Instytut Matematyki PK
GEOMETRIA ANALITYCZNA
Zadanie 1. Dane s¡ wektory ~a = [1, 2, −1], ~b = [1, −1, 1], ~c = [−1, −1, 2]. Wyznaczy¢ wektor h
i
h
i
~
x = (~a + 2~
c) × ~b ·
~a × ~b ◦ 3~b − ~a
.
Zadanie 2. Wyznaczy¢ k¡t mi¦dzy wektorami ~a i~b, je±li wiadomo, »e |~a| = 1, |~b| = 2 oraz |~a−~b|2+|~a+2~b|2 = 20.
Zadanie 3. Wykaza¢, »e punkty A = (1, 2, −1), A = (0, 1, 5), A = (−1, 2, 1) i A = (2, 1, 3) le»¡ w jednej pªaszczy¹nie.
Zadanie 4. Dane s¡ punkty A = (1, 1, 2), B = (0, −1, 0), C = (1, −1, 2) i D = (1, 0, 1). Wyznaczy¢: a) równanie prostej przechodz¡cej przez punkty A i B, b) odlegªo±¢ punktu D od prostej AB,
c) równanie pªaszczyzny zawieraj¡cej punkty A, B i C, d) rzut punktu D na pªaszczyzn¦ zawieraj¡c¡ punkty A, B i C, e) dªugo±¢ wysoko±ci czworo±cianu ABCD poprowadzonej z wierzchoªka D, f) obj¦to±¢ czworo±cianu ABCD,
−
−
→ −→ −
−
→
g) obj¦to±¢ równolegªo±cianu rozpi¦tego na wektorach AB, AC, AD, h) punkt symetryczny do punktu D wzgl¦dem pªaszczyzny zawieraj¡cej punkty A, B i C.
Zadanie 5. Znale¹¢ równanie pªaszczyzny:
a) przechodz¡cej przez punkt A = (1, 2, 3) i prostopadªej do wektora ~n = [2, 1, −1],
−
−
→
b) przechodz¡cej przez punkt C = (1, 1, −1) i prostopadªej do wektora AB, je±li A = (1, 1, 1), B = (2, 0, 1), c) przechodz¡cej przez punkt A = (0, 1, 0) i równolegªej do wektórów ~a = [1, 2, 1] i ~b = [2, −1, 0] w postaci parametrycznej i ogólnej,
d) przechodz¡cej przez punkty A = (1, 1, 0), B = (2, 0.0) i równolegªej do wektóra ~a = [1, 2, 1], e) przechodz¡cej przez punkt A = (1, 1, 1) i równolegªej do pªaszczyzny Σ : x + 2y − z + 1 = 0, d) przechodz¡cej przez pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych i prostopadªej do pªaszczyzn Σ1 : x + 2y − z + 1 = 0 i Σ2 : 2x − y + z = 0.
x = 1 + t
Zadanie 6. Znale¹¢ rzut prostej l :
y = 2 − t
, t ∈ R na pªaszczyzn¦ Π : x + y + z − 1 = 0. Wyznaczy¢ k¡t
z = 1 + 2t
mi¦dzy prost¡ l i pªaszczyzn¡ Π.
Zadanie 7. Znale¹¢ rzut prostej
x + y − z = 0
l :
, t ∈
2x + y + 2z + 1 = 0
R na pªaszczyzn¦ Π : x − y + z + 1 = 0.
Wyznaczy¢ k¡t mi¦dzy prost¡ l i pªaszczyzn¡ Π.
x = 1 + t
Zadanie 8. Zbada¢ wzajemne poªo»enie prostych x + y − z = 0
l1 :
i l
y = 2 − t
, t ∈
2x + y + 2z + 1 = 0
2 :
R.
z = 1 + 2t
Zadanie 9. Zbada¢ wzajemne poªo»enie pªaszczyzn Σ1 : x + 2y − z + 1 = 0 i Σ2 : 2x − y + z = 0.
x = t
Zadanie 10. Wyznaczy¢ punkt symetryczny do punktu A = (1, 0, 0) wzgl¦dem prostej l : y = −t , t ∈ R.
z = 2t
x = s
x = 1 + t
Zadanie 11. Zbada¢ wzajemne poªo»enie prostych l1 : y = 2
, s ∈ R i l2 :
y = 2 − t
, t ∈ R.
z = 1 − s
z = 1 + 2t
Zadanie 12. Zbada¢ wzajemne poªo»enie pªaszczyzn Σ1 : −4x + 2y − 2z + 1 = 0 i Σ2 : 2x − y + z = 0. W
przypadku pªaszczyzn przecinaj¡cych si¦ wyznaczy¢ przeci¦cie, w przypadku pªaszczyzn równolegªych wyznaczy¢ ich odlegªo±¢.