Układy złożone

Uwagi ogólne

Omówione wcześniej belki, ramy kratownice itp. Często wchodzą w skład bardziej skomplikowanych konstrukcji inżynierskich. Na rysunku 2.62 pokazano przekroje dwóch obiektów przemysłowych wraz z ich schematami statycznymi, będącymi typowymi przykładami układów zwanych złożonymi.

Rysunek 2.62 Przekrój belki żelbetowej

Na rysunku 2.63 przedstawiono przykłady kilku innych schematów układów złożonych. Są to:

• belka ciągła, przegubowa (gerberowska), w skład wchodzą belki proste (rys.2.63a),

• złożony układ ramowy, który powstał w wyniku połączenia układu trójprzegubowego, belki załamanej i belki prostej (rys.2.63b),

• złożony układ kratowy (rys. 2.63c),

• układ ramowo-kratowy, łączący kratownicę z układem trójprzegubowym (rys.2.63d).

Układy złożone można zazwyczaj podzielić na wchodzące w ich skład układy podstawowe, tworząc tzw. schematy pracy (rys.2.64).

Rysunek 2.63. Przykłady układów złożonych

Rysunek 2.64. Schematy pracy układów złożonych.

Analizując schematy pracy można określić, które z układów składowych stanowią podstawę konstrukcji, a które, i w jakiej kolejności, na niej się opierają.

Obliczenia po tych ustaleniach mają standardowy przebieg. Dla prawidłowo zaprojektowanego układu złożonego można utworzyć wyłącznie jeden właściwy schemat.

Nie można podać ścisłych reguł pozwalających automatycznie tworzyć schematy. Wyjątkiem są belki ciągłe przegubowe.

W praktyce budowlanej spotyka się układy, które nie mogą być rozłożone na elementy podstawowe (rys. 2.65). Tego typu schematy oblicza się zapisując równania równowagi dla odpowiednio wyodrębnionych fragmentów.

Rysunek 2.65. Rama jako układ złożony.

Belki ciągłe przegubowe

Geometrycznie niezmienny układ utworzony z szeregu jednoprzęsłowych belek prostych, połączonych ze sobą przegubami, nazywa się belką ciągłą przegubową lub belką gerberowską.

Zazwyczaj przyjmuje się, że na belkę działa wyłącznie obciążenie pionowe. Belki tego typu pozwalają na uzyskanie dużych rozpiętości przęseł i są stosowane miedzy innymi w konstrukcjach mostowych (rys.2.66a). Uproszczony schemat statyczny konstrukcji przedstawiony na rysunku 2.66b wskazuje, że liczba niewiadomych składowych reakcji wynosi 5. Układu tego nie można rozwiązać w standardowy sposób, gdyż na płaszczyźnie do dyspozycji mamy trzy równania równowagi. Brakujące dwa równania można otrzymać, zapisując warunki zerowania się momentów zginających w przegubach E i F:
.

Jeżeli zatem belka ciągła przegubowa zawiera tyle przegubów, ile jest nadliczbowych składowych reakcji, to ta belka jest statycznie wyznaczalna. Przeguby muszą być tak wprowadzone, aby zapewniona była geometryczna niezmienność układu.

Rysunek 2.66. Belka ciągła przegubowa: a)konstrukcja mostu, b)schemat belki.

Schemat pracy układu można uzyskać, dzieląc myślowo belkę w przegubach. Każdy wyodrębniony element oblicz się jako belkę prostą (swobodnie podpartą lub wspornikową).

W schemacie pracy wyróżnia się belki proste statycznie wyznaczalne, zwane elementami podstawowymi, oraz belki zawieszone, nie mające odpowiedniej liczby własnych podpór. Obliczenia rozpoczyna się od belek zawieszonych, a wyznaczone dla nich reakcje obciążają elementy podstawowe.

W belce na rysunku 2.67a występuje 5 nieznanych składowych reakcji. Schemat pracy przedstawiono na rysunku 2.67b. Jest ona statycznie wyznaczalna, gdyż mamy do dyspozycji 3 równania równowagi oraz dwa dodatkowe równania dla przegubów, w których moment zginający jest równy zero.

Należy zwrócić uwagę, że podpora B z przegubowo przesuwnej stała się nieprzesuwną. Z uwagi na brak sił podłużnych wprowadzona dodatkowa składowa reakcji nie zmienia rozwiązania.

Element DE jest belką zawieszoną, natomiast elementy AD i EC są belkami podstawowymi (rys.2.67c). Element DE jest belką swobodnie podpartą, bez trudu zatem można obliczyć reakcje, którymi z kolei obciąża się elementy podstawowe AD i EC. Po wyznaczeniu wszystkich reakcji obliczono siły wewnętrzne dla poszczególnych elementów (kolejność dowolna), a następnie uzyskane wykresy łączy się w całość (rys.2.67d).

Rysunek 2.67. Belka ciągła przegubowa - schemat pracy i wykresy sił wewnętrznych.

Zadanie

Sporządzić wykresy sił wewnętrznych w belce ciągłej przegubowej.

Rysunek 2.68. Belka ciągła przegubowa: a)schemat belki, b)schemat pracy.

Belka została podzielona w przegubie C na dwie niezależne belki proste (rys.2.68b). Część CE jest belką zawieszoną. W punkcie C obu belek przyłożono siły wzajemnego oddziaływania równe co do wartości reakcji R_C. Obliczenia rozpoczynamy od belki zawieszonej CE, zapisując trzy równania równowagi:

Następnie, znając reakcje R_C, zapisano odpowiednie równania równowagi dla belki AC:

Znając wszystkie reakcje belki ciągłej przegubowej, możemy sporządzić wykresy sił wewnętrznych, rozwiązując oddzielnie dwie belki swobodnie podparte ze wspornikami.

Uzyskane wykresy sił poprzecznych i momentów zginających przedstawiono na rysunku 2.69.

Rysunek 2.69. Wykres sil wewnętrznych w belce ciągłej przegubowej.

Złożone układy ramowe i kratowe

Elementami składowymi złożonych układów ramowych są odpowiednio połączone ze sobą belki proste, belki złożone, ramy oraz układy trójprzegubowe, a także łuki.

W skład złożonych układów kratowych wchodzą jedynie kratownice. Są one bardzo często stosowane w budownictwie mostowym.

W najprostszych przypadkach należy układ podzielić w przegubach. W innych schematach należy określić, które z przegubów należą do układów trójprzegubowych, których rozkład nie jest możliwy.

Zadanie

Rozwiązać układ ramowy przedstawiony na rysunku 2.70a. Narysować schemat pracy i sporządzić wykresy sił wewnętrznych.

Schemat pracy układu otrzymano dzieląc konstrukcję, podobnie jak belkę gerberowską, w przegubach (rys.2.70b). Obliczenia schematów belek załamanych (I i III) oraz belki prostej (II) wykonano niezależnie, zaczynając od układu położonego najwyżej.

Rysunek 2.70. Złożony układ ramowy: a)schemat konstrukcji, b)schemat pracy.

Rysunek 2.71. Wykresy sił wewnętrznych w złożonym układzie ramowym.

Zadanie

Sporządzić wykresy sił wewnętrznych w danym układzie złożonym przedstawionym na rysunku 2.72.

Rysunek 2.72. Złożony układ ramowo - belkowy: a)schemat konstrukcji, b)schemat pracy.

W tym przypadku układu nie można podzielić we wszystkich przegubach, gdyż otrzymano by fragmenty chwiejne. Właściwy schemat uzyskano dzieląc konstrukcję na układ trójprzegubowy oraz belkę gerberowską, w skład której wchodzą dwie belki proste.

W pierwszym rzędzie należy wyznaczyć reakcję w punkcie F układów I i II, a następnie obciążyć nimi belkę III.

Rysunek 2.73. Wykresy sił wewnętrznych w układzie ramowo-belkowym.

Zadanie

Wyznaczyć siły wewnętrzne w układzie kratowym.

Rysunek 2.74. Złożony układ kratowy: a) schemat konstrukcji, b)schemat pracy.

Schemat pracy kratownicy jest identyczny jak belki gerberowskiej. Dla takiego schematu można obliczyć reakcje i następnie wyznaczyć siły w prętach każdej z kratownic.

Rysunek 2.75. Siły w prętach złożonego układu kratowego.

Układy ramowo-kratowe

W układach konstrukcyjnych złożonych z prętów ramowych i kratowych elementy ramowe są przystosowane do przenoszenia dowolnych sił wewnętrznych, tj. momentów zginających, sił podłużnych i poprzecznych, a w prętach kratowych, połączonych z układem ramowym przegubami, występują jedynie siły podłużne.

Na rysunku 2.76 przedstawiono przykłady statycznie wyznaczalnych układów ramowo-kratowych, nazywanych także mieszanymi. Pręty ramowe będą oznaczane na rysunkach grubymi liniami, a kratowe cienkimi liniami.

Rysunek 2.76. Przykłady statycznie wyznaczalnych układów ramowo-kratowych.

Przykładem układu ramowo-kratowego jest żelbetowy dźwigar wzmocniony stalowym ściągiem.

Rysunek 2.77. Konstrukcja i schemat statyczny dźwigara żelbetowego ze ściągiem.

Do wyznaczania sił wewnętrznych w prętach układów ramowo-kratowych wykorzystano omówione wcześniej metody. Tak jak układy ramowe złożone, układy mieszane również nie posiadają jednego standardowego algorytmu rozwiązania. Każdy układ wymaga indywidualnego podejścia. Najczęściej obliczenia rozpoczyna się od wyznaczenia sił w prętach typu kratowego. Siłami tymi następnie obciąża się pręty ramowe.

Zadanie

Wyznaczyć siły wewnętrzne w prętach układu ramowo-kratowego przedstawionego na rysunku.

Rysunek 2.78. Układ ramowo - kratowy: a)schemat konstrukcji, b) działające siły, c)równowaga węzła.

Układ składa się z poziomej belki AF z dołączoną do niej kratową konstrukcją BDCE. Siły działające na układ po oswobodzeniu z podpór przedstawiono na rysunku 2.78b. Przed obliczeniem składowych reakcji, przeprowadzono analizę podpory B. W pręcie kratowym BD może występować jedynie siła podłużna, więc reakcja w podporze B musi mieć kierunek tego pręta (rys. 2.78b) W pręcie B występuje zatem tylko jedna niewiadoma składowa H_B. W ten sposób zredukowano liczbę czterech składowych reakcji do trzech: R_A, H_A, i H_B. Wyznaczono je z równań równowagi dla całego układu.

Na podstawie równania sumy rzutów sił na oś poziomą x dokonano sprawdzenia obliczeń

Można teraz przystąpić do wyznaczania sił wewnętrznych. Obliczenia rozpoczęto od prętów układu kratowego.

Wycięto węzeł D (rys.2.78c) do i dokonano analizy sił. Siła podłużna w pręcie BD równa jest obliczonej reakcji S₃=H_B=80kN i jest dodatnia (pręt jest rozciągany). Siły w dwóch pozostałych prętach kratowych S₁ i S₂ można wyznaczyć z równań równowagi dla węzła D (rys.2.78c):

Następnie przeanalizowano fragment ramowy (belkowy) układu. W tym celu narysowano go oddzielnie i obciążono składowymi reakcji oraz obliczonymi siłami układu kratowego (rys.2.79), z uwzględnieniem wyznaczonych znaków. Belka obciążona jest pięcioma siłami skupionymi, czynnymi i biernymi. Występujące w niej siły wewnętrzne można łatwo wyznaczyć standardowymi metodami.

Rysunek 2.79. Wykresy sił wewnętrznych w układzie ramowo-kratowym.

78

---