METODY OBLICZENIOWE

Rachunek macierzowy

1. Dla następujących macierzy

1

0

2

− 3 2









A =  2 − 1 3 , B =  0

1









4 1

8

 7

4

oblicz: a) A-1

b) AAT

c) BTAB

d) (2A+BBT)AT

Odpowiedzi:

−11 2

2 

 5

8

20









−

a)

1

A

=  − 4 0

1  b) T

AA =  8

14

31









 6

−1 − 

1

20 31 81

 − 3

1

−10

275 257

(2A + T

BB )





c)

T

B AB = 

 d)

T

A

=  26

43

103 

 213 199 





157 227 634 

2. Wyznacz dla jakich wartości a, b∈R, macierz

0 a 1 0 b





1 0 0 b 0





A = 0 1 b 0 1

 b 0 0 1 0





0 b 1 0 b

jest macierzą osobliwą.

3. Sprawdź czy macierz

 1

1

2 



−



 2

2

2 



1

1

2 

A =  −





2

2

2 



2

2



−

−

0 



2

2



jest ortogonalna (użyj komendy IsOrthogonal). Na powyższym przykładzie sprawdź

następujące własności macierzy ortogonalnej:

a) AT = A-1

b) det(A) = 1

±

n

n

c) ∑ a a = δ , ∑ a a = δ

is

js

ij

si

sj

ij

s =1

s =1

1 dla i = j gdzie δ =

ij

0 dla i ≠ j 4. Oblicz wyznacznik następujących macierzy pasmowych

 2

x + 1

x

0

0



 2

x + 1

x

0













2

x

x + 1

x

0





2

x

x + 1

x

 , 

2





0

x

x + 1

x

0

2

x

x + 









1



2



 0

0

x

x + 

1

Wskazówka: Do generowania macierzy pasmowych można użyć komendy BandMatrix W jakiej ogólnej postaci (dla dowolnego stopnia macierzy n) można zapisać wyznacznik macierzy zbudowanych w powyższy sposób?

5. Wygeneruj macierz stopnia 10, której elementy dane są zależnością: ( i + j − 2)!

a =

ij

( i − )1!( j − )1!

Obliczyć wyznacznik tej macierzy.

Co oznaczają elementy na przekątnych górnych, prostopadłych do przekątnej głównej?