12. dodatek
12.1. Podstawowe działania na wektorach

Wektor . Jest to wielkość, dla określenia której należy zadać wartość i
kierunek w przestrzeni. Można go przedstawić w postaci

(12.1)

w której A oznacza długość wektora - wektor jednostkowy zgodny z kierunkiem
wektora (rys. 12.1a). Można go też zapisać za pomocą składowych

(12.2)

gdzie są miarami składowych wektora natomiast - wektorami jednostkowymi
(wersorami), odpowiednio, wzdłuż osi współrzędnych kartezjańskich (rys.
12.1b).




Rys. 12.1

Suma i różnica wektorów . Sumą dwóch wektorów i jest wektor stanowiący
przekątną równoległoboku wychodzącą z punktu O (rys. 12.2). Różnica wektorów i
jest sumą wektorów i Składowe sumy i różnicy wektorów oblicza się według
następującego wzoru

(12.3)




Rys. 12.2


Iloczynem skalarnym dwóch wektorów i nazywamy skalar C równy iloczynowi
modułów obu wektorów przez cosinus kąta zawartego między nimi

(12.4)

Zapisując obydwa wektory za pomocą składowych



po obliczeniu iloczynów skalarnych wersorów:



otrzymujemy również

(12.5)

Iloczyn wektorowy wektora i wektora jest wektorem którego moduł jest równy
iloczynowi modułów obu wektorów przez sinus kąta zawartego między nimi

(12.6)

Kierunek tego wektora jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory
i a zwrot jest pokazany na rys. 12.3.



Rys. 12.3


Iloczyny wektorowe wersorów są odpowiednio równe:



iloczyn wektorowy wektorów i możemy więc zapisać następująco

(12.7)


Iloczynem mieszanym nazywamy wyrażenie którego wartość jest równa
wyznacznikowi z miar składowych wektorów i

(12.8)

Ze względu na własności wyznacznika możemy napisać



stwierdzamy również, że jeżeli dwa dowolne wektory iloczynu mieszanego są
równoległe, to iloczyn ten jest równy zeru.
W mechanice płynów występuje też często podwójny iloczyn wektorowy którego
składowe można obliczyć z następującej tożsamości

(12.9)



12.2. Wybrane pojęcia i twierdzenia teorii pola

Gradient pola skalarnego . Jeżeli w jakimś obszarze istnieje ciągłe pole
skalarne (np. rozkład gęstości r lub temperatury T ), to zawsze istnieją
powierzchnie, na których (rys. 12.4) - są to powierzchnie ekwiskalarne.




Rys. 12.4


Na powierzchni ekwiskalarnej znika różniczka zupełna funkcji j



gdzie jest wektorem leżącym w płaszczyźnie ściśle stycznej do powierzchni Z
własności iloczynu skalarnego wynika zatem, że wektor





ma kierunek zgodny z kierunkiem normalnej do powierzchni możemy więc napisać

(12.10)

Wektor nazywa się gradientem pola skalarnego j . Jest to wektor wskazujący
kierunek, w którym poruszając się dotrzemy po najkrótszej drodze do sąsiedniej
powierzchni izoskalarnej o większej wartości skalara (wskazuje kierunek
najszybszych zmian pola).
Przy wykorzystaniu operatora (nabla)

(12.11)

gradient pola skalarnego wyraża się wzorem

(12.12)

Strumień skalara (strumień pola skalarnego) . Strumień ska-lara j przez
powierzchnię s obliczamy jako całkę

(12.13)

w której wektor określa elementarny płat powierzchni s.
Za pomocą strumienia skalara definiuje się pochodną przestrzenną pola
skalarnego, którą można również przyjąć jako określenie gradientu (12.12)

(12.14)

Gradient pola skalarnego jest więc granicą, do której dąży stosunek całkowitego
strumienia pola skalarnego j przez powierzchnię zamkniętą do objętości obszaru
ograniczonego tą powierzchnią, gdy średnica tego obszaru dąży do zera. Można to
łatwo sprawdzić, obliczając zmianę strumienia pola skalarnego w kierunku osi y
przez powierzchnię elementarnego prostopadłościanu - przedstawionego na rys.
12.5




po wyznaczeniu zmian strumienia w pozostałych kierunkach i wykorzystaniu
definicji (12.14) uzyskamy wzór (12.12).




Rys. 12.5


Strumień wektora (strumień skalarny pola wektorowego). Strumieniem wektora
przez element powierzchni nazywamy iloczyn skalarny (rys. 12.6)







Rys. 12.6


Całka tak zdefiniowanej wielkości po całej powierzchni s określa strumień
wektora przez powierzchnię s

(12.15)





Rys. 12.7


Diwergencję pola wektorowego definiujemy jako granicę, do któ-rej dąży
stosunek całkowitego strumienia wektora pola przez powierzchnię zamkniętą do
objętości obszaru ograniczonego tą powierzchnią, gdy średnica tego obszaru dąży
do zera

(12.16)

jest to więc wypływ wektora przypadający na jednostkę objętości w danym punkcie
w przestrzeni. Przy wykorzystaniu rys. 12.7 łatwo obliczamy zmianę strumienia w
kierunku osi y



po uwzględnieniu zmian strumienia w pozostałych kierunkach ostatecznie
otrzymujemy

(12.17)


Cyrkulacja wektora pola wzdłuż linii l nazywamy całkę

(12.18)

w której oznacza skierowany element linii l. W przypadku, gdy linia l jest
linią zamkniętą cyrkulację oznaczamy w sposób następujący



(12.19)

przy czym dodatni kierunek obiegu po linii l obiera się w taki sposób, żeby
punkt obiegający kontur w tym kierunku zostawiał wnętrze konturu po jego lewej
stronie.
Wirowość pola wektorowego jest określana jako wektor, którego mo-dułem jest
granica stosunku cyrkulacji wektora pola A wzdłuż linii zamkniętej do
powierzchni ograniczonej brzegiem linii gdy powierzchnia ta ściąga się do
punktu

(12.20)

a kierunkiem jest normalna do powierzchni w tym punkcie.




Rys. 12.8


Obliczając cyrkulację wektora wzdłuż boków nieskończenie małego prostokąta,
leżącego w płaszczyźnie (rys. 12.8), uzyskujemy zależność określającą składową
wektora



Postępując podobnie dla pozostałych składowych ostatecznie mamy




(12.21)

Ważniejsze wzory analizy wektorowej. Operacje gradientu, di-wergencji i
rotacji mogą występować łącznie nad funkcjami skalarowymi lub wektorowymi oraz
ich iloczynami, np.:

(12.22)

(12.23)

(12.24)

(12.25)

(12.26)

(12.27)

(12.28)

Pole potencjalne . Jest to takie pole wektorowe w którym określona jest
funkcja j, zwana potencjałem , odpowiadająca polu wektorowemu

(12.29)

Na mocy tożsamości (12.27) stwierdzamy, że pola potencjalne są polami
bezwirowymi.
Pole wirowe . Pole wirowości pola wektorowego

(12.30)

jest bezźródłowe - tożsamość (12.26). Każde więc pole wektorowe spełniające
równanie można zastąpić wirowością innego pola wektorowego będącego potencjałem
wektorowym pola Potencjał wektorowy jest wieloznaczny, gdyż można dodać do
niego dowolną stałą oraz dowolną funkcję potencjalną

(12.31)