Funkcje sumy i różnice 2 kątów

• sin(α+β) = sinαcosβ + sinβcosα

• sin(α-β) = sinαcosβ – sinβcosα

• cos(α+β) = cosαcosβ – sinαsinβ

• cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ

• tg(α+β) = $\frac{\text{tgα}\ + \ \text{tgβ}}{1\ - \ \text{tgαtgβ}}$

• tg(α-β) = $\frac{\text{tgα}\ - \ \text{tgβ}}{1\ + \ \text{tgαtgβ}}$

• ctg(α+β) = $\frac{\text{ctgαctgβ} - 1}{\text{ctgα} + \text{ctgβ}}$

• ctg(α+β) = $\frac{\text{ctgαctgβ}\ + \ 1}{\text{ctgβ}\ - \ \text{ctgα}}$

Funkcje podwojonego kąta

• sin2α = 2sinαcosα

• cos2α = cos²α – sin²α = 2cos²α – 1 = 1 – 2sin²α

• tg2α = $\frac{2tg\alpha}{1 - \text{tg}^{2}\alpha}$

• ctg2α = $\frac{\text{ctg}^{2}\alpha - 1}{2ctg\alpha}$

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

• sinα + sinβ = 2sin$\frac{\alpha + \ \beta}{2}$cos$\frac{\alpha - \ \beta}{2}$

• sinα – sinβ = 2sin$\frac{\alpha - \ \beta}{2}$cos$\frac{\alpha + \ \beta}{2}$

• cosα + cosβ = 2cos$\frac{\alpha + \ \beta}{2}$cos$\frac{\alpha - \ \beta}{2}$

• cosα – cosβ = -2sin$\frac{\alpha + \ \beta}{2}$sin$\frac{\alpha - \ \beta}{2}$

Inne ważne wzory

• sinα = sin(2*$\frac{\alpha}{2}$) = 2sin$\frac{\alpha}{2}$cos$\frac{\alpha}{2}$ = $\frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{\text{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}\ + \ 1}$

• tgα = tg(2*$\frac{\alpha}{2})$= $\frac{{2tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}{1 - \ \text{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}$

• cos = cos(2*$\frac{\alpha}{2}$) = $\frac{{1 - \ tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}{1\ + \ \text{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}$

• ctg = ctg(2*$\frac{\alpha}{2}$) = $\frac{{1 - \ tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}{2\ \text{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}$

• sin²α = $\frac{1 - cos2\alpha}{2}$

• cos²α = $\frac{1 + \ cos2\alpha}{2}$ = 1+cos2α = cos²α

Rozwiązania elementarnych równań trygonometrycznych

Równanie	Dziedzina równania	Rozwiązanie równania	Przedział podstawowy
sinx = a a  ∈   < −1, 1>	R	x1 =  x0 +  2kπ x2 = π −  x0 + 2kπ	$$x_{0}\ \in \ < - \frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2} >$$
cosx = a a  ∈   < −1, 1>	R	x1 =  x0 +  2kπ x2 =   −  x0 + 2kπ	x0 ∈   < 0, π>
tgx = a a  ∈  R	$R\ \backslash\ \{ x = \frac{\pi}{2} + k\pi;k \in Z$}	x =  x0 +  kπ	$$x_{0} \in ( - \frac{\pi}{2}\ ,\ \frac{\pi}{2}\ )$$
ctgx = a a  ∈  R	R  ∖  {x = kπ; k ∈ Z}	x =  x0 +  kπ	x0 ∈ (0, π)

Wykresem funkcji sinus jest sinusoida

Wzór funkcji: y = sin(x)

Dziedzina funkcji: D  ∈ R

Zbiór wartości: Y ∈   < −1, 1>

Miejsca zerowe: x₀ = kπ,  k ∈ C

Przedziały w których funkcja rośnie: $x \in ( - \frac{\pi}{2} + 2k\pi\ ,\ \ \frac{\pi}{2} + 2k\pi$)

Przedziały w których funkcja maleje: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2k\pi\ ,\ \ \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$)

Przedziały dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie: x ∈ (0 + 2kπ ,   π + 2kπ)

Przedziały dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne: x ∈ (π + 2kπ ,   2π + 2kπ)

Funkcja sinus jest funkcją nieparzystą

Funkcja sinus nie jest różnowartościowa

sin(−x) = −sin(x)

Wykresem funkcji cosinus jest cosinusoida

Wzór funkcji: y = cos(x)

Dziedzina funkcji: D  ∈ R

Zbiór wartości: Y ∈   < −1, 1>

Miejsca zerowe: $x_{0} = \frac{\pi}{2}k,\ k \in C$

Przedziały w których funkcja rośnie: x ∈ ( − π + 2kπ ,   0 + 2kπ)

Przedziały w których funkcja maleje: x ∈ (0 + 2kπ ,   π + 2kπ)

Przedziały dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie: $x \in ( - \frac{\pi}{2} + 2k\pi\ ,\ \ \frac{\pi}{2} + 2k\pi)$

Przedziały dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2k\pi\ ,\ \ \frac{3\pi}{2} + 2k\pi)$

Funkcja cosinus jest funkcją parzystą

Funkcja cosinus nie jest różnowartościowa

Funkcja cosinus jest funkcją okresową: T = 2π

cos(−x) = cos(x)

Wykresem funkcji tangens jest tangensoida

Wzór funkcji: y = tg(x)

Dziedzina funkcji: $D\ \in R\ \backslash\ \{\frac{\pi}{2} + k\pi\}$

Zbiór wartości: Y ∈  R

Miejsca zerowe: x₀ = kπ,  k ∈ C

Funkcja tangens rośnie w całej swojej dziedzinie

Przedziały dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie: $x \in (0 + k\pi\ ,\ \ \frac{\pi}{2} + k\pi)$

Przedziały dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne: $x \in ( - \frac{\pi}{2} + k\pi\ ,\ \ 0 + k\pi)$

Funkcja tangens jest funkcją nieparzystą

Funkcja tangens nie jest różnowartościowa

Funkcja tangens jest funkcją okresową: T = π

tg(−x) = −tg(x)

Wykresem funkcji cotangens jest cotangensoida

Wzór funkcji: y = ctg(x)

Dziedzina funkcji: D  ∈ R  ∖  {kπ}

Zbiór wartości: Y ∈  R

Miejsca zerowe: $x_{0} = \frac{\pi}{2}k,\ k \in C$

Funkcja cotangens maleje w całej swojej dziedzinie

Przedziały dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie: $x \in ( - \pi + k\pi\ ,\ - \frac{\pi}{2} + k\pi)\ $

Przedziały dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne: $x \in ( - \frac{\pi}{2} + k\pi\ ,\ \ 0 + k\pi)$

Funkcja tangens jest funkcją nieparzystą

Funkcja tangens nie jest różnowartościowa

Funkcja tangens jest funkcją okresową: T = π

ctg(−x) = −ctg(x)