TEORIA POPYTU KONSUMENTA

Relacja preferencji konsumenta

W obecnych czasach matematyka stanowi niezastąpione narzędzie dla każdego kto zajmuje się analizą zjawisk ekonomicznych - począwszy od statystycznego ujęcia trendów występujących w gospodarce a skończywszy na tworzeniu abstrakcyjnych teorii systemów ekonomicznych. W najprostszym przypadku matematyka stanowi podstawę formułowania zależności występujących pomiędzy zmiennymi ekonomicznymi.

Modele matematyczne

Model matematyczny opisujący dane zjawisko zachodzące w ekonomii może mieć postać między innymi funkcji, równania, układu równań. Proste modele ekonomiści łączą w złożone systemy, dzięki którym jesteśmy w stanie odpowiedzieć na szereg istotnych pytań (przykładowo jak zmiana cen paliw wpłynie na produkcję innych dóbr, ceny produktów, które kupujemy w sklepach, strukturę handlu zagranicznego, itd.). Dzięki tak utworzonym modelom opisującym zjawiska zachodzące w gospodarce jesteśmy również w stanie analizować skutek podejmowanych decyzji nim zostaną one jeszcze podjęte.

Zadania ekonomii matematycznej

Głównym zadaniem ekonomii matematycznej jest analiza gotowych już modeli ekonomicznych - może to polegać na próbie odpowiedzi na pytania "co się stanie jeżeli wartość jednej ze zmiennych ulegnie zmianie?", "dla jakich wartości zmiennych model będzie znajdował się w równowadze?", "ile powinniśmy produkować aby zysk całkowity osiągnął wartość maksymalną?", itd. Aby odpowiedzieć na te i podobne pytania ekonomia matematyczna wykorzystuje m.in. rachunek różniczkowy, rachunek całkowy oraz algebrę macierzy.

Obszary nauki wchodzące w skład ekonomii matematycznej

Ekonomia matematyczna stanowi uzupełnienie innych obszarów nauki, między innymi:

statystyki (gromadzenie oraz prezentacja obserwowanych danych a także weryfikowanie stopnia dokładności badań oraz stawianych hipotez)

ekonometrii (tworzenie modeli przy użyciu metod matematyczno-statystycznych)

prognozowania (tworzenie prognoz na przyszłość w oparciu o stworzone modele matematyczne)

badań operacyjnych (ustalanie reguł postępowania umożliwiających podejmowanie racjonalnych decyzji)

Główne podstawowe matematyczne modele mikro- i makroekonomii:

• Modele zachowania konsumenta

• Teoria produkcji

• Modele rynku

• Modele równowagi

• Modele wzrostu gospodarczego

• Modele cyklu koniunkturalnego

Przestrzeń towarów

Rozpatrujemy rynek towarów konsumpcyjnych, na którym można kupić n różnych towarów. Towary numerujemy kolejno od l do n. Przez x_i, (i =1,..., n) oznaczamy ilość i-tego towaru. Koszykiem towarów nazywamy każdy nieujemny wektor postaci x = (x₁, x₂,..., x_n) gdzie x_i (x_i>0) oznacza ilość i-tego towaru.

Przestrzenią towarów (dóbr) nazywamy zbiór
wszystkich nieujemnych koszyków towarów.

W przestrzeni towarów (dóbr) wprowadzimy normę

,

i odpowiednio metrykę (odległość pomiędzy elementami)

.

Przykład. Narysować w przestrzeni dóbr wszystkie koszyki
, gdzie
oznacza ilość jaj,
ilość mąki. Obliczyć wielkość koszyka
i odległość pomiędzy koszykami
i
.

Rozwiązanie

Wielkość koszyka:
.

Odległość:
.

Zbiór
nazywa się
- otoczeniem (
>0) koszyka
.

Zbiór
nazywa się otwarty, jeżeli każdy element x zbioru Y należy do niego razem z pewnym otoczeniem
.

Przykład. Narysować w przestrzeni dóbr (z poprzedniego przykładu) wszystkie koszyki należące do otoczenia
.

Punkt
nazywa się punktem brzegowym zboru A, gdy w każdym otoczeniu tego punktu znajdują się punkty należące i punkty nie należące do zbioru A.

Zbiór
nazywa się domknięty, jeżeli Y zawiera wszystkie swoje punkty brzegowe.

Zbiór
nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieje taka dodatnia liczba M, że odległość między dwoma dowolnymi koszykami z tego zbioru nie przekracza M.

Liniową kombinacją wypukłą koszyków x, y należących do
nazywamy każdy koszyk z postaci
gdzie
są takimi dowolnymi liczbami rzeczywistymi, że
oraz
.

RELACJA PREFERENCJI KONSUMENTA

W teorii konsumpcji zakłada się, że każdy konsument ma własne preferencje na pewnym podzbiorze przestrzeni towarów (dóbr). To oznacza, że dla dwóch dowolnych koszyków
i
konsument potrafi je uszeregować według stopnia pożądania i zawsze mamy jedną z trzech relacji:

koszyk y jest silnie preferowany nad koszyk x;

koszyk x jest silnie preferowany nad koszyk y;

koszyki x, y są obojętne (indyferentne, jednakowo preferowane).

W ekonomii matematycznej wprowadza się pojęcie relacji preferencji:

Mówimy, że x jest (słabo) preferowany nad y (x
y) gdy x jest silnie preferowany nad y albo koszyki x i y są indyferentne (obojętne).

Własności relacji preferencji i relacji indyferencji.

O relacji (słabej) preferencji zakładamy, że ma następujące właściwości:

1. 
   
   (zwrotność).

2. 
   (
   ) (zupełność).

3. 
   ((
   (przechodniość).

Aksjomat 3 wprowadza liniowy porządek w przestrzeni dóbr i daje możliwość konsumentowi zawsze dokonywać konkretnego wyboru, natomiast aksjomat 2 wyklucza istnienie sytuacji, gdy konsument nie jest w stanie powiedzieć, który z koszyków jest lepszy.

Relacja indyferencji spełnia warunki :

1.

(zwrotność).

2.
(

) (symetria).

3.
(
(przechodniość).

Relacja indyferentności jest relacją równoważności, zatem dzieli przestrzeń dóbr na zbiory elementów indyferentnych (równoważnych); oczywiście zbiory te nie mają wspólnych punktów. Zbiory takie nazywają się obszarami obojętności. Obszar obojętności w przypadku dwóch dóbr nazywamy linią obojętności.

Przykład

Rozpatrzmy rynek, na którym handluje się dwoma towarami, a więc przestrzeń towarów to zbiór R
. Zdefiniujmy relację preferencji w następujący sposób:

.

Zgodnie z definicją, krzywa obojętności względem danego koszyka
ma postać:
. Z twierdzenia l.l(b) wynika, że:

,

a więc w przypadku naszej relacji preferencji:

Ponieważ y jest dany, zatem znamy wartość iloczynu
. Niech
. Krzywa obojętności względem danego koszyka
jest w tym przypadku zbiorem postaci

,

którego wykresem jest hiperbola przedstawiona na rysunku 1.6.

Krzywa obojętności
względem koszyka y

Mając daną krzywą obojętności
, zastanówmy się teraz, gdzie są położone koszyki lepsze od koszyka y. W przypadku naszej relacji preferencji koszyki lepsze niż y są położone powyżej krzywej obojętności
. Naturalnie poniżej tej krzywej znajdują się koszyki gorsze niż y . Generalnie, im wyżej położona jest krzywa obojętności, tym lepsze są należące do niej koszyki towarów.

Własności relacji silnej preferencji.

(
) (zupełność).

(
(przechodniość).

OPTYMALNY KOSZYK TOWARÓW I WARUNKI JEGO ISTNIENIA

Powracając do rozważań ogólnych, załóżmy, że dana jest relacja preferencji konsumenta P oraz niepusty podzbiór M przestrzeni towarów R

Definicja. Koszyk
nazywamy optymalnym koszykiem w zbiorze M, jeżeli jest nie gorszy od każdego innego koszyka z tego zbioru, co zapisujemy:

.

Przytoczona definicja nie przesądza, czy koszyk
jest jedynym optymalnym koszykiem w zbiorze M.

W zależności od własności relacji preferencji P oraz własności zbioru M w zbiorze tym może istnieć wiele optymalnych koszyków, mogą w ogóle nie istnieć optymalne koszyki, wreszcie może istnieć dokładnie jeden optymalny koszyk. Z ekonomicznego punktu widzenia ostatni z wymienionych przypadków jest szczególnie interesujący, oznacza bowiem, że konsument potrafi jednoznacznie wskazać koszyk, którym jest najbardziej zainteresowany.

Definicja. Relację preferencji konsumenta
nazywamy ciągłą na przestrzeni towarów R
jeżeli dla dowolnych x, y ∈ R
takich, że
istnieją takie otoczenia
,
że, jeśli
i
, to
.

Mówiąc obrazowo, można powiedzieć, że jeżeli dla konsumenta kierującego się ciągłą relacją preferencji pewien koszyk x jest lepszy od koszyka y, to każdy koszyk x' „niewiele" różniący się od koszyka x jest lepszy od koszyka y' „niewiele" różniącego się od koszyka y.

Zdefiniowana wcześniej przykładowa relacja preferencji

jest ciągła.

Definicja. Relację preferencji P określoną na wypukłej przestrzeni towarów R
nazywamy silnie wypukłą na R
, jeżeli dla dowolnych α, β > 0 takich, że α + β = 1 i dla dowolnych x, y ∈ R
spełniony jest warunek:

.

Twierdzenie. Jeżeli relacja preferencji P jest silnie wypukła, to dla dowolnych α, β > 0 takich, że α + β = 1 i dla dowolnych x, y ∈ R
spełnione są warunki:

(i)
,

(ii)
,

(iii)
.

Twierdzenie to odsłania ekonomiczny sens definicji silnej wypukłości relacji preferencji. Wynika z niego, że jeżeli konsument kierujący się silnie wypukłą relacją preferencji uzna, że koszyk x jest lepszy od koszyka y, to uzna także, że każda kombinacja koszyków x i y jest lepsza od koszyka y. Jeżeli natomiast stwierdzi, że koszyki x i y są dla niego jednakowo dobre, to każda kombinacja tych koszyków będzie dla niego lepsza zarówno od samego koszyka x, jak też od samego koszyka y.

Zdefiniowana wcześniej przykładowa relacja preferencji

jest silnie wypukła.

Twierdzenie. Niech
. Jeżeli relacja preferencji P jest ciągła i silnie wypukła, a zbiór M jest domknięty, ograniczony i wypukły, to w zbiorze M istnieje dokładnie jeden optymalny koszyk towarów
.

Przykład. Dla zdefiniowanej wcześniej relacji preferencji konsumenta

zajmijmy się znalezieniem optymalnego koszyka towarów w zbiorze

.

Z przykładu wiemy, że krzywe obojętności w tym przypadku mają kształt hiperboli. Ponadto im wyżej położona jest krzywa obojętności, tym lepsze są należące do niej koszyki towarów. Optymalny koszyk towarów
w zbiorze M jest zatem punktem wspólnym zbioru M i możliwie najwyżej położonej krzywej obojętności.

Ograniczenie budżetowe. Własności zbioru budżetowego.

Jeżeli przez l > 0 oznaczymy dochód konsumenta, a przez
wektor cen poszczególnych towarów, to konsumenta stać jedynie na te koszyki x ∈ R
, których wartość
nie przekracza l. zbiór wszystkich koszyków dostępnych dla konsumenta dysponującego dochodem I przy cenach
oznaczamy symbolem D(p, I). jest to zbiór o następującej postaci:

.

Definicja. Linią (płaszczyzną) budżetową nazywamy zbiór wszystkich tych koszyków, których kupno wymaga wydania całego dochodu, tj. zbiór

.

W przypadku dwóch towarów zbiór koszyków dostępnych konsumentowi ma postać
.

Własności zbioru budżetowego w
.

Linią budżetu nazywamy zbiór koszyków
, który spełniają warunek

Równanie linię budżetu może być również zapisane w postaci

Prosta ta ma współczynnik kierunkowy równy
.

Nachylenie linii budżetu ma jasną interpretacje ekonomiczną: mierzy ono stopę według której konsument jest skłonny zamienić dobro pierwsze na dobro drugie :

.

.

Występuje minus, ponieważ
zawsze mają znaki przeciwne.

Linia budżetu ma 3 parametry
, które mogą się zmienić. Z równania wynika, że wzrost dochodu (budżetu) przesunie równolegle do góry linię budżetu i nie zmieni kont nachylenia. Zmniejszenie ceny dobra pierwszego powoduje przesunięcie punktu przecięcia linii budżetu z poziomą osią na prawo. To znaczy, prosta staje się mniej stroma.

www.stiudent.pl

1

2

3

4

5

6

7

X₁

X₂

20

---