Bardzo krótki kurs

różniczkowania

i całkowania

Rysunki i tablice: I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Matematyka.

Poradnik encyklopedyczny, PWN, Warszawa 1968

dodawanie odejmowanie mnożenie dzielenie różniczkowanie

całkowanie

różniczkowanie

f(x) f’(x) całkowanie

Pochodna

funkcji f(x)

Technika różniczkowania

Pochodna sumy algebraicznej dwóch lub kilku funkcji (u(x), v(x), w(x), ...) jest równa sumie algebraicznej pochodnych każdej z tych funkcji:

(u+v+w+...)’ = u’+v’+w’+...

Stały czynnik można wynosić przed znak pochodnej: (cu)’ = cu’

Pochodna iloczynu dwóch lub kilku funkcji jest równa: (uv)’=u’v+uv’

Pochodną ilorazu oblicza się wg wzoru:

′

 u 

v '

u −uv'

  =

2

 v 

v

2

y = (cos(2x − 3))

Pochodna funkcji złożonej: jeżeli y=f(u) i u=ϕ(x), to:

dy =

(...)2

f '(u) '

ϕ (x)

(2x–3)

dx

cos(...)

Jak obliczamy pochodne?

Pochodną funkcji złożonej sprowadzamy za

pomocą wcześniej poznanych wzorów do

kombinacji pochodnych funkcji elementarnych

całkowanie

różniczkowanie

F(x)+C

f(x)

f’(x)

F’(x)=f(x)

Funkcja

Funkcja

Pochodna

pierwotna

f(x)

funkcji f(x)

funkcji f(x)

Jak obliczamy całki?

Całkę funkcji złożonej sprowadzamy, za

pomocą wzorów lub metodą podstawiania,

do kombinacji całek funkcji elementarnych

Nie zawsze jest to możliwe → całkowanie numeryczne

Podstawowe własności całki oznaczonej Całka o równych granicach całkowania jest równa 0: a

∫ f(x d

) x = 0

a

Przy przestawianiu granic całkowania całka zmienia znak na przeciwny:

b

a

∫ f(x d

) x = −∫ f (x d

) x

a

b

Rozkład całki: dla dowolnych liczb a, b, c zachodzi związek: b

c

b

∫ f(x d

) x = ∫ f (x d

) x + ∫ f (x d

) x

a

a

c

Całka sumy algebraicznej kilku funkcji jest równa odpowiedniej sumie algebraicznej całek tych funkcji:

b

b

b

b

∫ f[(x) + ϕ(x) − ψ(x) d

] x = ∫ f(x d

) x + ∫ ϕ(x d

) x − ∫ ψ(x d

) x

a

a

a

a

Stały czynnik można wynieść przed znak całki: b

b

∫ cf(x d

) x = c∫ f(x d

) x

a

a

Obliczanie całek oznaczonych Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego (wyrażenie całki oznaczonej przez nieoznaczoną). Jeżeli

Całka nieoznaczona

to

∫ f(x d

) x = F(x) + C

= funkcja

b

b

oznaczenie

b

∫ f(x d

) x = F(b) − F(a)  

 → [F(x)] lub F(x)

a

a

a

Całka oznaczona

= liczba

Stała całkowania C przy podstawieniu granic całkowania znika i dlatego można ją pominąć

Prz

Mamy funkcję f(x) = 5ex+3x3; obliczyć jej pochodną, całkę ykła

nieoznaczoną oraz całkę oznaczoną w granicach {0, 1}

d

Pochodna:

x

3

x

3

x

3

x

3−1

x

2

f '(x) = ( e

5

+ 3x )' = ( e

5

)' +(3x )' = (

5 e )' + (

3 x )' = e

5

+ 3⋅ 3x

= e

5

+ 9x

Całka nieoznaczona, czyli funkcja pierwotna F(x): x3+1

3

∫ ( e

5 x + 3x3 d

) x = ∫ ( e

5 x d

) x + ∫ (3x3 d

) x = 5∫ exdx + 3∫ x3dx = e 5 x + 3 ⋅

= e

5 x +

x4 + C

3 + 1

4

Sprawdzamy, czy otrzymana funkcja jest rzeczywiście funkcją pierwotną: F’(x) = f(x)

3

3

3

'

F (x) = ( e

5 x +

x4 + C)' = ( e

5 x )' +( x4 )' + '

C = e

5 x +

⋅4x4−1 + 0 = e

5 x + 3x3 = f (x) c.b.d.o.

4

4

4

Całka oznaczona w granicach: a=0, b=1:

b

3

f(x) = 5ex+3x3

∫f(x d

) x = F(b) − F(a)

F(x) = e

5 x +

x4 + C

4

a

1

1

∫ f(x d

) x = ∫

3

3

x

( e

5

+ 3

3x d

) x = F )

1

(

− F(0) =

x

( e

5

+

4

x + C) −

x

( e

5

+

4

x + C) =

4

4

0

0

1

0

3

= e

5 +

+ C − 5 − 0 − C = e 5 + .

0 75 − 5 = .

9 25

4

Liczba!

całkowanie

różniczkowanie

F(x)+C

f(x)

f’(x)

F(x) f(x)

f’(x)

całkowanie

różniczkowanie

x

3

e

5

+ x4 +

5ex + 3x3

C

5ex + 9x2

4

różniczkowanie

cał

a k

ł o

k w

o

an

a i

n e

i