Uzdevumi 5 2 sem


R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
5. nodarb%2łba
1. piemrs. Apr7int laukumu plaknes figkrai, kuru ierobe~o parabola y = 6x - x2 un
Ox ass y = 0.
Apr7inmais laukums ir pard%2łts z%2łmjum.
y
9 Vispirms atrad%2łsim integraanas robe~as, atrisinot
viendojumu 6x - x2 = 0 . Tad x(6 - x) = 0 un
iegkstam x1 = 0 , x2 = 6 , l%2łdz ar to l%2łkl%2łniju
trapeces laukums ir viends ar
6
6
# ś#
ś#6 x2 x3 ź#
S = (6x - x2)dx = " - =
+"
ś# ź#
2 3
# #
0
0
= (3" 62 - 2 " 62)= 36(3 - 2) = 36 .
O 6 x
2. piemrs. Apr7int laukumu plaknes figkrai, kuru ierobe~o parabola y = -x2 , Ox
ass y = 0 un taisne x = 2.
Apr7inmais laukums ir pard%2łts z%2łmjum.
y
`aj gad%2łjum zemintegr<a funkcija ir negat%2łva vis
2
O
integrcijas apgabal, tpc
x
2
2
x3 8
S = - -x2 dx = = .
( )
+"
3 3
0
0
4
3. piemrs. Apr7int laukumu plaknes figkrai, ja to ierobe~o sinuso%2łda y = sin x , Ox
Ą 4Ą
ass y = 0 un taisnes x = un x = .
2 3
Apr7inmais laukums ir pard%2łts z%2łmjum.
5. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
Ą 4 Ą
Ą 4 Ą
y 9y=sinHxL,x= ,x= =
y 9y=sinHxL,x= ,x= =
2 3
2 3
1
1
0.5
0.5
x
x
Ą Ą Ą
Ą Ą Ą
2 Ą 5 Ą 7 Ą 4 Ą 3 Ą 5 Ą 11
2 Ą 5 Ą 7 Ą 4 Ą 3 Ą 5 Ą 11
Ą 2
Ą 2 Ą


Ą Ą
Ą


6 3 2
6 3 2
3 6 6 3 2 3 6
3 6 6 3 2 3 6
-0.5
-0.5
-1
-1
Ą 4Ą
Ą# ś# # ń#
Ir zinms, ka sin Ą = 0 un sin x > 0 , ja x " ; Ą un sin x < 0 , ja x " Ą; . Tpc
ź# ś#
ó# Ą#
2 3
Ł# # # Ś#
4Ą
4Ą
Ą
3
Ą 4Ą
Ą
3
S = xdx - sin xdx = cos x + cos x = - cosĄ + cos + cos - cosĄ =
+"sin +" Ą
Ą
2 3
Ą
Ą
2
2
1 1 3
= -(-1)+ 0 - - (-1) = 2 - = .
2 2 2
4. piemrs. Apr7int laukumu plaknes figkrai, kuru ierobe~o parabola y = (x -1)2 ,
taisne y = 1+ 2x un Ox ass y = 0.
Apr7inmais laukums ir pard%2łts z%2łmjum.
Atrad%2łsim mks interesjoao taisnes un
y
parabolas krustpunkta abscisu:
1+ 2x = (x -1)2 , 1+ 2x = x2 - 2x +1,
1
x2 - 4x = 0 , x(x - 4) = 0 ,
S1 S2
x1 = 0 , x2 = 4 (neder).
1
O 1 x
2
Tagad atrad%2łsim abu l%2łniju krustpunktu ar
Ox asi abscisas:
1
1+ 2x = 0 ! x = ;
2
(x -1)2 = 0 ! x = 1 .
5. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
Dots figkras laukumu apr7insim k divu laukumu summa. Pirm figkra ir taisnleF7a
trijstkris ar 0,5 un 1 vien%2łbu garm katetm. T laukums
0,5 "1 1
S1 = = .
2 4
Otrs figkras laukums
1
1 1
(x -1)3 1 1
# ś#
S2 = -1)2 dx = -1)2 d(x -1) = = 0 - ś#- ź#
= .
+"(x +"(x
3 3 3
# #
0 0
0
Visas figkras laukums
1 1 7
S = S1 + S2 = + = .
4 3 12
5. piemrs. Apr7int laukumu plaknes figkrai, kuru ierobe~o parabola
y = 6x -10 - x2 un taisne y = -x .
Apr7inmais laukums ir pard%2łts z%2łmjum.
Atrad%2łsim taisnes un parabolas krustpunktus:
y
2 5
6x -10 - x2 = -x , x2 - 7x +10 = 0 ,
O x
x1 = 2 , x2 = 5.
`ie skait<i ir ar%2ł noteikt integr<a robe~as. Figkru no
augaas ierobe~o parabola y = 6x -10 - x2 , no apakaas 
taisne y = -x , ttad
5 5
S = (6x -10 - x2 - (- x))dx = (7x -10 - x2)dx =
+" +"
2 2
5
#
x3 ś# 175 125 8 125 8
# ś# #14 ś#
ś#7 x2 ź#
= " -10x - = - 50 - ź# - ś# - 20 - ź# - 50 - + 6 + =
= 87,5
ś#
ś# ź#
2 3 2 3 3 3 3
# # # #
# #
2
117
= 43,5 - = 43,5 - 39 = 4,5 .
3
5. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
6. piemrs. Apr7int laukumu plaknes figkrai, kuru to ierobe~o parabola y2 = 3 - x
un taisne x = -1.
Apr7inmais laukums ir pard%2łts z%2łmjum. T k apgabals ir simetrisks attiec%2łb pret
Ox asi, apr7insim pusi no t laukuma un reizinsim ar
y
2. No parabolas viendojuma y = ą 3 - x . Eemsim
parabolas augajo zaru, tad y = 3 - x un
3
3
O
3 3
1
(3 - x)=
2
S = 2 3 - xdx = -2 - x) d(3 - x) = -2 "
2
-1 3 x
+" +"(3
3
-1 -1
2
-1
3
4 4 32
= - (3 - x)3 = - (0 - 8) = .
3 3 3
-1
7. piemrs. Apr7int laukumu plaknes figkrai, kuru to ierobe~o l%2łnijas y = arccos x ,
x
y = arccos , y = 0 .
2
Apr7inmais laukums ir pard%2łts z%2łmjum. K redzam no z%2łmjuma, ja x "[0; 1],
apgabalu no augaas ierobe~o l%2łnija
y
x
y = arccos , no apakaas  l%2łnija
2
Ą
y = arccos x , bet, ja x "[1; 2], apgabalu no
x
augaas ierobe~o l%2łnija y = arccos , no
Ą
2
2 apakaas  l%2łnija y = 0 . L%2łdz ar to (ja
integrjam pc x), laukumu var apr7int k
divu noteikto integr<u summu:
1 2
x x
#
S =
ź#
+"ś#arccos 2 - arccos xś#dx + +"arccos 2 dx .
O 1 2 x
# #
0 1
Ta%0ńu, mainot lomm x un y (t.i., Femot x k funkciju un y k neatkar%2łgo main%2łgo), ne
tikai jr7ina viens integrlis, bet tas ar%2ł bks daudz vienkraks par iepriekajiem
integr<iem. No l%2łniju viendojumiem izteiksim
x x
y = arccos x ! x = cos y , y = arccos ! = cos y, x = 2cos y .
2 2
Tad iegksim
5. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
Ą Ą
Ą
2 2
Ą
2
S =
+"(2cos x - cos x)dx = +"cos xdx = sin x = sin 2 - sin 0 = 1.
0
0 0
8. piemrs. Apr7int laukumu plaknes figkrai, kuru ierobe~o l%2łnijas
ż#
#
(1- x)3 , ja 0 d" x d"1, x = 0, y = 0, x = e .
y =
#
#
ln x, ja 1< x d" e
#
`eit l%2łkl%2łniju trapeci no augaas ierobe~o l%2łnija, kas uzdota ar divm ata7ir%2łgm funkcijm
pie ata7ir%2łgiem neatkar%2łg main%2łg x intervliem. Apr7inmais laukums ir pard%2łts
z%2łmjum.
y
y
1
1
y=lnx
y="################3#
H1 - xL##
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
x
x
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.5 1 1.5 2 2.5 3
.
1 dx
e
u = ln x; du =
S = (1- x)3dx + ln xdx = =
+"
x
+"
dv = dx; v = x
0 1
5
3 e
1
e 1 e
(1- x)+ elne - ln1- x =
2
2
= - x) d(1- x)+ xln x - = -
+"(1- +"dx
5
0 1 0 1
1
2
2 2 7
= (0 -1)+ e - e +1= +1 = .
5 5 5
Ą Ą
9. piemrs. Atrast loka garumu l%2łnijai y = ln sin x no x = l%2łdz x = .
3 2
Dot l%2łnija pard%2łta z%2łmjum.
5. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
Vispirms noteiksim dots funkcijas atvasinjumu:
y
1
2
x y = " cos x = ctg x .
1 2 3 4
sin x
Tad mekltais loka garums ir
-1
Ą Ą
2 2
Ą# 1 ń# dx
-2
L = 1+ ctg2xdx = ctg2x = = =
+" ó#1+ Ą# +"
sin x
Ł# sin2 x Ś#
Ą Ą
3 3
-3
Ą Ą
Ą
2 2
2
-4 sin xdx d(cos x) 1 1+ cos x
= = -
+" +"1- cos2 x = - ln 1- cos x Ą =
2
sin2 x
Ą Ą
3
3 3
-5
# Ą Ą ś# # 1 ś#
ś# 1+ cos 1+ cos ź# ś# 1+ ź#
1 1 1 1
2 3
ś#ln ź# ś#ln 1+ 0 ln 2 ź#
= - - ln = - - = - (0 - ln 3) = ln 3
Ą Ą 1
ś# ź# ś# ź#
2 2 1- 0 2 2
1- cos 1- cos 1-
ś# ź# ś# ź#
2 3 2
# # # #
ex +1
10. piemrs. Atrast loka garumu l%2łnijai y = ln no x = 1 l%2łdz x = 10 .
ex -1
Dot l%2łnija pard%2łta z%2łmjum.
y
10
Vispirms noteiksim dots funkcijas
atvasinjumu:
8
2
#
ś#ln ex +1ś#
ź#
2
y = = (ln(ex +1)- ln(ex -1))2 =
ś#
ex -1ź#
# #
6
ex ex ex(ex -1)- ex(ex +1)=
= - =
4
ex +1 ex -1 (ex +1)(ex -1)
e2x - ex - e2x - ex 2ex
2
= = - .
e2x -1 e2x -1
x
Mekltais l%2łnijas loka garums ir
2 4 6 8 10
2
10 10 10
# ś#
4e2x e4x - 2e2x +1+ 4e2x
ś#- 2ex ź#
L = 1+ dx = 1+ dx = dx =
+" +" +"
ś#
e2x -1ź# 1 e4x - 2e2x +1 e4x - 2e2x +1
# #
1 1
5. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
2
10 10 10 10
e4x + 2e2x +1 (e2x +1) e2x +1 e2x -1+ 2
= dx = dx = dx = dx =
+" +"
2
e4x - 2e2x +1
(e2x 1 1
1 1 -1)+" e2x -1 +" e2x -1
10 10 10 10
10
dx e-2xdx 1 d(1- e-2x)= 9 + ln 1- e-2x =
10
= + 2 = x + 2
+"dx +" +"1- e-2x = 10 -1+ 2 " +"
1
2 1
e2x -1 1- e-2x
1 1 1 1
1- e-10
= 9 + ln(1- e-10)- ln(1- e-2)= 9 + ln .
1- e-2
11. piemrs. Plaknes da<a, kuru ierobe~o l%2łnijas y = ln x , x = e , y = 0 , rot a) ap Ox
asi; b) ap Oy asi. Apr7int iegkt rotcijas 7ermeFa tilpumu.
b
a) Rotcijas 7ermeFa tilpumu apr7ina pc formulas V = Ą y2dx .
+"
a
Plaknes da<a, kura rot ap doto asi, izskats sekojoai:
y
y = ln x
1
e x
0
1
e 1 e
Ą#u = ln2 x, du = 2ln x " dxń# # e
ś#
2
ś#
ó# Ą#
V = Ą xdx = = Ą x ln2 x - 2 xdxź# =
x
+"ln +"ln ź#
ś#
1
ó# Ą#
1
dv = dx, v = x
# 1 #
Ł# Ś#
dx e
Ą#u = ln x, du = ń#
# ś#
# ś#
e e
2
ś#eln
ó# Ą#
= = Ą e -1" ln2 1- 2ś# x ln x - = Ą(e - 2(e - x ))=
x
+"dxź#ź#
1 1
ś# ś# ź#
ź#
ó# Ą#
dv = dx, v = x
# 1 #
# #
Ł# Ś#
= Ą(e - 2(e - e +1)) = Ą(e - 2).
d
b) Ja rotcija notiek ap Oy asi, izmanto formulu V = Ą x2dy .
+"
c
y
y = ln x ! x = e
5. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
1
1
1 1 Ą
#e2 #e2
V = Ą (e2 - e2 y )dy = Ą y - e2 y ś# = Ą - (e2 -1)ś# = (e2 +1).
ś# ź# ś# ź#
+"
2 2 2
# # # #
0 0
x2 y2
12. piemrs. Atrast tilpumu elipso%2łdam, kura rodas elipsei + = 1 rotjot ap Ox
9 4
asi.
Dot elipse krusto Ox asi punktos x = -3 un x = 3 . Elipse ir simetriska attiec%2łb pret
Oy asi, tpc varam r7int tilpumu pusei no elipso%2łda un pc tam pareizint ar divi.
Elipso%2łda a7rsgriezums ir pard%2łts z%2łmjum.
No elipses viendojuma izteiksim
y
# ś#
x2 ź#
2
y2 = 4ś#1- .
ś# ź#
9
# #
Mekltais rotcijas 7ermeFa tilpums ir
-3 O 3 x
3
b 3
# ś# # ś#
x2 x3
V = Ą y2dx = 2Ą
+" +"4ś#1- ź#dx = 8Ą ś# x - ź# =
-2
ś# ź# ś# ź#
9 27
# # # #
a 0
0
# ś#
ś#3 33 ź#
= 8Ą - = 8Ą(3 -1) = 16Ą .
ś# ź#
27
# #
13. piemrs. Atrast tilpumu 7ermenim, kas rodas l%2łkl%2łniju trapecei, kuru veido Oy ass,
taisne y = 4 un parabola y = x2 , rotjot ap Oy asi.
Apgabals, kura rot ap Oy asi, ir pard%2łts z%2łmjum. T k aoreiz rotcija notiek
ap Oy asi, tad
y
y = x2
4
4
d 4
y2 42
V = Ą x2dy = Ą ydy = Ą " = Ą " = 8Ą .
+" +"
2 2
c 0
0
O 2 x
5. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
14. piemrs. Figkra, kuru ierobe~o l%2łnijas y = x2 + 2 un y = 4 - x2 rot a) ap Ox asi; b)
ap Oy asi. Apr7int iegkt rotcijas 7ermeFa tilpumu.
Uzz%2łmsim doto apgabalu:
y
Vispirms jatrod l%2łniju krustpunktu koordintas:
y = x2 + 2
x2 + 2 = 4 - x2 , 2x2 = 2 , x = ą1, y(ą1) = 3 .
4
a) T k rotjoaais apgabals ir simetrisks attiec%2łb pret
Oy asi, tad integrsim no 0 l%2łdz 1 un rezulttu
reizinsim ar 2:
2
b 1
y = 4 - x2
2 2
2 2 ś#dx
Vx = Ą (y1 (x)- y2 (x))dx = 2Ą (4 - x2) -(x2 + 2) =
ś# ź#
+" +"#
# #
a 0
O 1 x
1 1 1
= 2Ą (16 - 8x2 + x4 - x4 - 4x2 - 4)dx = 2Ą (12 -12x2)dx = 24Ą (1- x2)dx =
+" +" +"
0 0 0
1
# ś#
x3 2
#1- 1
ś#
ś# ź#
= 24Ą x - = 24Ą = 24Ą " = 16Ą .
ś# ź#
ś# ź#
3 3 3
# #
# #
0
b) Tilpumu rotcijas 7ermenim, kas veidojas, apgabalam rotjot ap Oy asi, jr7ina, k
divu tilpumu summu. Apgabalu sadalm divs da<s, k tas pard%2łts z%2łmjum. No l%2łniju
viendojumiem izteiksim
y = x2 + 2 ! x2 = y - 2, y = 4 - x2 ! x2 = 4 - y .
Ttad
3 4
3 4
#
y2 ś# # y2 ś#
ś# ś# ź#
Vy = Ą - 2)dy + Ą - y)dy = Ą - 2yź# + Ą 4y - =
+"(y +"(4
ś# ź# ś# ź#
2 2
# # # #
2 3
2 3
9 9
# ś#
= Ą - 6 - 2 + 4 +16 - 8 -12 + = Ą .
ś# ź#
2 2
# #
5. nodarb%2łba. 9. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Uzdevumi 4 2 sem
Uzdevumi 8 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 9 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 1 2 sem
Uzdevumi 6 2 sem
Uzdevumi 2 2 sem
Uzdevumi 3 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 2 sem
mk wyklady transport sem 1
Przykładowy egzamin sem III

więcej podobnych podstron