Przekształcenia kanoniczne
W formalizmie Lagrange’a możemy dowolnie zmieniać współrzędne uogólnione, a postać równań ruch nie ulega zmianie tzn. jeśli wprowadzimy współrzędne Q ( q , q ,K, q ) , to i
1
2
n
d ∂ L
∂ L
d ∂ L
∂ L
spełniają one równania
−
= 0
q spełniają
−
= 0 .
dt ∂ Q&
, jeśli
∂ Q
i
dt ∂ q&
∂ q
i
i
i
i
∂ L
W formalizmie Hamiltona tak nie jest, bo q i p musza spełniać jeszcze związek p& =
.
i
i
i
∂ qi
Definicja
q → Q ( q , q ,K, q ; p , p ,K, p ) Transformacja
i
i
1
2
n
1
2
n
i = ,
1 ,
2 K, n
p → P ( q , q ,K, q ; p , p ,K, p ) i
i
1
2
n
1
2
n
nazywa się kanoniczną jeśli Q i P spełniają równania kanoniczne. Tzn. jeśli q i p spełniają i
i
i
i
H
∂ ( p, q, t)
H
∂ ( p, q, t)
q& =
,
p& = −
(1)
i
i
p
∂
q
∂
i
i
to Q i P mają spełniać i
i
&
H
∂ ' ( P, Q, t) H
∂ ' ( P, Q, t) Q =
,
P& = −
(2)
i
i
P
∂
Q
∂
i
i
gdzie H' jest nową funkcja Hamiltona H' ( P, Q, t) ≡ H ( p Q
( , p), q Q
( , p), t ) .
Warunki, które musi spełniać transformacja, żeby była kanoniczną można otrzymać z zasady wariacyjnej Hamiltona. Równania (1) bowiem wynikają ze znikania wariacji t 2
N
∫ dt∑ q&
δ
p − H ( p, q, t) = 0
i
i
i=1
1
t
natomiast równania (2) z
t 2
N
∫
dt ∑
Q&
δ
P − H '( P, Q, t) = 0 .
i
i
i=1
1
t
Ponieważ q
δ ( t ) = q
δ ( t ) = 0 oraz Q
δ ( t ) = Q
δ ( t ) = 0 , więc do każdej funkcji podcałkowej 1
2
1
2
można dodać zupełną pochodną dowolnej funkcji współrzędnych i czasu, odpowiednio dg( q, t)
dG Q
( , t)
lub
, gdyż
dt
dt
t 2
δ ∫ dg( q, t)
dt
= δ [ g( q( t ), t ) − g( q( t ), t )] = 0 .
2
2
1
1
dt
1
t
dF ( q, Q, t) A zatem różnicą funkcji podcałkowych może być
, tzn.
dt
1
N
&
dF ( q, Q, t)
∑ q& p − H( p, q, t) − ∑ Q P + H' ( P, Q, t) =
i
i
i
i
i 1
=
i 1
=
dt
co daje
N
N
N F
∂
F
∂
F
∂
∑ p dq − H( p, q, t) dt − ∑ PdQ + H' ( P, Q, t) dt = dF( q, Q, t) = ∑
dq +
dQ −
dt
i
i
i
i
i
i
=1
=1
=1 ∂
∂
∂
i
i
i
q
Q
t
i
i
Przy dowolnych q
δ oraz Q
δ dostajemy
F
∂ ( q, Q, t)
F
∂ ( q, Q, t)
F
∂ ( q, Q, t)
p =
,
P = −
,
H ( p, q, t) − H '( P, Q, t) =
i
q
i
∂
Q
∂
t
∂
i
i
co prowadzi do związku
p
∂
∂2 F ( q, Q, t) P
∂ j
i
=
= −
Q
∂
q
∂
Q
∂
q
∂
j
i
j
i
F ( q, Q, t) nazywa się funkcja tworząca transformacji kanonicznej.
Definiujemy nową funkcję tworzącą Φ( q, P, t) ≡ F ( q, Q( q, P), t) + ∑ Q P , i
i
i
Φ
d
= dF + ∑( PdQ + Q dP ) i
i
i
i
i
Jak poprzednio, żądamy
∑ N
N
p dq − H ( p, q, t) dt −
PdQ
H' ( P, Q, t) dt dF
d ( q, P, t) PdQ
Q dP
i
i
∑
+
=
= Φ
−
i
i
∑(
+
)
i
i
i
i
i=1
i=1
i
Uwzględniając, że
N ∂Φ
Φ
∂
Φ
∂
dΦ( q, P, t) = ∑
dq +
dP −
dt
,
i
i
=1 ∂
∂
∂
i
q
P
t
i
i
dostajemy
Φ
∂ ( q, P, t)
Φ
∂ ( q, P, t)
Φ
∂ ( q, P, t)
p =
,
Q =
,
H ( p, q, t) − H '( P, Q, t) = −
i
q
i
∂
P
∂
t
∂
i
i
co daje
p
∂
∂2Φ( q, P, t)
Q
∂ j
i =
=
P
∂
q
∂
P
∂
q
∂
j
i
j
i
2
q → Q ( q , q ,K, q ; p , p ,K, p ) Je
i
i
1
2
n
1
2
n
śli transformacja
i = ,
1 ,
2 K, n
p → P ( q , q ,K, q ; p , p ,K, p ) i
i
1
2
n
1
2
n
jest kanoniczna to
∂ p
P
∂
p
∂
Q
∂
i
j i j (
3
)
= −
,
=
Q
∂
q
∂
P
∂
q
∂
j
i
j
i
Nawiasy Poissona
Bezpośrednio z definicji nawiasów Poissona mamy
{ q , q } = 0 = { p , p } ,
{ p , q }
ij
= δ
i
j
i
j
i
j
pq
pq
pq
{K, }
K
- nawias Poissona obliczany przy użyciu współrzędnych i pędów p i q.
pq
Równanie (3) zaś daje
{ Q , Q } = 0 = { P , P } ,
{ P, Q }
ij
= δ
i
j
i
j
i
j
pq
pq
pq
co dowodzi się prostym przeliczeniem.
Twierdzenie
Nawias Poissona dwóch dowolnych wielkości f i g jest niezmiennikiem transformacji kanonicznej tzn.
{ f , g} = { f , g}
pq
PQ
Dowodzi się dosyć żmudnym przeliczeniem.
Twierdzenie
Zachodzenie związków
{ Q , Q } = 0 = { P, P } ,
{ P , Q }
ij
= δ
i
j
i
j
i
j
pq
pq
pq
jest warunkiem koniecznym i dostatecznym, że transformacja ( q, p, H ) → ( Q, P, H' ) jest kanoniczna.
Konieczność została wykazana powyżej. Dostateczność łatwo wykazać dla transformacji niezależnych od czasu. Wtedy
∂
∂
∂
∂
Q& = { H , Q }
= { H , Q }
H
Q
H
H
i
ij
= ∑
= ∑
δ =
i
i
pq
i PQ
P
∂
Q
∂
P
∂
P
∂
j
j
j
j
j
i
∂
∂
∂
∂
P& = { H , P}
= { H , P}
H
P
H
H
i
ij
= −∑
= −∑
δ = −
i
i
pq
i PQ
Q
∂
P
∂
Q
∂
Q
∂
j
j
j
j
j
i
Ogólny dowód pomijam.
3
Wykład XI cd. Mechanika Twierdzenie
Jakobian transformacji kanonicznej jest równy jedności.
Dowód
Q
∂
Q
∂
P
∂
P
∂
1
n
1
n
L
L
q
∂
q
∂
q
∂
q
∂
1
1
1
1
M
M
M
M
M
M
Q
∂
Q
∂
P
∂
P
∂
1
n
1
n
L
L
∂ Q
( , P)
q
∂
q
∂
q
∂
q
∂
n
n
n
n
J ≡
=
∂
Q
∂
Q
∂
P
∂
P
( q, p
∂
)
1
n
1
n
L
L
p
∂
p
∂
p
∂
p
∂
1
1
1
1
M
M
M
M
M
M
Q
∂
Q
∂
P
∂
P
∂
1
n
1
n
L
L
p
∂
p
∂
p
∂
p
∂
n
n
n
n
Korzystamy z własności jakobianów dotyczącej złożenia transformacji ( X ) → ( Y ) → ( Z ) :
∂( X )
∂( X ) / ∂( Z )
=
∂( Y )
∂( Y ) / ∂( Z )
∂( Q)
∂( P)
∂( q)
∂( q)
∂( Q)
∂( P)
∂( Q)
∂( P)
∂( Q)
∂( q)
∂( q)
∂( Q, P)
∂( Q, P) / ∂( q, P)
∂( P)
∂( P)
0
1
∂( q)
A
J ≡
=
=
=
=
=
= 1
∂( q, p)
∂( q, p) / ∂( q, P)
∂( q)
∂( p)
1
0
∂( p)
T
A
∂( q)
∂( p)
∂( q)
∂( q)
∂( P)
∂
∂ q
∂
( P)
∂( P)
( )
( p)
∂( P)
∂( P)
Q
∂
p
∂
ij
j
gdzie macierz
i
A ≡
=
, T
A oznacza macierz transponowaną ( AT = A ) .
q
∂
P
∂
i
j
4