11. Prąd zmienny

W rozdziale dotyczącym pola magnetycznego poznaliśmy regułę Lenza, która wiąże zmiany strumienia indukcji magnetycznej z siłą elektromotoryczną indukowaną w obwodzie zamkniętym.

11.1. Prądnica prądu zmiennego

Wyobraźmy sobie ramkę o powierzchni S wirującą w stałym polu magnetycznym o indukcji B (rysunek 75).

Rys. 75 Wirująca ramka w stałym polu magnetycznym

Strumień indukcji magnetycznej w przedstawionym wyżej momencie jest równy:

.

Przyjmując, że ramka obraca się wokół osi prostopadłej do pola magnetycznego z prędkością kątową ω otrzymamy:

.

Siła elektromotoryczna ε indukowana w ramce jest równa ujemnej pochodnej po czasie ze strumienia Φ.

Oznaczając maksymalną wartość ε, czyli amplitudę przez ε₀ otrzymamy wzór na napięcie zmienne sinusoidalnie:

.

Wykorzystując prawo Ohma otrzymamy:

,

a po podzieleniu przez R:

,

gdzie: I jest wartością chwilową natężenia prądu zmiennego, I­₀ jego amplitudą, ω jego częstością kołową a α fazą początkową.

W celu wprowadzenia średniej (mierzonej) wartości natężenia prądu elektrycznego i napięcia elektrycznego wprowadza się pojęcia wartości skutecznych tych wielkości. Wartość skuteczna natężenia prądu zmiennego to taka wartość natężenia prądu stałego, który płynąc przez odbiornik o oporze R wykonuje taką samą pracę jak dany prąd zmienny w tym samym czasie równym jego okresowi. Ponieważ pole powierzchni pod wykresem funkcji sin²(ωt+α) jest równe T/2 dla czasu T dlatego można napisać:

Po podzieleniu przez RT i spierwiastkowaniu otrzymujemy:

,

oraz napięcie skuteczne:

.

Z wzorów tych wynika, że napięcie w sieci miejskiej (U_sk=230V) zmienia swą wartość od minus 325V do plus 325V.

W przypadku prądu zmiennego jego moc dla rezystancji obliczamy z wzoru:

P = U_sk ⋅ I_sk [P]=1VA=1W

Przebieg zmienny sinusoidalnie możemy również przedstawić jako zmiany wartości położenia rzutu końca wektora o długości równej amplitudzie na wybrany kierunek (rysunek 76).

Rys. 76 Konstrukcja wykresu napięcia zmiennego

11.2. Transformator, oscyloskop

Przekaz energii elektrycznej odbywa się liniami wysokiego napięcia. Przy dużych mocach umożliwia to obniżenie wartości natężenia prądu elektrycznego płynącego w przewodach. Do obniżenia (lub podniesienia) napięcia stosuje się tzw. transformator. Urządzenie to (rysunek 77) składa się z rdzenia (odizolowane płytki stalowe) i dwóch uzwojeń o ilości zwojów n₁ i n₂. Ponieważ dla każdego zwoju mamy tą samą zmianę wartości strumienia indukcji magnetycznej (zamknięty rdzeniem obwód magnetyczny), stąd z reguły Lentza w każdym z nich indukuje się taka sama wartość siły elektromotorycznej indukcji (samoindukcji). Stąd wartość napięcia w każdym uzwojeniu jest proporcjonalna do jego ilości zwojów.

Rys. 77 Transformator

Tak więc zachodzi równość:

.

Zakładając zerowe straty mocy w transformatorze i uwzględnieniu, że P=IU:

I₁ U₁ = I₂ U₂ ,

otrzymamy:

.

Widzimy, że przy pomocy transformatora możemy obniżyć napięcie zmienne i tyle samo razy zwiększyć wartość czerpanego prądu elektrycznego. Oczywiście można też przy jego pomocy zwiększać wartość napięcia przy jednoczesnym obniżeniu wartości natężenia prądu elektrycznego. Ten ostatni przypadek umożliwia obniżenie strat energii przy jej przesyłaniu liniami wysokiego napięcia ponieważ przy stałym oporze linii tracona moc jest proporcjonalna do kwadratu natężenia prądu elektrycznego (wysokie napięcie i małe natężenie prądu przy tej samej mocy).

Do obserwacji przebiegów zmiennych wykorzystujemy oscyloskop. Rysunek 77 przedstawia budowę lampy oscyloskopu katodowego. Jest on zbudowany z lampy próżniowej wewnątrz, której znajdują się: podgrzewana katoda (termoemisja elektronów), siatki przyspieszającej (regulacja jasności), elektrostatycznej lub magnetycznej soczewki skupiającej (ogniskowanie wiązki na ekranie) oraz płytek odchylania pionowego (płytki poziome) i poziomego (płytki pionowe).

Rys. 78 Oscyloskop

11.3. Składanie elektrycznych przebiegów zmiennych

Przebieg zmienny możemy obserwować na ekranie oscyloskopu po przyłożeniu do płytek odchylania pionowego napięcia zmiennego sinusoidalnie.

Przyłożone do płytek odchylania poziomego „x” napięcie piłokształtne umożliwia obserwację przebiegów zmiennych proporcjonalnie do upływu czasu i powtarzanie tych przebiegów w zadanym okresie czasu. Jeśli do płytek odchylania poziomego przyłożymy również napięcie zmienne sinusoidalnie to, w zależności od stosunku częstości i stosunku amplitud obu drgań możemy otrzymać w wyniku ich złożenia tzw. Krzywe Lissajous.

Proste składanie drgań w kierunkach wzajemnie prostopadłych przedstawiono w rozdziale 5. Rysunek 79 przedstawia krzywą Lissajous otrzymaną przy stosunku częstości ω_x/ω_y=2/3 i różnicy faz równej
. Widać na nim, że figura ta przecina linię pionową w 2 punktach a linię poziomą w 3. Stosunek ilości punktów przecięcia wyznacza stosunek częstości obu drgań. Własność ta znalazła zastosowanie do wyznaczania nieznanej częstotliwości z wykorzystaniem generatora o znanej (zmiennej) częstotliwości.

Rys. 79 Krzywa Lissajous

11.4. Układ RLC, rezonans elektryczny

W przypadku opornika, zgodnie z prawem Ohma natężenie prądu elektrycznego jest wprost proporcjonalne do napięcia przyłożonego do jego końców. Są jednak elementy elektroniczne w obwodach prądu zmiennego dla których nie obowiązuje to prawo w dowolnie wybranym momencie. Elementami takimi są kondensator posiadający pewną pojemność C i solenoid posiadający pewien współczynnik samoindukcji L. W ich przypadku zamiast wartości chwilowych I oraz U podajemy odpowiednie wartości skuteczne tych wielkości.

Przeanalizujmy najpierw zachowanie się kondensatora, do którego podłączamy źródło stałego napięcia (rysunek 80).

Początkowo kondensator nie posiada ładunku elektrycznego na swych okładkach i napięcie między nimi jest równe 0. Podłączone stałe napięcie powoduje początkowo przepływ prądu elektrycznego o maksymalnej wartości natężenia. Z upływem czasu gromadzący się na okładkach ładunek powoduje wzrost napięcia elektrycznego U_c na kondensatorze i malejącą wartość natężenia prądu elektrycznego.

Po przyłożeniu napięcia zmiennego otrzymujemy przebiegi jak w dolnej części rysunku. Czasowe zmiany wartości I oraz U świadczą o tym, że napięcie na kondensatorze jest opóźnione w fazie w stosunku do natężenia prądu o
. Przedstawiając I oraz U jak wektory otrzymujemy wykres wskazowy natężenia i napięcia z zaznaczonym przesunięciem fazowym (w prawym górnym rogu rysunku 80).

Rys 80 Schemat, wykres wskazowy oraz przebiegi prądu i napięcia dla kondensatora

Rys. 81 Schemat, wykres wskazowy oraz przebiegi prądu i napięcia dla solenoidu

Podłączenie stałego napięcia do solenoidu powoduje zgodnie z regułą Lenza powstanie siły elektromotorycznej indukcji (U_L na cewce), która blokuje przepływ prądu elektrycznego. Tak więc na początku mamy zerową wartość natężenia prądu elektrycznego i maksymalną wartość napięcia na cewce. Upływ czasu powoduje spadek wartości napięcia U_L i wzrost wartości natężenia prądu I co przedstawia rysunek 81. Po podłączeniu cewki do napięcia zmiennego obserwujemy, że napięcie U_L wyprzedza w fazie natężenie prądu I o
.

Układy ze źródłami napięcia stałego i wykresy na rysunkach 80 i 81 (górne zależności czasowe I oraz U) prezentują stany nieustalone między dwoma stanami ustalonymi dla klucza K wyłączonego i włączonego po długim czasie.

Zastosujmy uzyskane wnioski do układu szeregowego RLC.

Rys. 82 Układ szeregowy RLC

W obwodzie szeregowym, zgodnie z zasadą zachowania ładunku elektrycznego, natężenie prądu elektrycznego dla każdego elementu musi być jednakowe. Całkowite napięcie jest równe sumie wektorowej (ze względu na przesunięcia fazowe) napięć _R, _L i _C na poszczególnych elementach.

= _R +_L +_C

Wykres wskazowy dla tego układu przedstawia rysunek 83. Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy następującą zależność:

U² = U_R² + (U_L - U_C)² .

Stosując prawo Ohma dla wartości skutecznych otrzymamy:

U = I Z , U_R = I R , U_L = I X_L , U_C = I X_C ,

gdzie: Z, R, X_L , X_C oznaczają odpowiednio: całkowity opór obwodu nazywany impedancją (zawadą), rezystancję opornika, opór indukcyjny (reaktancję indukcyjną) cewki i opór pojemnościowy (reaktancję pojemnościową) kondensatora.

Rys. 83 Wykres wskazowy dla układu szeregowego RLC

Dla elementów biernych:

X_L = ω L ,

X_C = .

Po uwzględnieniu tych wzorów (oraz podzieleniu obu stron przez I i spierwiastkowaniu) otrzymujemy wzór na impedancję:

Wykorzystując ten sam trójkąt określamy przesunięcie fazowe między natężeniem prądu a całkowitym napięciem:

.

Przyłożenie do układu szeregowego RLC napięcia zmiennego o stałej wartości skutecznej U powoduje, zgodnie z prawem Ohma dla prądu zmiennego, przepływ zmiennego prądu elektrycznego o wartości skutecznej natężenia I równej:

.

W układzie takim można uzyskać maksymalną wartość natężenia prądu I_max przy odpowiednim doborze wartości indukcyjności L, pojemności C i częstotliwości f (ω=2πf). Mówimy wówczas o tzw. rezonansie napięć w tym układzie. Dla I_max impedancja Z musi osiągać wartość minimalną. Ponieważ wartość rezystancji jest stała to z wzoru na impedancję wynika, że:

,

lub

ω²LC = 1

a stąd po uwzględnieniu, że ω=2∏f otrzymujemy wzór na częstotliwość rezonansową f_r :

.

Z powyższego wzoru wynika, że rezonans w układzie szeregowym RLC można uzyskać zmieniając jedną z trzech wartości f, L, C. Przykładem zastosowania tego zjawiska jest zmiana częstotliwości własnej różnego rodzaju nadajników i odbiorników przez zmianę pojemności układu rezonansowego przy wysyłaniu i odbieraniu fal elektromagnetycznych modulowanych przekazywaną informacją. Zgodność częstotliwości wysyłanych przez nadajnik fal elektromagnetycznych z częstością własną obwodu rezonansowego odbiornika powoduje maksymalny przekaz energii i uzyskanie maksimum sygnału w obwodzie wejściowym odbiornika. Po odpowiednim wzmocnieniu i przekazaniu do przetwornika możliwe jest uzyskanie sygnału dźwiękowego lub wizualnego.

---