n 3 4 n
-
2 2
"(-1) 2n = - 1 2 + 8 + 16 - ... + (-1) 2n + ... konver#.
2 4
n=1
`ai rindai katram pozit%2łvam loceklim neseko negat%2łvs un otrdi. `eit diviem
negat%2łviem locek<iem seko divi pozit%2łvi, diviem pozit%2łviem seko divi negat%2łvi. Bet ar%2ł
tda rinda ir alternjoaa rinda.
Ms redzam, ka ir spk
n n +1 2n - n -1 n -1
> ! > 0 ! > 0 visiem n > 1.
2n 2n+1 2n+1 2n+1
Tagad jprliecins, vai lim an = 0 .
n"
n " 1
# ś#
lim = = [pielietosim Lopitla krtulu] = lim = 0 .
ś# ź#
n" " n"
2n # # 2n ln 2
Prliecinjmies, ka robe~a ir nulle. Ttad dot rinda konver#.
14. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
"
3n + 5
3. piemrs. Noskaidrot, kda ir rinda
"(- 2)n : konver#enta vai diver#enta.
n=0
3(n +1)+ 5 3n + 8
Vispirms pierd%2łsim, ka an > an+1 . T k an+1 = = , tad
2n+1 2n+1
3n + 5 3n + 8 6n +10 - 3n - 8 3n + 2
an - an+1 = - = = .
2n 2n+1 2n+1 2n+1
3n + 2
Ta k n e" 0 , tad 3n + 2 > 0. 2n+1 > 0 katram n, ttad > 0 un l%2łdz ar to
2n+1
an - an+1 > 0 ! rindas locek<i pc absolkts vrt%2łbas samazins.
3n + 5 3n + 5 3
lim = lim = [pc Lopitla krtulas] = lim = 0 .
n" n"
(- 2)n n" 2n 2n ln 2
Abi Leibnica paz%2łmes nosac%2łjumi izpild%2łti, ttad rinda konver#.
"
n-1
4. piemrs. Noskaidrot, kda ir rinda (1+
"(-1) 0,1n) : konver#enta vai diver#enta.
n=1
Prbaud%2łsim, vai izpilds Leibnica paz%2łme:
1) 1,1 >1,01 >1,001> K, t.i. rindas locek<i pc absolkts vrt%2łbas samazins, ttad
Leibnica paz%2łmes pirmais nosac%2łjums ir izpild%2łts;
1
#1+ ś#
2) lim an = lim (1+ 0,1n)= lim = 1 `" 0 , ttad Leibnica paz%2łmes otrais
ś# ź#
n" n" n"
# 10n #
nosac%2łjums nav izpild%2łts, l%2łdz ar to dot rinda diver#.
"
(-1)n+1
5. piemrs. Pierd%2łt, ka rinda konver# un atrast ts summu ar precizitti
"
n3
n=1
l%2łdz 10-3.
1 1 1
Rinda konver#, jo 1 > > > ... un lim = 0.
n"
23 33 n3
1 1 1
T k S H" Sn ar k<kdu an+1 = , tad jizpilds < jeb
(n +1)3 (n +1)3 1000
(n +1)3 >1000 , t.i., n > 9. Tas noz%2łm, ka, lai apr7intu rindas summu ar ao precizitti,
jFem deviFi rindas locek<i:
14. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
S H"1- + - + - + - + - H" 0.904 .
8 27 64 125 216 343 52 729 1000
"
(-1)n : absolkti konver#enta, nosac%2łti
6. piemrs. Noskaidrot, kda ir rinda
"
n
n=1
konver#enta vai diver#enta.
"
1
Atbilstoa pozit%2łv skait<u rinda ir . T ir visprint harmonisk rinda, kur
"
n
n=1
1
p = < 1, ! rinda diver#.
2
Prbaud%2łsim, vai dot rinda apmierina Leibnica paz%2łmes nosac%2łjumus:
n
"
1) - -
"(-1) = -1+ 1 1 + 1 1 +K , rindas locek<i pc absolkts vrt%2łbas
n 2 3 4 5
n=1
samazins.
1
2) lim = 0 .
n"
n
Abi Leibnica paz%2łmes nosac%2łjumi izpild%2łti, seko, ka dot rinda konver#. T k
atbilstoa pozit%2łv skait<u rinda diver#, tad dot rinda konver# nosac%2łti.
"
(-1)n n
7. piemrs. Noskaidrot, kda ir rinda : absolkti konver#enta, nosac%2łti
"
5n+1
n=1
konver#enta vai diver#enta.
"
Atbilstoa pozit%2łv skait<u rinda ir
"5 n . Pc Dalambra paz%2łmes
n+1
n=1
an+1 n +1 n ś# (n +1)" 5n+1 1 n +1 1 1 1
#
#1+ ś#
lim = lim : = lim = lim = lim = < 1
ś# ź# ś# ź#
n" an n" n" 5 n 5 n" n 5
n"
# 5n+2 5n+1 # 5n+2 " n # #
rinda konver#, ttad dot rinda konver# absolkti.
"
cos ną
8. piemrs. Noskaidrot, vai rinda konver# un, ja konver#, vai konver#
"
n2
n=1
absolkti.
14. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
Rindas locek<iem ir da~das z%2łmes, jo cosą, cos2ą, cos3ą,K var bkt gan
pozit%2łvi, gan negat%2łvi, turklt z%2łmju maiFa ir atkar%2łga no a izvles. Dot rinda nav
alternjoaa rinda, bet ir maiFz%2łmju rinda.
"
cos ną
Apskat%2łsim rindu un sal%2łdzinsim to ar visprinto harmonisko
"
n2
n=1
" " "
1 1 1
rindu . Rinda konver#, jo visprint harmonisk rinda
" " "
p
n2 n2 n
n=1 n=1 n=1
konver#, ja p > 1, bet mksu gad%2łjum p = 2.
cos ną
1
Redzam, ka ir spk neviend%2łba d" , jo cos ną d" 1. Ttad pc
n2 n2
"
cos ną
sal%2łdzinaanas paz%2łmes rinda konver#, ttad konver# ar%2ł rinda
"
n2
n=1
"
cos ną
, turklt absolkti.
"
n2
n=1
"
(-1)n n
9. piemrs. Noskaidrot, vai rinda konver# un, ja konver#, vai konver#
"
3n +1
n=1
absolkti.
"
n
Atbilstoa pozit%2łv skait<u rinda ir . `%2ł rinda diver#, jo neizpilds
"
3n +1
n=1
konver#ences nepiecieaamais nosac%2łjums, t.i.,
n 1 1
lim an = lim = lim = `" 0 .
1
n" n" 3n +1 n" 3
3 +
n
Dot rinda ir alternjoaa, ttad var lietot Leibnica paz%2łmi. T k neizpilds Leibnica
n
paz%2łmes otrais nosac%2łjums, t.i., lim an = lim `" 0 , tad ar%2ł dot rinda diver#.
n" n" 3n +1
2n
"
(x - 3)
10. piemrs. Noteikt funkciju rindas konver#ences apgabalu.
"
2n(n +1)!
n=0
T k rindas vispr%2łgais loceklis satur faktorilu izteiksmi, izmantosim vienu no
pozit%2łvu skait<u rindu konver#ences pietiekamajm paz%2łmm  Dalambra paz%2łmi:
an+1 (x - 3)2(n+1) (x - 3)2n = lim (x - 3)2n+2 2n(n +1)!
lim = lim : =
n" an n" n"
2n+1(n +1+1)! 2n(n +1)! 2n+1(n + 2)!(x - 3)2n
14. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
(x - 3)2 (x - 3)2 1
= lim = lim = 0 .
n" 2(n + 2) 2 n" n + 2
T k apr7int robe~a ir mazka par 1 katram x, tad pc Dalambra paz%2łmes rinda
konver#, ja x "(- ", + ").
n
"
(x + 5)
11. piemrs. Noteikt funkciju rindas konver#ences apgabalu.
"
n +1 "3n+2
n=0
Ar%2ł aai rindai pielietosim Dalambra paz%2łmi:
an+1 (x + 5)n+1 (x + 5)n = lim (x + 5)n+1 n + 1 " 3n+2
lim = lim : =
n" an n"
n + 2 " 3n+3 n +1 "3n+2 n" n + 2 " 3n+3(x + 5)n
x + 5 x + 5 x + 5
(x + 5) n + 1 n + 1 1 + 1/ n
= lim = lim = lim = .
n" 3 n" n + 2 3 n" 1 + 2 / n 3
3 n + 2
Pc Dalambra paz%2łmes rinda konver#, ja apr7int robe~a ir mazka par 1, ttad
x + 5
< 1 ! x + 5 < 3 ! - 3 < x + 5 < 3 ! - 8 < x < -2 .
3
Ja robe~a ir vienda ar 1, tad paz%2łme nedod atbildi par rindas konver#enci, tpc
konver#enci intervla galapunktos noteiksim atsevia7i:
" "
(- 2 + 5)n = " 3n 1
x = -2 : =
" " "9 n +1 .
n +1 " 3n+2 n=0 n +1 " 3n+2 n=0
n=0
Pc integrls paz%2łmes
"
" "
1 1
dx 1 2
= +1)- dx = (x +1) = "
2 2
+" +"(x
9 9
9 x +1
0
0 0
! ne%2łstais integrlis diver#, ttad ar%2ł rinda diver#.
n
"
(- 8 + 5)n = " (- 3)n = " 1
x = -8 :
" " "9(-n) .
+1
n +1 " 3n+2 n=0 n +1 "3n+2 n=0
n=0
T ir alternjoa rinda, kurai konver#enci jnosaka pc Leibnica paz%2łmes:
1 1 1 1
1) > > > > ... Rindas locek<i pc absolkts vrt%2łbas samazins, ttad
9 18
9 2 9 3
paz%2łmes pirmais nosac%2łjums ir izpild%2łts.
14. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
(-1)n = lim 1
2) lim = 0 .
n" n"
9 n +1 9 n +1
Ar%2ł otrais nosac%2łjums ir izpild%2łts ! rinda konver#.
Dot funkciju rinda konver#, ja x "[- 8; - 2).
" n
12. piemrs. Noteikt rindas
"lnn x konver#ences apgabalu.
n=1
`%2łs rindas locek<i ir definti apgabal x "(0;"). Pielietosim Dalambra paz%2łmi
rindai, kas sastd%2łta no a%2łs rindas locek<u absolktajm vrt%2łbm:
lnn+1 x " n ln x " n n 1
lim = lim = ln x lim = ln x lim = ln x .
1
n" n" (n +1) n" n +1 n"
(n +1)" lnn x
1+
n
Pc Dalambra paz%2łmes rinda konver#, ja izpilds
1
ln x < 1 ! -1 < ln x < 1 < 1 ! ln e-1 < ln x < ln e1 ! < x < e .
e
T k ar Dalambra paz%2łmi nevar noskaidrot rindas konver#enci vai diver#enci, ja
ln x = 1, tad aie gad%2łjumi ir japskata atsevia7i.
Ja ln x = 1, tad x = e un ms iegkstam harmonisko rindu
"
1 1 1 1 1
= 1+ + + + ... + + ... ,
"
n 2 3 3 n
n=1
kura diver#.
Ja ln x = -1, tad ms iegkstam alternjoau rindu
"
(-1)n = -1+ 1 1 1
- + + ... + (-1)n 1 + ... ,
"
n 2 3 3 n
n=1
1 1 1
kura konver# pc Leibnica paz%2łmes (jo 1 > > > K un lim = 0 ). Ttad funkciju
2 3 n" n
1
Ą#
rinda konver#, ja x " ;eś# .
ó#e ź#
Ł# #
"
13. piemrs. Noteikt rindas
"(x + 2)n konver#ences intervlu.
n2
n=1
14. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
an+1
Pc Dalambra paz%2łmes rinda konver#, ja izpilds lim < 1.
n" an
2
an+1 (x + 2)n+1 " n2 n2 n
# ś#
lim = lim = x + 2 lim = x + 2 lim =
ś# ź#
n" an n" n" n" n +1 #
#
(n +1)2(x + 2)n (n +1)2
2
1
# ś#
= x + 2 lim = x + 2 < 1.
ś# ź#
n"
#1+1/ n #
Ttad jizpilds -1 < x + 2 <1 ! - 3 < x < -1.
Lai noteiktu, vai rinda konver# ar%2ł pie x = -3 un x = -1, japskata atsevia7i rindas
n
" "
(- 3 + 2)n = " n un " + 1
"
" "(-1) "(-1n22) = n=1 n2 .
n2 n=1 n2
n=1 n=1
"
1
Rinda konver#, jo t ir visprint harmonisk rinda ar p = 2 > 1. Turklt
"
n2
n=1
"
1
rinda ir sastd%2łta no rindas locek<u absolktajm vrt%2łbm, un, t k a%2ł rinda
"
n2
n=1
n
" "
konver#, tad konver# ar%2ł rinda
"(-1) . Esam atraduai, ka rindas n=1 + 2)n
"(x n2
n2
n=1
konver#ences intervls ir x "[- 3; -1].
n
"
14. piemrs. Noteikt funkciju rindas
"(xn+1) konver#ences apgabalu.
3 " n!
n=0
Pielietosim Dalambra paz%2łmi:
un+1(x) (x +1)n+1 3n " n! x +1 1
lim = lim " = lim = 0< 1,
n" un(x) n"
3n+1 "(n +1)! (x +1)n 3 n" n +1
ttad rinda konver# vism x vrt%2łbm. Konver#ences apgabals ir x "(- ";+ ").
"
(x - 2)n konver#ences apgabalu.
15. piemrs. Noteikt funkciju rindas
"
4n "(2n + 3)
n=0
un+1(x) (x - 2)n+1 4n "(2n + 3) x - 2 2n + 3
lim = lim " = lim =
n" un(x) n" 4 n" 2n + 5
4n+1 "(2(n +1)+ 3) - 2)n
(x
14. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
3
2 +
x - 2 x - 2
n
= lim = .
5
4 n" 4
2 +
n
Pc Dalambra paz%2łmes rinda konver#, ja
x - 2 x - 2
< 1 ! -1 < < 1 ! - 4 < x - 2 < 4 ! - 2 < x < 6.
4 4
Vl jprbauda, vai intervla galapunktos rinda konver#. Ja x = 6 , tad iegkstam skait<u
rindu
" "
(6 - 2)n = " 1 1
~ ! rinda diver#.
"n=0 "
"
2n + 3 n
4n "(2n + 3)
n=0 n=1
"
(- 2 - 2)n = " (-1)n .
Ja x = -2 , tad rinda ir ada:
"n=0
"
2n + 3
4n "(2n + 3)
n=0
T ir alternjoaa rinda, kuras konver#enci nosaka pc Leibnica paz%2łmes:
1 1 1 1
1) > > > > K, rindas locek<i pc absolkts vrt%2łbas samazins;
3 5 7 9
1
2) lim = 0 .
n" 2n + 3
Abi Leibnica paz%2łmes nosac%2łjumi izpild%2łti, ttad rinda konver#.
Iegkstam dots funkciju rindas konver#ences apgabalu x "[- 2;6).
n
"
1 4 - x
# ś#
16. piemrs. Dota funkciju rinda . Noteikt, vai rinda konver#
ś# ź#
"
2n -1# 7x + 2
#
n=1
punktos x = 0 , x = 1.
n
" "
1 4 - 0 1
# ś#
Punkt x = 0 iegkstam adu rindu: = " 2n .
ś# ź#
" "
2n -1# 7 "0 + 2 2n -1
#
n=1 n=1
Konver#ences noteikaanai pielietosim Dalambra paz%2łmi:
2n 2n+1 2n+1
un = , un+1 = = ;
2n -1 2(n +1)-1 2n +1
1
2 -
un+1 2n+1(2n -1) 2n -1
n
lim = lim = 2 lim = 2 lim = 2 > 1, ttad rinda diver#.
n" un n"
(2n +1)" 2n n" 2n +1 n" 2 + 1
n
14. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
n
" "
1 4 -1 1 1
# ś#
Punkt x =1 iegkstam: = " .
ś# ź#
" "
2n -1# 7 "1+ 2 2n -1
# 3n
n=1 n=1
Atkal pielietosim Dalambra paz%2łmi:
1 1
un = , un+1 = ;
3n(2n -1) 3n+1(2n +1)
1
2 -
un+1 3n(2n -1) 1 2n -1 1 1
n
lim = lim = lim = lim = < 1 ,
1
n" un n" 3 2n +1 3 n" 3
n"
3n+1(2n +1)
2 +
n
ttad rinda konver#.
"
17. piemrs. Noteikt funkciju rindas
"1+1 konver#ences apgabalu.
x2n
n=1
Aplkkosim 3 gad%2łjumus, atkar%2łb no x vrt%2łbas:
1
1) Ja x <1, tad lim x2n = 0 un lim un = lim = 1`" 0 ! rinda diver#, jo
n" n" n"
1+ x2n
neizpilds rindas konver#ences nepiecieaam paz%2łme.
" "
1 1 1 1
2) Ja x = 1, tad iegkstam rindu = = + + + K , kas diver#, jo
"1+1 "
12n n=1 2 2 2 2
n=1
n n
Sn = un lim Sn = lim = " .
2 n" n" 2
"
3) Ja x > 1, tad iegkstam rindu
"1+1 , kuras locek<i atbilstoai ir mazki par
x2n
n=1
"
1 1 1 1
#eometrisks rindas = + + +K locek<iem. T k pdj rinda
"
x2n x2 x4 x6
n=1
"
konver#, tad pc sal%2łdzinaanas paz%2łmes ar%2ł rinda
"1+1 konver#.
x2n
n=1
Ttad rinda konver#, ja x > 1. Konver#ences apgabals ir x "(- ";-1)*" (1; + ").
1
18. piemrs. Izvirz%2łt funkciju f (x) = Teilora rind punkta x0 = 1 apkrtn.
3 + x
Uzrakst%2łt vispr%2łgo locekli.
14. nodarb%2łba. 9. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
(n)
"
f (x0 )(x - x0 )n .
Teilora rinda ir f (x) =
"
n!
n=0
Lai izvirz%2łtu doto funkciju Teilora rind, noteiksim funkcijas atvasinjumu vrt%2łbas
punkt x0 = 1:
1 1
f (x) = , f (1) = ;
2
3 + x
3
1 1 1
2 2
f (x) = - (3 + x)- , f (1) = - " ;
2
2 2
23
5
1 3 1 3 1
2 2 2 2
f (x) = " (3 + x)- , f (1) = " " ;
2
2 2 2 2
25
7
1 3 5 1 3 5 1
2 2 2 2 2 2
f (x) = - " " (3 + x)- , f (1) = - " " " ;
2
2 2 2 2 2 2
27
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
1 (-1)n "1" 3" 5"..."(2n -1)
(n)
f (1) = (-1)n 1" 3" 5"..."(2n -1)" = .
2n 22n+1 23n+1
Dots funkcijas izvirz%2łjums Teilora rind
1 1 3 15
f (x) = - (x -1)+ (x -1)2 - (x -1)3 + ... +
2 16 128" 2 1024 " 6
(-1)n "1" 3" 5 "..."(2n -1)(x -1)n .
(-1)n "1" 3" 5 "..."(2n -1)(x -1)n + ... = "
+
"
23n+1 " n! 23n+1 " n!
n=0
2
19. piemrs. Funkciju e-x izvirz%2łt pakpju rind pc x pakpm.
Izmantosim funkcijas y = ex Maklorena rindu
x x2 x3
ex =1+ + + +K (- " < x < +").
1! 2! 3!
Ievietojot x viet - x2 , iegksim:
n
"
x2 x4 x6 x8 1
e- x2 =1- + - + -K =
"(-n!) x2n (- " < x < +").
1! 2! 3! 4!
n=0
14. nodarb%2łba. 10. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
1
20. piemrs. Funkciju izvirz%2łt pakpju rind pc x - 2 pakpm.
x
Doto uzdevumu atrisinsim divos veidos.
1) Noteiksim dots funkcijas un ts atvasinjumu vrt%2łbas punkt x = 2 :
1 1
f (x) = , f (2) = ;
x 2
1
2 2
f (x) = -x-2 , f (2) = -2-2 = - ;
22
2
2 2 2 2
f (x) = 2x-3 , f (2) = 2 " 2-3 = ;
23
3!
2 2 2 2 2 2
f (x) = -6x-4 , f (2) = -6 " 2-4 = - ;
24
4!
IV IV
f (x) = 24x-5, f (2) = 24 " 2-5 = ;
25
& & & & & & & & & & & & & & & & & & &
n!
(n) (n)
f (x) = (-1)n " n!" x-(n+1), f (2) = (-1)n " .
2n+1
(n)
"
f (x0 )(x - x0 )n , kur
Ievietojot atvasinjuma vrt%2łbas Teilora rind f (x) =
"
n!
n=0
x0 = 2 , iegksim dots funkcijas izvirz%2łjumu pakpju rind pc x - 2 pakpm:
1 1 1 2 3! n!
= - (x - 2)+ (x - 2)2 - (x - 2)3 + K + (-1)n " (x - 2)n + K =
x 2
22 23 " 2! 24 " 3! 2n+1 " n!
"
1 1 1 1 (-1)n (-1)n (x - 2)n
= - (x - 2)+ (x - 2)2 - (x - 2)3 + K + (x - 2)n +K =
"
2
22 23 24 2n+1 2n+1
n=0
1
1
2
2) Izmantosim viend%2łbu = .
(x - 2)
x
1+
2
a
`%2łs viend%2łbas labo pusi varam uzskat%2łt par #eometrisks rindas summu S = ar
1- q
1 (x - 2)
pirmo locekli a = un kvocientu q = - . Atgdinsim #eometrisko rindu
2 2
14. nodarb%2łba. 11. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
"
n
"aq = a + aq + aq2 + aq3 +K+ aqn +K
n=0
1 (x - 2)
Ievietojot #eometriskaj rind a = un q = - , iegksim
2 2
2 3
1 1 1 x - 2 1 x - 2 1 x - 2
# ś# # ś#
= - " + +K
ś# ź# - ś# ź#
x 2 2 2 2 2 2 2
# # # #
jeb
n
"
1 1 1 1 1
= - (x - 2)+ (x - 2)2 - (x - 2)3 +K =
"(-n1) (x - 2)n .
+1
x 2 4 8 16
2
n=0
x - 2
T k rinda konver#, ja q < 1, tad < 1, - 2 < x - 2 < 2 , 0 < x < 4 .
2
21. piemrs. Izvirz%2łt funkciju f (x)= sin2 x Maklorena rind. Uzrakst%2łt rindas
vispr%2łgo locekli.
" (n)
f (0)
1) Maklorena rinda ir f (x)= xn .
"
n!
n=0
Lai uzrakst%2łtu dots funkcijas Maklorena rindu, noteiksim ts atvasinjumus un to
vrt%2łbas punkt x = 0 :
f (x)= sin2 x , f (0)= sin2 0 = 0 ;
2 2
f (x)= 2sin xcos x = sin 2x , f (0)= sin 0 = 0 ;
Ą
ś#
2 2 2 2
f (x)= 2cos2x = 2sin#2x + , f (0)= 2cos0 = 2 ;
ś# ź#
2
# #
2 2 2 2 2 2
f (x) = -22 sin 2x = 22 sin(2x + Ą ), f (0)= -22 sin 0 = 0 ;
3Ą
ś#
IV IV
f (x)= -23 cos2x = 23 sin#2x + , f (0)= -23 cos0 = -23 ;
ś# ź#
2
# #
.............................................................................................................................
0, ja n = 2k -1
ż#
nĄ nĄ
ś# #
n n
f (x)= 2n-1 sin#2x + , f (0) = 2n-1 sin# ś# = n
ś# ź# ś# ź#
#
-1
2 2
# # # # #
(-1) 2n-1, ja n = 2k
2
#
Ievietojot to Maklorena formul, iegksim
14. nodarb%2łba. 12. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
"
(-1)k-122k-1 2 23 25 27
sin2 x = x2k = x2 - x4 + x6 - x8 +K
"
(2k)! 2! 4! 6! 8!
k=1
2) `o paau uzdevumu var r7int savdk. Pc trigonometriskas formulas
1
sin2 x = (1- cos2x).
2
Izmantosim funkcijas y = cos x izvirz%2łjumu Maklorena rind:
"
(-1)n x2n = 1- x2 x4 x6
cos x = + - +K
"
(2n)! 2! 4! 6!
n=0
Tad
"
(-1)n (2x)2n = 1- (2x)2 (2x)4 (2x)6
cos 2x = + - +K
"
(2n)! 2! 4! 6!
n=0
un
#
1 1 (2x)2 (2x)4 (2x)6 ś#
ś#1-1+ - + -Kź# =
sin2 x = (1- cos 2x) =
ś# ź#
2 2 2! 4! 6!
# #
k
" -1 -1
2 23 25 27
= x2 - x4 + x6 - x8 +K =
"(-1) 22k x2k .
2! 4! 6! 8! (2k)!
k =1
Esam ieguvuai to paau rezulttu, ko ieprieka.
14. nodarb%2łba. 13. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Uzdevumi 5 2 sem
Uzdevumi 4 2 sem
Uzdevumi 8 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 9 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 1 2 sem
Uzdevumi 6 2 sem
Uzdevumi 2 2 sem
Uzdevumi 3 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 2 sem
mk wyklady transport sem 1
Przykładowy egzamin sem III

więcej podobnych podstron