Komputerowa Analiza Układów Elektrycznych 2
część 3
dr hab. inż. Stanisław Hałgas
Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej
Zakład Układów i Systemów Nieliniowych
Politechnika A
ódzka
A
ódz
2013
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 1 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Wprowadzenie
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
Obwody liniowe, utworzone z oporników, cewek, kondensatorów pobudzane prądami i
napięciami z
ródÅ‚owymi, bÄ™dÄ…cymi sinusoidalnymi funkcjami czasu o tej samej pulsacji É.
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
Rozpatrujemy taki stan obwodu, w którym odpowiedzi (prądy i napięcia) są również
sinusoidalnymi funkcjami czasu o pulsacji É, czyli stan ustalony.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 2 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Wprowadzenie
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
Obwody liniowe, utworzone z oporników, cewek, kondensatorów pobudzane prądami i
napięciami z
ródÅ‚owymi, bÄ™dÄ…cymi sinusoidalnymi funkcjami czasu o tej samej pulsacji É.
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
Rozpatrujemy taki stan obwodu, w którym odpowiedzi (prądy i napięcia) są również
sinusoidalnymi funkcjami czasu o pulsacji É, czyli stan ustalony.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 2 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Wprowadzenie
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
Dlaczego sinusoida?
A
atwość wytwarzania napięć i prądów sinusoidalnie zmiennych za pomocą prądnic lub
generatorów sygnałów sinusoidalnych.
Gdzie występują?
sieć energetyczna
fale nośne i sygnały synchronizujące w telekomunikacji
w miernictwie
w elektronice analogowej
Specyficzne właściwości matematyczne
całkowanie i różniczkowanie nie zmienia natury funkcji
sygnały niesinusoidalne okresowe mogą być rozwinięte w szereg Fouriera o elementach
będących funkcjami sinusoidalnymi
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 3 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Wprowadzenie
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
Dlaczego sinusoida?
A
atwość wytwarzania napięć i prądów sinusoidalnie zmiennych za pomocą prądnic lub
generatorów sygnałów sinusoidalnych.
Gdzie występują?
sieć energetyczna
fale nośne i sygnały synchronizujące w telekomunikacji
w miernictwie
w elektronice analogowej
Specyficzne właściwości matematyczne
całkowanie i różniczkowanie nie zmienia natury funkcji
sygnały niesinusoidalne okresowe mogą być rozwinięte w szereg Fouriera o elementach
będących funkcjami sinusoidalnymi
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 3 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Wprowadzenie
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
Dlaczego sinusoida?
A
atwość wytwarzania napięć i prądów sinusoidalnie zmiennych za pomocą prądnic lub
generatorów sygnałów sinusoidalnych.
Gdzie występują?
sieć energetyczna
fale nośne i sygnały synchronizujące w telekomunikacji
w miernictwie
w elektronice analogowej
Specyficzne właściwości matematyczne
całkowanie i różniczkowanie nie zmienia natury funkcji
sygnały niesinusoidalne okresowe mogą być rozwinięte w szereg Fouriera o elementach
będących funkcjami sinusoidalnymi
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 3 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Kondensator liniowy
Kondensator liniowy
Kondensator liniowy
CechÄ… charakterystycznÄ… kondensatora jest gromadzenie Å‚adunku elektrycznego.
i(t) C
u(t)
Rys. 1: Oznaczenie kondensatora liniowego
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
A
adunek q(t) kondensatora liniowego jest proporcjonalny do napięcia u(t) na zaciskach
kondensatora
q(t) = Cu(t)
C  pojemność kondensatora w faradach
C
1F = 1
V
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 4 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Kondensator liniowy
Kondensator liniowy
Kondensator liniowy
CechÄ… charakterystycznÄ… kondensatora jest gromadzenie Å‚adunku elektrycznego.
i(t) C
u(t)
Rys. 1: Oznaczenie kondensatora liniowego
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
A
adunek q(t) kondensatora liniowego jest proporcjonalny do napięcia u(t) na zaciskach
kondensatora
q(t) = Cu(t)
C  pojemność kondensatora w faradach
C
1F = 1
V
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 4 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Kondensator liniowy
Kondensator liniowy
Zależność napięciowo  prądowa
dq(t)
i(t) = (1)
dt
q(t) = Cu(t) (2)
(2) (1)
du(t)
i(t) = C (3)
dt
całkujac stronami (3)
u(t)
t t
du(Ä)
i(Ä)dÄ = C dÄ = C du = C (u(t) - u(0)) (4)
dÄ
0 0 u(0)
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 5 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Kondensator liniowy
Kondensator liniowy
Zależność napięciowo  prądowa
dq(t)
i(t) = (1)
dt
q(t) = Cu(t) (2)
(2) (1)
du(t)
i(t) = C (3)
dt
całkujac stronami (3)
u(t)
t t
du(Ä)
i(Ä)dÄ = C dÄ = C du = C (u(t) - u(0)) (4)
dÄ
0 0 u(0)
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 5 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Kondensator liniowy
Kondensator liniowy
Zależność napięciowo  prądowa
dq(t)
i(t) = (1)
dt
q(t) = Cu(t) (2)
(2) (1)
du(t)
i(t) = C (3)
dt
całkujac stronami (3)
u(t)
t t
du(Ä)
i(Ä)dÄ = C dÄ = C du = C (u(t) - u(0)) (4)
dÄ
0 0 u(0)
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 5 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Kondensator liniowy
Kondensator liniowy
Zależność napięciowo  prądowa
dq(t)
i(t) = (1)
dt
q(t) = Cu(t) (2)
(2) (1)
du(t)
i(t) = C (3)
dt
całkujac stronami (3)
u(t)
t t
du(Ä)
i(Ä)dÄ = C dÄ = C du = C (u(t) - u(0)) (4)
dÄ
0 0 u(0)
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 5 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Kondensator liniowy
Kondensator liniowy
Zależność napięciowo  prądowa
Po przekształceniach
t
1
u (t) = u (0) + i (Ä) dÄ (5)
C
0
Uwagi
u(0) jest napięciem początkowym kondensatora występującym w chwili t = 0.
Wniosek
Napięcie na kondensatorze w chwili t zależy od napięcia początkowego u(0) oraz od przebiegu
prÄ…du w przedziale czasu 0, t.
Z tego powodu mówimy, że kondensator pamięta przeszłość.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 6 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Kondensator liniowy
Kondensator liniowy
Zależność napięciowo  prądowa
Po przekształceniach
t
1
u (t) = u (0) + i (Ä) dÄ (5)
C
0
Uwagi
u(0) jest napięciem początkowym kondensatora występującym w chwili t = 0.
Wniosek
Napięcie na kondensatorze w chwili t zależy od napięcia początkowego u(0) oraz od przebiegu
prÄ…du w przedziale czasu 0, t.
Z tego powodu mówimy, że kondensator pamięta przeszłość.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 6 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Kondensator liniowy
Kondensator liniowy
Zależność napięciowo  prądowa
Po przekształceniach
t
1
u (t) = u (0) + i (Ä) dÄ (5)
C
0
Uwagi
u(0) jest napięciem początkowym kondensatora występującym w chwili t = 0.
Wniosek
Napięcie na kondensatorze w chwili t zależy od napięcia początkowego u(0) oraz od przebiegu
prÄ…du w przedziale czasu 0, t.
Z tego powodu mówimy, że kondensator pamięta przeszłość.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 6 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Kondensator liniowy
Kondensator liniowy
Zależność napięciowo  prądowa
Po przekształceniach
t
1
u (t) = u (0) + i (Ä) dÄ (5)
C
0
Uwagi
u(0) jest napięciem początkowym kondensatora występującym w chwili t = 0.
Wniosek
Napięcie na kondensatorze w chwili t zależy od napięcia początkowego u(0) oraz od przebiegu
prÄ…du w przedziale czasu 0, t.
Z tego powodu mówimy, że kondensator pamięta przeszłość.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 6 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Kondensator liniowy
Kondensator liniowy
Kondensator liniowy - PSPICE
Rys. 2: Oznaczenie kondensatora liniowego PSPICE
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 7 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Kondensator liniowy
Kondensator liniowy
Energia kondensatora
Energia kondensatora wc (t) w chwili t jest równa energii dostarczonej z generatora w czasie
od t0, gdy energia kondensatora wynosiła 0, do t.
1
wc (t) = Ac (t0, t) = C (u(t))2 (6)
2
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 8 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Kondensator liniowy
Szeregowe połączenie kondensatorów
u(0)= u1(0)+ u2(0)
i(t) C
i(t ) C C
1 2
u (t ) u (t )
1 2
u(t)
u (t )
Rys. 3: Połączenie szeregowe dwóch kondensatorów liniowych
Szeregowe połączenie
dwóch kondensatorów o pojemnościach C1 i C2 oraz napięciach początkowych u1(0) i u2(0).
u (0) = u1 (0) + u2 (0)
1 1 1
= +
C C1 C2
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 9 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Kondensator liniowy
Szeregowe połączenie kondensatorów
Połączenie n kondensatorów
u (0) = u1 (0) + u2 (0) + ... + un (0)
1 1 1 1
= + + ... +
C C1 C2 Cn
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 10 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Kondensator liniowy
Równoległe połączenie kondensatorów
i1(t) C1
u(0)= u1(0)= u2(0)
i(t)
i(t)
C = C1 + C2
i2(t) C2
u(t)
u(t)
Rys. 4: Połączenie równoległe dwóch kondensatorów liniowych
Równoległe połączenie
dwóch kondensatorów o pojemnościach C1 i C2 oraz napięciach początkowych u1(0) i u2(0).
Napięcia kondensatorów są jednakowe w każdej chwili t. (wszak to połączenie równoległe)
Wynika stąd w szczególności równość napięć początkowych u1(0) i u2(0).
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 11 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Kondensator liniowy
Równoległe połączenie kondensatorów
Połączenie n kondensatorów
u (0) = u1 (0) = u2 (0) = ... = un (0)
C = C1 + C2 + ... + Cn
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 12 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Cewka liniowa
Cewka liniowa
Cewka liniowa
StrumieÅ„ magnetyczny skojarzony È(t) cewki liniowej jest proporcjonalny do prÄ…du i(t)
płynącego przez cewkę .
È (t) = Li (t)
i(t) L
u(t)
Rys. 5: Oznaczenie cewki liniowej
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
L  indukcyjność cewki w henrach
Wb
1H = 1
A
Wb (weber)  jednostka strumienia magnetycznego
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 13 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Cewka liniowa
Cewka liniowa
Cewka liniowa
StrumieÅ„ magnetyczny skojarzony È(t) cewki liniowej jest proporcjonalny do prÄ…du i(t)
płynącego przez cewkę .
È (t) = Li (t)
i(t) L
u(t)
Rys. 5: Oznaczenie cewki liniowej
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
L  indukcyjność cewki w henrach
Wb
1H = 1
A
Wb (weber)  jednostka strumienia magnetycznego
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 13 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Cewka liniowa
Cewka liniowa
Zależność napięciowo  prądowa
Zgodnie z prawem indukcji Faradaya napięcie na cewce
dÈ (t)
u (t) = (7)
dt
È (t) = Li (t) (8)
(8) (7)
di (t)
u (t) = L (9)
dt
całkujac stronami (9)
i(t)
t t
di(Ä)
u(Ä)dÄ = L dÄ = L di = L (i(t) - i(0)) (10)
dÄ
0 0 i(0)
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 14 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Cewka liniowa
Cewka liniowa
Zależność napięciowo  prądowa
Zgodnie z prawem indukcji Faradaya napięcie na cewce
dÈ (t)
u (t) = (7)
dt
È (t) = Li (t) (8)
(8) (7)
di (t)
u (t) = L (9)
dt
całkujac stronami (9)
i(t)
t t
di(Ä)
u(Ä)dÄ = L dÄ = L di = L (i(t) - i(0)) (10)
dÄ
0 0 i(0)
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 14 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Cewka liniowa
Cewka liniowa
Zależność napięciowo  prądowa
Zgodnie z prawem indukcji Faradaya napięcie na cewce
dÈ (t)
u (t) = (7)
dt
È (t) = Li (t) (8)
(8) (7)
di (t)
u (t) = L (9)
dt
całkujac stronami (9)
i(t)
t t
di(Ä)
u(Ä)dÄ = L dÄ = L di = L (i(t) - i(0)) (10)
dÄ
0 0 i(0)
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 14 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Cewka liniowa
Cewka liniowa
Zależność napięciowo  prądowa
Zgodnie z prawem indukcji Faradaya napięcie na cewce
dÈ (t)
u (t) = (7)
dt
È (t) = Li (t) (8)
(8) (7)
di (t)
u (t) = L (9)
dt
całkujac stronami (9)
i(t)
t t
di(Ä)
u(Ä)dÄ = L dÄ = L di = L (i(t) - i(0)) (10)
dÄ
0 0 i(0)
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 14 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Cewka liniowa
Cewka liniowa
Zależność napięciowo  prądowa
Po przekształceniach
t
1
i (t) = i (0) + u (Ä) dÄ (11)
L
0
Uwagi
Wniosek
Prąd cewki w chwili t zależy od prądu początkowego i(0) oraz od przebiegu napięcia u(t) w
przedziale czasu 0, t.
Mówimy, że cewka pamięta przeszłość.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 15 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Cewka liniowa
Cewka liniowa
Zależność napięciowo  prądowa
Po przekształceniach
t
1
i (t) = i (0) + u (Ä) dÄ (11)
L
0
Uwagi
Wniosek
Prąd cewki w chwili t zależy od prądu początkowego i(0) oraz od przebiegu napięcia u(t) w
przedziale czasu 0, t.
Mówimy, że cewka pamięta przeszłość.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 15 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Cewka liniowa
Cewka liniowa
Zależność napięciowo  prądowa
Po przekształceniach
t
1
i (t) = i (0) + u (Ä) dÄ (11)
L
0
Uwagi
Wniosek
Prąd cewki w chwili t zależy od prądu początkowego i(0) oraz od przebiegu napięcia u(t) w
przedziale czasu 0, t.
Mówimy, że cewka pamięta przeszłość.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 15 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Cewka liniowa
Cewka liniowa
Zależność napięciowo  prądowa
Po przekształceniach
t
1
i (t) = i (0) + u (Ä) dÄ (11)
L
0
Uwagi
Wniosek
Prąd cewki w chwili t zależy od prądu początkowego i(0) oraz od przebiegu napięcia u(t) w
przedziale czasu 0, t.
Mówimy, że cewka pamięta przeszłość.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 15 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Cewka liniowa
Cewka liniowa
Cewka liniowa - PSPICE
Rys. 6: Oznaczenie cewki liniowej PSPICE
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 16 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Cewka liniowa
Szeregowe połączenie cewek
L1 L2
i(t)
u2(t)
u1(t)
u(t)
Rys. 7: Połączenie szeregowe dwóch cewek liniowych
Szeregowe połączenie
prąd płynący przez obie cewki jest w każdej chwili jednakowy
i1 (0) = i2 (0) = i (0)
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 17 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Cewka liniowa
Połączenia cewek
Szeregowe
L = L1 + L2
i1 (0) = i2 (0) = i (0)
Równoległe
1 1 1
= +
L L1 L2
i (0) = i1 (0) + i2 (0)
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 18 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Cewka liniowa
Połączenia cewek
Szeregowe
L = L1 + L2
i1 (0) = i2 (0) = i (0)
Równoległe
1 1 1
= +
L L1 L2
i (0) = i1 (0) + i2 (0)
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 18 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
f (x) = A sin x
A  amplituda
x  kÄ…t mierzony w radianach (faza  argument funkcji okresowej)
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
x = Ét
É  pulsacja mierzona w radianach na sekundÄ™
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
sygnał sinusoidalny ma postać
f (t) = AsinÉt
jest to okresowa funkcja czasu o okresie T
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 19 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
f (x) = A sin x
A  amplituda
x  kÄ…t mierzony w radianach (faza  argument funkcji okresowej)
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
x = Ét
É  pulsacja mierzona w radianach na sekundÄ™
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
sygnał sinusoidalny ma postać
f (t) = AsinÉt
jest to okresowa funkcja czasu o okresie T
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 19 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
f (x) = A sin x
A  amplituda
x  kÄ…t mierzony w radianach (faza  argument funkcji okresowej)
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
x = Ét
É  pulsacja mierzona w radianach na sekundÄ™
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego
sygnał sinusoidalny ma postać
f (t) = AsinÉt
jest to okresowa funkcja czasu o okresie T
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 19 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Kąt x, odpowiadający okresowi, wynosi 2Ą radianów.
2Ä„ = ÉT
Ó!
2Ä„
É = (12)
T
Częstotliwość sygnału sinusoidalnego
Liczba okresów w ciągu jednej sekundy wynosi
1
f = (13)
T
to częstotliwość sygnału [Hz].
Uwzględniając (13) w (12)
É = 2Ä„f
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 20 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Kąt x, odpowiadający okresowi, wynosi 2Ą radianów.
2Ä„ = ÉT
Ó!
2Ä„
É = (12)
T
Częstotliwość sygnału sinusoidalnego
Liczba okresów w ciągu jednej sekundy wynosi
1
f = (13)
T
to częstotliwość sygnału [Hz].
Uwzględniając (13) w (12)
É = 2Ä„f
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 20 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Faza poczÄ…tkowa
Sygnał sinusoidalny o zerowej fazie początkowej
f (t) = AsinÉt
f(t)
A
0 2T
T t
Rys. 8: Sygnał sinusoidalny o zerowej fazie początkowej
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 21 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Faza poczÄ…tkowa
f(t)
A
0 t1
t
Rys. 9: Sygnał sinusoidalny o niezerowej fazie początkowej
Faza poczÄ…tkowa
f (t) = AsinÉ (t - t1) = Asin (Ét - Ét1) = Asin (Ét + Ä…)
Ä… = -Ét1
Ä…  faza poczÄ…tkowa funkcji sinusoidalnej
Uwzględniając (12)
t1
Ä… = -2Ä„
T
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 22 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Sygnały sinusoidalne  przykład
Określić parametry sygnału pokazanego
A = 15
na rysunku
f(t)
T = 8ms
15
1 1
f = = = 125Hz
10
T 8 · 10-3
r
5
É = 2Ä„f = 250Ä„
s
0
-1
7 t [ms]
(-1) Ä„
-5
Ä… = -2Ä„ =
8 4
-10
co odpowiada 45ć%
-15
A zatem sygnał opisany jest zależnością
8
f (t) = 15sin(250Ąt + 45ć%)
Rys. 10: Przykładowy sygnał sinusoidalny
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 23 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Sygnały sinusoidalne  przykład
Określić parametry sygnału pokazanego
A = 15
na rysunku
f(t)
T = 8ms
15
1 1
f = = = 125Hz
10
T 8 · 10-3
r
5
É = 2Ä„f = 250Ä„
s
0
-1
7 t [ms]
(-1) Ä„
-5
Ä… = -2Ä„ =
8 4
-10
co odpowiada 45ć%
-15
A zatem sygnał opisany jest zależnością
8
f (t) = 15sin(250Ąt + 45ć%)
Rys. 10: Przykładowy sygnał sinusoidalny
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 23 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Faza poczÄ…tkowa
Faza poczÄ…tkowa
Asin (Ét + Ä…) = Asin (Ét + Ä… + 2Ä„n)
faza poczÄ…tkowa: Ä… + 2Ä„n n = 0, Ä… 1, Ä… 2, ...
Przyjmuje się, że fazę początkową ą określa ten punkt przejścia funkcji sinusoidalnej przez
zero, który jest najbliższy początkowi układu współrzędnych i odpowiada rosnącemu
fragmentowi sinusoidy.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 24 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Sygnały sinusoidalne  przykład
A = 10
Określić parametry sygnału pokazanego
na rysunku
T = 16ms
f(t) 1
f = = 62.5Hz
10
16 · 10-3
r
É = 125Ä„
s
t1 = -6
6
-6 -2 14
0 t [ms]
( - 6) 3
Ä… = -2Ä„ = Ä„
16 4
co odpowiada 135ć%
A zatem sygnał opisany jest zależnością
f (t) = 10sin(125Ąt + 135ć%)
Rys. 11: Przykładowy sygnał sinusoidalny
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 25 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Sygnały sinusoidalne  przykład
A = 10
Określić parametry sygnału pokazanego
na rysunku
T = 16ms
f(t) 1
f = = 62.5Hz
10
16 · 10-3
r
É = 125Ä„
s
t1 = -6
6
-6 -2 14
0 t [ms]
( - 6) 3
Ä… = -2Ä„ = Ä„
16 4
co odpowiada 135ć%
A zatem sygnał opisany jest zależnością
f (t) = 10sin(125Ąt + 135ć%)
Rys. 11: Przykładowy sygnał sinusoidalny
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 25 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
y
ródło VSIN - z
ródło sinusoidalne w PSPICE
y
ródło VSIN - z
ródło sinusoidalne w PSPICE
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 26 / 32
Rys. 12: y
ródło VSIN - z
ródło sinusoidalne w PSPICE
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
y
ródło VSIN - z
ródło sinusoidalne w PSPICE
y
ródło VSIN - z
ródło sinusoidalne w PSPICE
Rys. 13: y
ródło VSIN - z
ródło sinusoidalne w PSPICE
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 27 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
y
ródło VSIN - z
ródło sinusoidalne w PSPICE
y
ródło VSIN - z
ródło sinusoidalne w PSPICE
10V T=16ms
5V
0V
A=10 V
-5V
-10V
0s 2ms 4ms 6ms 8ms 10ms 12ms 14ms 16ms 18ms 20ms
V($N_0001)
Time
Rys. 14: y
ródło VSIN - z
ródło sinusoidalne w PSPICE
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 28 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Przesuniecie fazowe
Przesuniecie fazowe
f (t) = Asin (Ét + Ä…)
g(t) = Bsin (Ét + ²)
Ä… - ²  różnica faz (przesuniÄ™cie fazowe) sygnałów f (t) i g(t)
Przesuniecie fazowe  trzy przypadki
Jeżeli Ä… > ², to mówimy, że sygnaÅ‚ f (t) wyprzedza sygnaÅ‚ g(t) o kÄ…t (Ä… - ²).
Jeżeli Ä… < ², to mówimy, że sygnaÅ‚ f (t) opóz
nia się względem sygnału g(t) o kąt
(² - Ä…).
Jeżeli Ä… = ², to mówimy, że sygnaÅ‚y f (t) i g(t) sÄ… w fazie.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 29 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Przesuniecie fazowe
Przesuniecie fazowe
f (t) = Asin (Ét + Ä…)
g(t) = Bsin (Ét + ²)
Ä… - ²  różnica faz (przesuniÄ™cie fazowe) sygnałów f (t) i g(t)
Przesuniecie fazowe  trzy przypadki
Jeżeli Ä… > ², to mówimy, że sygnaÅ‚ f (t) wyprzedza sygnaÅ‚ g(t) o kÄ…t (Ä… - ²).
Jeżeli Ä… < ², to mówimy, że sygnaÅ‚ f (t) opóz
nia się względem sygnału g(t) o kąt
(² - Ä…).
Jeżeli Ä… = ², to mówimy, że sygnaÅ‚y f (t) i g(t) sÄ… w fazie.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 29 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Przesuniecie fazowe  przykład
Przesuniecie fazowe  przykład
określ przesuniecie fazowe między sygnałami
f (t) = 15cos(1000t + 20ć%)
g(t) = 120sin(1000t + 60ć%)
RozwiÄ…zanie
sin (90ć% + x) = cos x
f (t) = 15sin (1000t + 110ć%)
110ć% - 60ć% = 50ć%
Sygnał f (t) wyprzedza g(t) o 50ć%.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 30 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Przesuniecie fazowe  przykład
Przesuniecie fazowe  przykład
określ przesuniecie fazowe między sygnałami
f (t) = 15cos(1000t + 20ć%)
g(t) = 120sin(1000t + 60ć%)
RozwiÄ…zanie
sin (90ć% + x) = cos x
f (t) = 15sin (1000t + 110ć%)
110ć% - 60ć% = 50ć%
Sygnał f (t) wyprzedza g(t) o 50ć%.
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 30 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Przesunięcie fazowe w PSPICE
Przesunięcie fazowe w PSPICE
Rys. 15: Przesunięcie fazowe w PSPICE
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 31 / 32
Obwody liniowe prÄ…du sinusoidalnego w stanie ustalonym Podstawowe informacje o przebiegach sinusoidalnych
Przesunięcie fazowe w PSPICE
Przesunięcie fazowe w PSPICE
120V
deltaT=0.9ms
80V
40V
-0V
-40V
-80V
-120V
0s 2ms 4ms 6ms 8ms 10ms 12ms 14ms 16ms 18ms 20ms
V($N_0001) V($N_0002)
Time
deltaT=0.9ms
T=6.28ms
fi=0.9*360/6.28=51
Rys. 16: Przesunięcie fazowe w PSPICE
dr hab. inż. Stanisław Hałgas (ISIE) Komputerowa Analiza UE A
ódz
2013 32 / 32