Potęgi o wykładnikach
rzeczywistych
przykłady
3-2.2 · 33.2 = 3-2.2 + 3.2 = 3.2
25.3 + 1
52.3·5
= (52).3 + 1
52.3 + 1 = 5(2.3 +2) -(2.3 + 1) = 5
(3.2)2π · ( 3.4)-π = 32π · (.2)2π · ( 3.4)-π = 32π · (2
12
)2π · (2
2
3 )-π =
= 32π · 2π · 2- 2
3π = 9π · 2
13
π = (9 3.2)π
82-.3 · 23.3
(4-
.3
3 )2.3
=
(23)2-.3 · 23.3
4-
.3
3 ·2.3
=
26-3.3 · 23.3
4-2 = 26
2-4 = 26-(-4) = 210
zadania
1. Zapisz każde z podanych wyrażeń w postaci potęgi liczby 2.
a) 32 5.2 1
213 _12
_8 1 .2
3.4 b) 1
64
1
5.8
1
7.8
4 3.4
6.2
4.2
32 4.4
5.16
2. Oblicz:
a) _7.2_
.2
(11π )- 2π
_2,25-
.2
4 _
.2
_0,2.6_
_32
b) 6.7-5 · 67-.7 33.3 · 271-.3 53+4.7 · _ 1
25 _2.7
_.3_
2π-1 · 32,5-π
c) 105π-4
102+5π
41,5.5
81+.5 _3.2+.3
3.2-.3 _
.3
125.2+1
252.2-3 · 5.2
3. Znajdź liczbę a spełniającą warunek:
a) _3.2_a
= 3 b) 3.2 · 3a = 3 c) 3.2
3a = 3
4. Oszacuj, która z podanych liczb jest większa.
a) 7π czy 78 c) 31,5 czy 3.3 e) (.5)2 czy (.5).5
b) 0,5.2 czy 0,5.3 d) 2-2.2 czy 2-3 f) _38
_
12
czy _ 38
_
.2
2
5. Uporządkuj podane liczby w kolejności od najmniejszej do największej.
a) 7-.2, 70, 7
12
, 7-2,1, 7π, 73 b) _23
_
.5
, _23
_
.3
, _23
_-1
, _23
_0
6. Na osi liczbowej zaznaczono liczby 2π, 1.3, 4.5 i π-.2. Przyporządkuj te liczby
odpowiadającym im literom.
7. Dobierz dwie liczby naturalne tak, aby jedna była mniejsza, a druga większa od
podanej liczby.
a) 3.1 b) 2π+1 c) 5
5π
d) 0,1
3.-15
8. Która z podanych dwóch liczb jest większa?
a) 2.2, _.2_2
b) .31-.3, .3
.3-1 c) 2π, π 12
Logarytmy
przykład
Oblicz log.2 8.
log.28 = x szukaną liczbę oznaczamy literą x
_.2_x
= 8 loga b = x .. ax = b
_2
12
_
x
= 23
2
12
x = 23
12
x = 3
jeśli ab = ac (a > 0, a _= 1),
to b = c
x = 6
poniżej jest równe 1.
e = 1 + 1 + 1
1·2 + 1
1·2·3 + 1
1·2·3·4 + . . .
Niech pn (dla n . 2) oznacza iloczyn
wszystkich liczb pierwszych mniejszych
lub równych n (czyli p2 = 2,
p3 = 2·3, p4 = 2·3, p5 = 2·3·5 . . .).
Wówczas wyrazy ciągu n_pn to coraz
dokładniejsze przybliżenia liczby e.
e = 2 +
2
2 + 3
3 + 4
4 +
5
5 + ...
2_2
, _1 + 1
3_3
,
_1 + 1
4 _4
, . . . zbliżają się do pewnej liczby, którą nazwał liczbą e.
Ciąg _1 + 1n
_n
_1 + p
100_1
1 raz dolicza się odsetki (po roku)
_1 + p
2·100_2
2 razy dolicza się odsetki (co pół roku)
_1 + p
12·100_12
12 razy dolicza się odsetki (co miesiąc)
_1 + p
n·100_n
n razy w roku dolicza się odsetki
Gdy przyjmiemy, że oprocentowanie jest równe 100%, to stan konta po roku przy
n okresach doliczania odsetek będzie wynosił _1 + 1n
_n
. Ponieważ wyrazy ciągu
_1 + 1n _n
nigdy nie przekraczają liczby e . 2,72, więc nawet gdyby odsetki doliczane
były co ułamek sekundy, to stan konta po roku nigdy nie przekroczy 2,72 zł.
zadania
1. Zapisz za pomocą logarytmu liczby a, b, c i d:
5a = 10 _14
_b
= 7 0,02c = 23
10d = 0,6
2. Zastąp podaną równość odpowiednią równością typu ab = c.
log8 4 = 23
log7 1 = 0 log5
1
125
= -3 log.10 = 12
3. Zastąp podaną równość odpowiednią równością typu loga b = c.
35 = 243 6- 13
= 1
3.6
100 = 1 _23
_-3
= 27
8
4. Znajdź x:
a) log2 x = 4 d) log 25
x = -1 g) log x = 1
b) log 12
x = 5 e) log2 x = -5 h) log x = -2
c) log16 x = 14
f) log.3 x = 12
i) log x = 13 5. Znajdź x:
a) logx 125 = 3 d) logx 3 = 12
g) logx5 = -2
b) logx 10000 = 2 e) logx 39 = 3 h) logx0,0001= -8
c) logx .2 = 1 f) logx 7 = -12
i) logx 0,5 = -12
6. Znajdź liczby a, b i c spełniające warunki:
a) log5 a = 3 b) log 19
a = 12
c) log.3 a = -4
log 25
52
= b log7
3.7 = b log0,1 .10 = b
logc 16 = 4 logc 100 = -2 logc 3 = 14
7. Oblicz:
a) log2 16 b) log5 5 c) log 10 d) log3 .3
log 13
3 log7 1 log 0,1 log 12
2
log42 log5 53 log 105 log 13
9
log0,3 0,027 log8 8
1
3 log 1000 log5
4.5
log0,1 100 log34
34
log.10 log6
1
36
8. Oblicz:
a) log0,1 100 log2
1 .
2
log 12
4 log9
1
3 log5
1
125 log 23
94
b) log 15
4.5 log1,5
4
9 log 23
_1,5 log4
3.2 log0,258 log19
3.3
c) log.55 log.3 27 log.2 4.2 log3.66 log3.10
.10 log.7
3.49
9. Przedstaw liczbę l jako logarytm pewnej liczby przy podstawie p.
a) l = 4, p = 3 f) l = -2, p = 6
b) l = 3, p = 2 g) l = -4, p = 0,1
c) l = 5, p = 12
h) l = 12
, p = 10
d) l = 1, p = 7 i) l = -23
, p = 2
e) l = 0, p = 34
j) l = -13
, p = 12
10. Oblicz:
a) log5 5- 27
log5 _53_
7 log5 _5
2
3 _-6
log5 _5-4_
15 b) log6(615)-4 log6
1
36
log6( 3.6)2 log6
1
5.36
c) log 12
2-4 log 12
_(0,5)7_8 log 12
413 log12 (.2)18
11. Dla każdego z podanych wyrażeń zapisz warunki, jakie muszą spełniać zgodnie
z de.nicją logarytmu liczby a, b, c i d, i oblicz wartość tego wyrażenia.
a) loga a23 loga a.2 loga
5.a2 loga
1
a7
loga
a3
.a
b) logb b logb2 b log.b b log 1
b
b log 1
3.b
b
c) logc2 c4 logc3 c5 log.c c2 log1c
c3 log 1
c2
c10
d) logd2 .d logd5
1
d log 3.d
5.d log 1
d
d .
d
log 1 .d
d
34
12. Wyznacz z podanego wzoru wskazaną wielkość.
a) a = pk, k d) D = log5(m+ 1), m
b) P = Mat , t e) M = m- log2 r , r
c) 3 + va = T, a f) v = w log(ab), a
Własności logarytmów
Ćwiczenie A. Sprawdź, że spełniona jest równość:
a) log2 4 + log2 8 = log2(4 · 8) d) log2 4 - log2 8 = log2
4 8
b) log 12
2 + log12
1
8 = log12
_2 · 1
8_ e) log 12
2 - log12
1 8
= log12
_2 : 1
8 _
c) log 100 + log 1000 = log 100000 f) log 100 - log 1000 = log 0,1
Równości zapisane w ćwiczeniu A wynikają z następujących ogólnych własności
logarytmów.
Twierdzenie o logarytmie iloczynu
Jeśli a, b i c są liczbami dodatnimi i a _= 1, to
loga(bc) = loga b + loga c
Dowód:
Niech loga b = x i loga
c = y, wówczas b = ax i c = ay .
Zatem:
loga(bc) = loga(ax · ay) = loga ax + y = x + y = loga b + loga c
Ćwiczenie B. Oblicz:
a) log6 9 + log6 4, b) log 1
2
25 + log1
2
0,01, c) log3 .6 + log3
.2
2 .
Twierdzenie o logarytmie ilorazu
Jeśli a, b i c są liczbami dodatnimi i a _= 1, to
loga
bc
= loga b - loga c
Dowód:
Niech loga b = x i loga c = y, wtedy b = ax i c = ay .
Zatem:
loga
bc
= loga
ax
ay = loga ax-y = x - y = loga b - loga c
Ćwiczenie C. Oblicz:
a) log5 35 - log5 7, b) log 14
18 - log14
9, c) log 0,03 - log 3.
Twierdzenie o logarytmie potęgi
Jeśli a, b są liczbami dodatnimi i a _= 1, to dla każdej liczby c
loga bc = c loga b
Dowód:
Niech loga b = x, wobec tego b = ax.
Zatem:
loga bc = loga(ax)c = loga acx = cx = c loga b
Ćwiczenie D. Oblicz: log3_.3_
15, log_ 1
100_
2
3, log12
_1
4 _
.2
.
Twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu
Jeśli a, b są liczbami dodatnimi i a _= 1, to dla dowolnej różnej od 1 liczby dodatniej c
loga b = logc b
logc a
Dowód:
Niech c będzie dowolną liczbą dodatnią różną od 1 i niech loga b = x,
wówczas b = ax. Z założenia wiemy, że a _= 1, więc logc a _= 0.
Zatem:
logc b
logc a
= logc ax
logc a
= x logc a
logc a
= x = loga b
Oto przykłady:
log2 30 = log 30
log 2 . 1,48
0,3 . 4,9 log 12
20 = log 20
log 12
. 1,3
-0,3 . -4,3
przykłady
log5 10 + log52,5 = log5 (10 · 2,5) = log525 = 2
log 4 - log4000 = log 4
4000 = log 1
1000 = -3
log2 64 · log6
1
2 = 4log2 6 ·
log2
1
2
log2 6 = 4· (-1) = -4
zadania
1. Oblicz:
a) log2 80 + log2 0,1 e) log2 7 - log2 56
b) log3 4,5 + log3 2 f) log7 14 - log7 2.7
c) log 2000 + log 12
g) log2 6 + log2 12 + log2
49
d) log5 100 - log5 4 h) log4 - log5 + log125
2. Przedstaw podany logarytm za pomocą wyrażeń log a, logb i logc.
a) log(abc) b) log ab
c
c) log a
bc
d) log 1
abc
3. Przedstaw podany logarytm w postaci sumy lub różnicy logarytmów.
a) log3(ab) c) log5
pq
e) log 5x
g) log7
2
st
b) log2(5x) d) log12
a3
f) log 4x
y
h) log0,1
u 7v
4. Przedstaw podane wyrażenie jako jeden logarytm.
a) log2 3 + log2 x e) log 7a - log4a - log3a
b) log5 a - log5 4b f) log5
x2
- log5
y3 + log5
z6
c) log m9
+ log3m g) log7
n2
+ log7
n2
- log7 n
d) log6 5b - log6 10b2 h) log3 2v + log3 v - log3 3v
5. Przyjmij, że log 7 . 0,845 i oblicz:
log 70 log 700 log 7000 000 log 0,7 log 0,07 log _7 · 10-10_
6. Niech a będzie taką liczbą, że logc a = 2. Oblicz:
a) logc a13 c) logc a23
e) logc
5.a2 g) logc
1
a12
b) logc a-7 d) logc
3.a f) logc
1
a5 h) logc
1
4.a3
7. Przyjmij, że log 2 . 0,3 i log 5 . 0,7. Oblicz:
a) log 4 log.2 log12
log 32 log 1
210
b) log 125 log 5.5 log1
25
log 6.55 log .5
125
c) log 25
log 20 log 2,5 log 25
64
log 5.2
8. Przedstaw podane wyrażenie jako jeden logarytm.
a) 2 + log3 5 d) log 12
10 - 1 g) 12
+ log4 7
b) log2 + 3 e) 4 - log3 h) 32
- log2
c) log2 3 - 4 f) 1 - log5 i) 13
- log5
9. Przyjmij, że loga b = x i loga c = y. Przedstaw za pomocą liczb x i y wyrażenie:
a) loga(bc) c) loga .bc e) loga _b.b
c _
b) loga(b2c3) d) loga _ 1
b2c
_ f) loga
5.b2
b.c
10. Przedstaw podane wyrażenie jako jeden logarytm.
a) 3 log2 a + log2 b e) 2 log12
3u + 12
log 12
19
v - 3log12
2w
b) 2 log5 4x + 15
log5 y f) -2 log z - 4log2z + 13
log 8z
c) 13
log3 8n - 2log3 5n g) 3 log2k5 - 5logk3 - 2logk
d) -4 log 3p - 12
log 3q h) 12
log216a6+ 13
log216a9- 14
log216a12
11. Przyjmij, że log 2 . 0,3 i log 3 . 0,48. Oblicz:
log23 log3 4 log2 18 log49 log6 8 log27 12
12. Przedstaw podany logarytm za pomocą logarytmów dziesiętnych, a następnie
oblicz jego wartość za pomocą kalkulatora (wynik zaokrąglij do części tysięcznych).
log25 log7 2 log0,34 log14
2,9 log1,2 124 log15 32,2
13. Wykaż, że:
a) log4 81 + log16 81 = log2 27 b) log9 4 + log13
10 = log3 0,2
14. Wykaż, że dla a > 0, a _= 1 i b > 0 zachodzi równość:
a) log 1a
b = loga
1b
c) logan b = loga b 1n
b) log.a b = loga b2 d) log n.a b = n loga b
15. a) Wykaż, że jeśli a i b są liczbami dodatnimi i różnymi od 1, to zachodzi
równość:
loga b · logb a = 1
b) Korzystając z powyższej równości, oblicz:
log 7 · log7 10 log 5 · log5 100 log3 8 · log2 9
ndie
15 sierpnia 1950 roku i miało siłę 8,7 stopnia w skali Richtera?
Zestaw I
1. Ustal, która z liczb jest większa:
a) 2.2 czy 21,5 b) 4π czy 4.7
2. Oblicz:
a) (5.3)-2/3
-2 .3 c) 23.2+1 · 8-.2
b) (.2).2 : 2(.2)-1 d) 0,12π
1002-π
3. Znajdź x:
a) logx 5 = 2 c) log82 = x
b) log 13
x = -4 d) logx(4x - 3) = 2
4. Oblicz:
a) log5 5 c) log 0,01
b) log0,31 d)log .10
5. Przedstaw podane wyrażenie jako
jeden logarytm.
a) log5 a + log5 a3
b) log b2 - log.b
6. Oblicz:
a) log6 12 + log6 3
b) log25 + log40
c) log4 5 - log4 20
d) log5 .10 - log5 .2
e) log 13
15 + log 13
6 - log13
30
f) log 0,02 - log 2,5 + log 1250
7. Przyjmij, że log2 56 . 5,8, i oblicz:
a) log2 112 c) log2 28
b) log2 56.2 d)log2 7
8. Oblicz za pomocą kalkulatora:
a) log 0,3 b) log 18
9. Dopasuj wzory funkcji do wykresów.
f (x) = 1,5x g(x) = 3x
h(x) = 0,7x k(x) = _ 89
_x
10. Znajdź wzór funkcji wykładniczej,
której wykres przechodzi przez punkt
A = _-2, 16
9 _.
11. Poniżej podano wzory, za pomocą
których można oszacować liczbę ludności
w Bułgarii i w Holandii, zakładając,
że przyrost naturalny w obu krajach
jest taki jak w 2002 roku i nie będzie
się zmieniał:
Bułgaria: LB = 7 600 000 · 0,99t
Holandia: LH = 16 100 000 · 1,005t
t — oznacza czas (w latach) mierzony
od roku 2002.
Korzystając z tych wzorów, odpowiedz
na pytania:
a) W którym z tych krajów liczba ludności
z roku na rok rośnie, a w którym
maleje?
b) Jaka była liczba ludności w tych krajach
w 2002 roku, a jakiej można się
spodziewać w 2005 roku?
c) Jaka była liczba ludności w Holandii
w 2000 roku?
d) Kiedy można się spodziewać, że liczba
ludności Bułgarii spadnie poniżej
7 milionów?
Zestaw II
1. Uporządkuj podane liczby w kolejności
od najmniejszej do największej.
22,7 1
2-π 2.10 _12
_
.3
(.2)π
2. Oblicz wartość wyrażenia, przyjmując,
że a > 0 i a _= 1.
a) loga aπ b) log 1a
a2 c) log.a
1a
3. Niech m będzie taką liczbą, że
logpm = 10. Oblicz:
a) logpm2 c) logp
m
p2
b) logp pm d) logp
.p
mp5
4. Z podanego wzoru wyznacz x.
a) p = 3 · 5x b) M = log x
y
5. Wykres pewnej funkcji wykładniczej
przechodzi przez punkt P = (3, 17). Czy
jest to funkcja rosnąca, czy malejąca?
6. W tabelce przedstawiono kilka argumentów
i wartości funkcji o wzorze
postaci y = b ·ax. Znajdź wartości a i b,
a następnie wartości p i q.
x -1 0 2 q
y 1
27
19
p 27
7. Pewien naukowiec ważył próbkę izotopu
ołowiu 214Pb. Na początku masa
próbki wynosiła 3,127 g, a po minucie
3,047 g. Oblicz okres połowicznego rozpadu
tego izotopu.
Zestaw III
1. Wykaż, że jeśli 0 < a < 1 i b > 1, to:
loga b + logb a . -2
2. Wykaż, że:
logd a = logb a · logc b · logd c
3. Wykaż, że logarytmy wyrazów ciągu
geometrycznego (o wyrazach dodatnich)
tworzą ciąg arytmetyczny.
4. Jaki warunek muszą spełniać liczby
a i b, aby wykresy funkcji f (x) = a · 2x
i g(x) = b · 2-x miały dokładnie jeden
punkt wspólny? Znajdź współrzędne tego
punktu.