Ogólna teoria względności
rachunku tensorowego, geometrii nieeuklidesowej, teorii
przestrzeni Riemanna itp.
1 Droga do OTW, geometrie nieeu-
klidesowe
Gauss dostrzegł jako pierwszy, że geometria przestrze-
ni fizycznej nie musi być euklidesowa. Zauważył on, że
możliwe jest budowanie logicznie spójnej i prawidłowej
z matematycznego punktu widzenia geometrii odrzuca-
jąc piąty z aksjomatów Euklidesa o prostych równole-
głych. Nigdy jednak nie opublikował swoich przemyśleń
na ten temat uważając, że nie zostaną właściwie zrozu-
miane. Gauss nie odnosił swoich idei do rzeczywistości
fizycznej, a rozwijał je jedynie jako teorie matematycz-
ne.
Albert Einstein  twórca ogólnej teorii względności
Za twórcę geometrii nieeuklidesowych uważa się współ-
cześnie Janosa Bolyai, który jako pierwszy ogłosił pra-
Ogólna teoria względności (OTW)  popularna nazwa
ce, w których podał przykłady tego rodzaju geometrii.
teorii grawitacji formułowanej przez Alberta Einsteina w
Poważny wkład do tej dziedziny wniósł Georg Riemann
latach 1907 1915, a opublikowanej w roku 1916.
konstruując swoją teorię rozmaitości różniczkowych.
Zgodnie z ogólną teorią względności, siła grawitacji wy- Bardzo istotną, choć czysto techniczną rolę otwierają-
nika z lokalnej geometrii czasoprzestrzeni. Aparat ma- cą możliwości budowy OTW Einsteina odegrali Christo-
tematyczny tej teorii został opracowany w pracach ta- fel, Ricci i inni twórcy rachunku tensorowego. Znaczący
kich matematyków, jak J�nos Bolyai i Carl Friedrich wkład należał zwłaszcza do Bianchiego, który udowodnił
Gauss. Ogólnie geometria nieeuklidesowa została rozwi- tożsamości nazwane jego imieniem.
nięta przez ucznia Gaussa, Georga Bernharda Rieman-
W życiu codziennym można także zaobserwować geo-
na, ale nieeuklidesowa geometria czasoprzestrzeni sta-
metrie nieeuklidesowe. Na przykład powierzchnia Ziemi
ła się znana szerzej dopiero po tym, jak w opracowaną
jest sferą i jako taka posiada pewną krzywiznę, zaś suma
przez Einsteina szczególną teorię względności Hermann
kątów w trójkątach na globusie jest większa niż 180 stop-
Minkowski wprowadził czasoprzestrzeń Minkowskiego
ni. Istnieją także pomiary, w przypadku których można
(1907).
bezpośrednio wykryć, że geometria czasoprzestrzeni jest
Teoria Einsteina zawiera nietrywialne treści fizyczne do- nieeuklidesowa. Przykładem jest doświadczenie Pounda-
tyczące koncepcji czasu, przestrzeni, geometrii czaso- Rebki (1959), w którym wykryto zmianę długości fali
przestrzeni, związków masy  bezwładnej i  grawitacyj- światła pochodzącego od z
ródła kobaltowego, wznoszą-
nej (bezwładna to ta występująca w zasadach dyna- cego się przeciwko sile grawitacji na wysokość 22,5 me-
miki Newtona, a grawitacyjna  w prawie powszech- tra, w szybie znajdującym się w Jefferson Physical Labo-
nego ciążenia) oraz spostrzeżenia dotyczące równoważ- ratory w Harvard University. Także zegary atomowe w
ności grawitacji i sił bezwładności. Jest ona uogól- satelitach GPS krążących wokół Ziemi muszą uwzględ-
nieniem szczególnej teorii względności obowiązującej niać poprawkę związaną z efektami grawitacji. Przykłady
dla inercjalnych układów odniesienia na dowolne, także te jednak nie były dostępne w czasach Gaussa i Rieman-
nieinercjalne układy odniesienia. Korzysta ona z metod na.
1
2 3 RÓWNANIA TEORII
2 OTW Einsteina będący naszym układem odniesienia, skręca. Podobnie
obserwujemy Efekt Coriolisa i tzw. siłę odśrodkową wte-
dy, gdy układem odniesienia jest ciało będące w ruchu
Podstawową ideą teorii względności jest to, że nie może-
obrotowym (na przykład bąk-zabawka lub Ziemia). Za-
my mówić o wielkościach fizycznych takich jak prędkość
sada równoważności w ogólnej teorii względności mówi,
czy przyspieszenie, nie określając wcześniej układu od-
że w układzie lokalnym nie można przeprowadzić do-
niesienia, oraz że układ odniesienia definiuje się poprzez
świadczenia, dzięki któremu dałoby się odróżnić spadek
wybór pewnego punktu w czasoprzestrzeni, z którym jest
swobodny w polu grawitacyjnym od ruchu jednostajne-
on związany. Oznacza to, że wszelki ruch określa się i
go przy braku pola grawitacyjnego. Mówiąc w skrócie,
mierzy względem innych określonych układów odniesie-
w układzie odniesienia związanym z ciałem spadającym
nia. W ramach tej teorii, inaczej niż w szczególnej teo-
swobodnie nie ma grawitacji. Oznacza to, że obserwo-
rii względności, która podawała opis ruchu w inercjal-
wana na powierzchni Ziemi grawitacja jest siłą obserwo-
nych (nieprzyspieszających) układach odniesienia, opis
waną w układzie odniesienia związanym z materią na po-
ruchu prowadzony jest w dowolnych układach odniesie-
wierzchni, która nie jest  wolna , lecz na którą oddziałuje
nia, inercjalnych lub nieinercjalnych. Podstawowym za-
materia z wnętrza Ziemi i sytuacja ta jest analogiczna do
łożeniem jest takie sformułowanie praw fizycznych i opi-
sytuacji w skręcającym samochodzie.
su ruchu, aby miały one identyczną postać matematyczną
Matematycznie, Einstein modeluje czasoprzestrzeń przy
bez względu na używany do opisu układ odniesienia, stąd
pomocy czterowymiarowej pseudoriemannowskiej roz-
konieczność zastosowania rachunku tensorowego. Jed-
maitości, a z jego równania pola wynika, że krzywi-
nym z postulatów ogólnej teorii względności jest zasada
zna rozmaitości w punkcie jest bezpośrednio związana z
równoważności, mówiąca, że nie można (lokalnie) roz-
tensorem napięć-energii w tym punkcie; tensor ten jest
różnić spadku swobodnego w polu grawitacyjnym od ru-
miarą gęstości materii i energii. Krzywizna określa spo-
chu w układzie nieinercjalnym. Z postulatu tego wynika,
sób, w jaki materia się porusza, a materia określa sposób,
że masa bezwładna i grawitacyjna są sobie równoważ-
w jaki przestrzeń się zakrzywia. Równanie pola nie jest
ne. Dokładniej równość mas: grawitacyjnej i bezwład-
dowiedzione w sposób jednoznaczny i istnieje możliwość
nej określana jest mianem słabej zasady równoważności
zaproponowania innych modeli, pod warunkiem, że nie
(WEP), natomiast pełna zasada równoważności Einsteina
będą stały w sprzeczności z obserwacjami.
głosi, że wynik dowolnego, lokalnego doświadczenia nie-
grawitacyjnego jest niezależny od prędkości swobodnie
Ogólna teoria względności wyróżnia się spośród innych
spadającego układu odniesienia i jest zgodny z przewidy-
teorii grawitacji swoją prostotą powiązania materii i
waniami STW (tzw. lokalna niezmienniczość lorentzow-
krzywizny, chociaż wciąż nie istnieje teoria unifikacji po-
ska) i wynik ten jest niezależny od miejsca i czasu (tzw.
między ogólną teorią względności a mechaniką kwanto-
lokalna niezmienniczość na położenie). W badaniach wy-
wą i nie potrafimy zastąpić równania pola bardziej ogól-
kazano, że ogólna teoria względności jest sprzeczna z
nym prawem kwantowym. Niewielu fizyków wątpi w to,
zasadą Macha.
że taka teoria wszystkiego będzie zawierała w sobie ogól-
ną teorię względności, tak jak ogólna teoria względności
OTW mówi, że z daną dokładnością można definio-
zawiera w sobie prawo powszechnego ciążenia Newtona
wać jedynie lokalne układy odniesienia, dla skończonych
w zakresie nierelatywistycznym.
przedziałów czasu i ograniczonych obszarów w przestrze-
ni. Jest to analogia z rysowaniem map fragmentów po-
Równanie pola Einsteina zawiera parametr zwany stałą
wierzchni Ziemi  nie można sporządzić mapy obejmują-
kosmologiczną �, która została wprowadzona przez Ein-
cej całą powierzchnię Ziemi bez deformacji. Zasady dy-
steina po to, aby Wszechświat pozostał statyczny (tzn.
namiki Newtona są w ogólnej teorii względności zacho-
nierozszerzający i niezapadający się). Ta próba zakoń-
wane w lokalnych układach odniesienia. W szczególności
czyła się niepowodzeniem z dwóch powodów: statyczny
cząstki, na które nie działa żadna siła, poruszają się po li-
Wszechświat opisywany przez tę teorię byłby niestabilny,
niach prostych w lokalnych inercjalnych układach odnie-
co więcej, obserwacje prowadzone przez Hubble'a deka-
sienia. Jednak jeżeli linie te się przedłuży, to nie otrzy-
dę póz
niej pokazały, że nasz Wszechświat nie jest statycz-
mujemy linii prostych, lecz krzywe zwane geodezyjnymi.
ny, lecz się rozszerza. Dlatego też zrezygnowano ze stałej
Dlatego też pierwsza zasada dynamiki Newtona zostaje
�, lecz ostatnie obserwacje supernowych typu Ia wskazu-
zastąpiona przez zasadę poruszania się po geodezyjnej.
ją na to, że być może należy ją ponownie wprowadzić do
równań.
Odróżniamy inercjalne układy odniesienia, w których cia-
ła fizyczne nie zmieniają swojego stanu ruchu, jeżeli nie
oddziałują z żadnym innym ciałem fizycznym, od nieiner-
cjalnych układów odniesienia, w których poruszające się
3 Równania teorii
ciała mają przyspieszenie pochodzące od układu odnie-
sienia. W tych drugich pojawia się pozorna siła wynikają-
ca z przyspieszenia samego układu odniesienia, a nie z od- Ogólna teoria względności wiąże geometrię czasoprze-
działywania z innym ciałem fizycznym. W związku z tym strzeni z rozkładem materii. Czasoprzestrzeń jest zbio-
np. odczuwamy siłę odśrodkową wtedy, gdy samochód, rem punktów (dokładniej rozmaitością różniczkową),
3
której punktom przyporządkowuje się cztery współrzęd- kość światła c dąży do nieskończoności, otrzymujemy
ne xź=(x0=ct, xą, x�, xł). Odległość między dwoma punk- teorię grawitacji Newtona.
tami o współrzędnych xź i xź+dxź zadaje:
Gdy czasoprzestrzeń jest globalnie płaska  teoria prze-
chodzi w szczególną teorię względności. W tym przypad- 4 Potwierdzenie teorii
ku tensor metryczny
opisuje czasoprzestrzeń Minkowskiego. Poczucie lokal-
4.1 Anomalie orbity Merkurego
nej płaskości zakrzywionej czasoprzestrzeni (zasada rów-
noważności) oznacza możliwość przejścia do takiego
układu współrzędnych, by
Pola ea (x) nazywamy polami reperów. Cała informacja
o zakrzywieniu czasoprzestrzeni zawarta jest w tych po-
lach. Z punktu widzenia matematycznego pola reperów
są formami różniczkowymi.
Formy te można przeskalować (lokalna transformacja ce-
chowania), a tensor metryczny nie ulega zmianie
gdzie � są macierzami Lorentza tworzącymi grupę Lo-
rentza. Linie najkrótsze łączące dwa punkty (linie geode-
zyjne) nie są już liniami prostymi. Spełniają one równa-
nie
gdzie � jest symbolem Christoffela
W czasoprzestrzeni Minkowskiego wszystkie symbole
Christoffela się zerują i linie najkrótsze są prostymi.
Zakrzywienie czasoprzestrzeni określa tensor krzywizny
Przewidywane orbity Merkurego  eliptyczna według teorii New-
Rź�h i związany z nim tensor krzywizny Ricciego
tona (czerwona) i rozetowa według teorii Einsteina (niebieska).
oraz skalar krzywizny Ricciego R=gź�Rź�. Oczywiście
w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego wszystkie te
Świadectwem przeciw teorii Newtona i jednocześnie
wielkości są równe zero. Równanie Einsteina opisuje
za teorią Einsteina była niezgodność ruchu Merkurego.
związek między zakrzywieniem czasoprzestrzeni (grawi-
Ruch tej planety wykazywał niewielkie odchylenia zna-
tacją) opisanym tensorem metrycznym gź�, a rozkładem
ne od drugiej połowy XIX stulecia, względem obliczeń
materii opisanym tensorem energii-pędu Tź�. Równanie
wynikających z newtonowskich praw ruchu i grawitacji.
Einsteina można wyprowadzić z ekstremum całki działa-
Anomalia orbity Merkurego jest bardzo niewielka, wy-
nia dla pola grawitacyjnego. Równanie to ma następującą
nosi 43 sekundy kątowe na każde sto lat. Żadne z propo-
postać:
nowanych na gruncie teorii Newtona rozwiązań tego pro-
blemu nie okazało się skuteczne. W roku 1916 Einstein
gdzie: Rź�  tensor krzywizny Ricciego, R  skalar krzy-
wyjaśnił ową niezgodność przy pomocy praw grawitacji
wizny Ricciego, gź�  tensor metryczny, �  stała ko-
w ogólnej teorii względności.
smologiczna, Tź�  tensor energii-pędu, Ą  liczba pi, c
 prędkość światła w próżni, G  stała grawitacji. Na-
tomiast gź� opisuje metrykę rozmaitości i jest tensorem
4.2 Ruch światła w zakrzywionej czaso-
symetrycznym 4 � 4, ma więc 10 niezależnych składo-
przestrzeni
wych. Biorąc pod uwagę dowolność przy wyborze czte-
rech współrzędnych czasoprzestrzennych, liczba nieza-
leżnych równań wynosi 6. Newton stwierdził w swojej Optyce, że światło może ule-
gać wpływowi grawitacji. Na mocy swojej teorii grawita-
Rozkład materii w czasoprzestrzeni opisany jest przez
cji przyjął on, że światło gwiazdy przechodzące w pobliżu
tensor energii-pędu
Słońca na swojej drodze ku Ziemi odchyli się skutkiem
gdzie u jest wektorem jednostkowym uźuź=1, � jest prze-
grawitacji o kąt 0,873 . Do zaobserwowania tego zjawi-
strzennym rozkładem energii a P rozkładem ciśnienia.
ska niezbędne jest wystąpienie zaćmienia Słońca. Teoria
Einsteina przewiduje, że odchylenie to będzie dwukrot-
W próżni gdy �=0 i P=0 rozwiązaniem równań Einste-
nie większe, czyli 1,743 .
ina jest przestrzeń Ricci płaska (Rź�=0, np. przestrzeń
Minkowskiego, ale również rozwiązanie z metryką Karla
Obserwacje potwierdziły (w granicach błędu ekspery-
Schwarzschilda). Jeżeli układ fizyczny opisuje ciało ma-
mentalnego), obliczenia wynikające z teorii Einsteina i
sywne, a ciśnienie jest niewielkie, wtedy �=�c� i z
ródłem
po dziś dzień uważane są za jej kluczowe świadectwo.
grawitacji jest tylko rozkład masy �. W granicy gdy pręd-
Powyższy eksperyment przeprowadzano wielokrotnie,
4 6 LINKI ZEWN
TRZNE
przy jednoczesnym uściślaniu wyników pomiaru. Znacz-
nie dokładniejsze pomiary przeprowadzone w latach 70.
przez Hulsego i Taylora, przy obserwacji podwójnego
układu pulsarów, również potwierdziły przewidywania
tej teorii.
Do tej pory nie istnieją dane obserwacyjne mogące pod-
ważyć ogólną teorię względności, choć wiadomo, że na-
wet przy próbach połączenia z mechaniką kwantową,
nie tłumaczy ona obecnego kształtu Wszechświata (patrz
ciemna materia i ciemna energia).
5 Zobacz też
" współrzędne współporuszające się
" Gravity Probe B
" szczególna teoria względności
6 Linki zewnętrzne
" Intuicyjne wyjaśnienie równania pola (ang.)
" Living Reviews in Relativity  portal poświęcony
ogólnej teorii względności
5
7 Text and image sources, contributors, and licenses
7.1 Text
" Ogólna teoria względności y
ródło: https://pl.wikipedia.org/wiki/Og%C3%B3lna_teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci?oldid=
45024245 Autorzy: Youandme, Kpjas, Polimerek, Jersz, Beno, Boud, Kakaz, Filemon, Maciek, Stok, Superborsuk, Tawbot, Lzur, Ency,
Olafbot, Robbot, Porkis, Lukas3, K K, WojciechSwiderski, CiaPan, Nova, Kocio, Tsca.bot, Voytek s, Lenka~plwiki, Grubel, AI~plwiki,
Artur Nowak~plwiki, Rentier, Marokl, RManka, Simek, 4C, BartekChom, W2023, Stepa, Chobot, YurikBot, LeonardoRob0t, WarXboT,
DaKa, Airwolf, Joa, MelancholieBot, Kaszkawal, Jakubhal, Dodek, Pedros, PG, Konradek, Grzegorz Dąbrowski, Escarbot, Swayze3,
JAnDbot, Maksim-bot, Turkusowy smok, YarluBot, Soulbot, Michał Rosa, KrzysiekS, Karol007, Romuald Wróblewski, Rei-bot,
Bot-Schafter, Ciacho5, Mpfiz, R�mih, SashatoBot, VolkovBot, TXiKiBoT, Boleck, Sagi2007, Mjad, SoheiMajin Gotenks, Maikking,
Bukaj, SieBot, Loveless, Wiggles007, Mpn, MastiBot, Szymon Żywicki, Khan Tengri, KamikazeBot, Piter lew, Za Horyzontem, Belfer00,
SilvonenBot, Szczureq, Persino, MystBot, Luckas-bot, Ptbotgourou, Uniwersalista, Aaaba, Xqbot, GhalyBot, Adam Wujtewicz, RibotBOT,
Fizykaa, Wiklol, RedBot, GrouchoBot, EmausBot, Z�roBot, Sławek Borewicz, Manubot, Doctore, MerlIwBot, Marcintomaszewski,
Dexbot, Addbot, Matandun, AndrzeiBOT oraz Anonimowy: 39
7.2 Images
" Plik:Article_icon.svg y
ródło: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/21/Article_icon.svg Licencja: CC BY-SA 3.0 Autorzy:
Praca własna Artysta: MGalloway (WMF) (WMF User Experience Design group)
" Plik:Einstein1921_by_F_Schmutzer_2.jpg y
ródło: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Einstein1921_by_F_
Schmutzer_2.jpg Licencja: Public domain Autorzy: http://www.bhm.ch/de/news_04a.cfm?bid=4&jahr=2006 Artysta: Ferdinand
Schmutzer
" Plik:Relativistic_precession.svg y
ródło: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/Relativistic_precession.svg Licencja:
CC-BY-SA-3.0 Autorzy: Praca własna, self-made using gnuplot with manual alterations Artysta: KSmrq
7.3 Content license
" Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0