1. SPŁASZCZENIE ELIPSOIDY, MIMOSROD I i II, PRZEKROJE ELIPSOIDY W PUNKCIE P,

2. OBLICZENIE AZYMUTU I WSPÓŁRZĘDNYCH NA PODSTAWIE SZEROKOŚCI I DŁUGOŚCI ASTRONOMICZNYCH: ZADANIE WPROST I ODWROTNE

Szerokość geograficzna φ: kąt pomiędzy kierunkiem pionu w danym miejscu a płaszczyzną równika ziemskiego

Długość geograficzna λ: kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyzną południka zerowego a płaszczyzną południka przechodzącego przez dane miejsce.

Szerokość geodezyjna B punktu na elipsoidzie i jej związek z szerokością geograficzną φ elipsoidy

i zredukowaną ψ kuli.

Szerokość geocentryczna Ψ – nazywamy kąt jaki tworzy promień wodzący punktu P znajdującego się na powierzchni elipsoidy z płaszczyzna równika

$\tan{\varphi = \frac{z}{p}}$

Szerokość zredukowana β – otrzymamy rzutując punkt P prosta równoległa do osi Oz z powierzchni elipsoidy na kule o promieniu a.

$$\tan{\mathbf{\beta =}\frac{\sqrt{\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{p}^{\mathbf{2}}}}{\mathbf{p}}}$$

B – szerokość geodezyjna – kat miedzy normalną n do elipsoidy w danym pkcie P

L – długość geodezyjna – kąt między dwoma płaszczyznami elips południkowych z których jedna przechodzi przez pkt zerowy a druga przez określony pkt P

Współrzedne pktu P w układzie współrzędnych prostokątnych przestrzennych x,y,z można zapisac

X= N * cosB * cos

Y= N * cos * sin L

Z= N * (1-e²) * sin B

Punkt P nad powierzchnia elipsoidy na wysokości h na normalnej do elipsoidy okreslany jest przez współrzędne przestrzenne:

X=( N+h) * cosB * cos

Y=( N+h) * cos * sin L

Z= N * (1-e²) * h* sin B

Ziemia ma kształt spłaszczonej elipsoidy, której półoś równikowa wynosi około 6373 km, półoś biegunowa około 6357 km. Fizyczną powierzchnię Ziemi w 71% tworzy powierzchnia mórz i oceanów, zaś w 29% powierzchnia lądów, przy czym wzniesienia tych ostatnich w stosunku do powierzchni oceanów mogą lokalnie osiągać kilka kilometrów.

Teoretyczną powierzchnią Ziemi jest powierzchnia geoidy, która pokrywa się z przedłużonym pod lądami średnim poziomem mórz i oceanów. Na tej powierzchni wartość potencjału siły ciężkości jest stała i równa potencjałowi na średnim poziomie mórz i oceanów. Ze względu jednak na niejednorodność mas Ziemi i ich niejednorodne rozmieszczenie w jej wnętrzu, powierzchnia geoidy ma kształt nieregularny (wzniesienia i zagłębienia) i nie jest w każdym punkcie analityczna. Z tego też powodu powierzchnia ta nie może być przyjęta za powierzchnię odniesienia stanowiącą jeden z elementów układu odniesienia.

Najprostszą bryłą matematyczną, najbardziej zbliżoną do kształtu geoidy jest elipsoida obrotowa, czyli powierzchnia zamknięta, powstała w wyniku obrotu elipsy wokół jednej z jej osi symetrii, w tym wypadku małej półosi.

Jednym z podstawowych zadań geodezji wyższej jest ustalenie wymiarów elipsoidy ziemskiej najbardziej zbliżonej do kształtu Ziemi, która spełniałaby następujące warunki:

• Środek elipsoidy powinien pokrywać się ze środkiem ciężkości Ziemi, a płaszczyzna jej równika z płaszczyzną równika Ziemi,

• Objętość elipsoidy powinna być równa objętości geoidy,

• Suma kwadratów odchyleń geoidy od elipsoidy powinna być minimalna.

1.1. Parametry opisujące elipsoidę

Elipsoidą nazywamy powierzchnię o równaniu kanonicznym:

Liczby a, b, c nazywamy półosiami elipsoidy

Jeśli półosie a i c są sobie równe (a = c) to elipsoidę nazywamy elipsoidą obrotową.

Rozmiary i kształt elipsoidy określają następujące elementy:

a – duża półoś, zwana równikową,

b – mała półoś, zwana biegunową.

W praktyce wykorzystuje się również inne wielkości wyrażające wzajemny stosunek półosi, a zwłaszcza:

• Biegunowe spłaszczenie elipsoidy (f lub a)

gdzie:

f – biegunowe spłaszczenie elipsoidy,

a - duża półoś, zwana równikową,

b - mała półoś, zwana biegunową.

Niekiedy f nazywamy spłaszczeniem elipsy południkowej, tzn. takiej, jaka powstaje w wyniku przekroju elipsoidy płaszczyzną zawierającą małą półoś b.

• Pierwszy mimośród elipsoidy (e): EKSCENTRYCZNOŚĆ

• Drugi mimośród elipsoidy (e’): ELIPTYCZNOŚĆ

Równanie powierzchni elipsoidy obrotowej, wyrażone przez współrzędne prostokątne, podaje się zazwyczaj w postaci: $\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{b^{2}} = 1$

gdzie:

x, y, z – przestrzenne współrzędne prostokątne,

Elipsoida obrotowa jest określana przez dwa parametry, w tym przynajmniej przez jeden długościowy, np. a i b lub przez półoś a i spłaszczenie a. Parametry te muszą mieć przyjęte wartości liczbowe, które otrzymuje się na podstawie odpowiednich pomiarów geodezyjnych. Tak w wyniku opracowania pomiarów wyznaczone zostały elipsoidy np. Everesta (1830 r.), Bessela (1841 r.), Clarke’a (1866 r.), Hayforda (1909 r.), Krasowskiego (1940 r.) oraz wiele innych wcześniejszych i późniejszych elipsoid.

W roku 1940 zostały opublikowane w ZSRR parametry elipsoidy Krasowskiego, oparte na bardzo obszernym własnym nowym materiale pomiarowym oraz na badaniach wielu innych krajów europejskich i amerykańskich (USA, Kanada). Elipsoida Krasowskiego w 1942 roku została przyjęta we wszystkich pracach geodezyjnych w ZSRR. W Polsce i w innych krajach demokracji ludowej wprowadzono ją w 1956 roku jako elipsoidę odniesienia. Wybór ten jest jedynie w pewnym sensie i w pewnych granicach sprawą obojętną. Decydują o nim zwykle względy praktyczne, na przykład przyjęcie elipsoidy w krajach sąsiednich. Należy jednak pamiętać, że nawet wspomniana sytuacja nie musi prowadzić do jednolitych układów odniesienia współrzędnych, gdyż te ostatnie związane są jeszcze z tzw. punktem przyłożenia elipsoidy i z jej orientacją.

PRZEKROJE GŁÓWNE ELIPSOIDY

W każdym punkcie P powierzchni elipsoidy można poprowadzić prostą n prostopadłą (normalną) do powierzchni. Nieskończenie wiele płaszczyzn zawierających normalną n przecina powierzchnię elipsoidy w nieskończenie wielu krzywych zbiegających się w punkcie P.

Płaszczyzny, które zawierają w danym punkcie normalną n, która jest prostopadła do elipsoidy nazywamy płaszczyznami normalnymi.

Natomiast przekrojami tej normalnej są krzywe uzyskane na powierzchni elipsoidy w wyniku przecięcia jej płaszczyznami normalnymi, zawierającymi normalną, w danym punkcie do elipsoidy. Wśród nieskończenie wielu przekrojów normalnych elipsoidy wyróżnia się dwa przekroje główne, których płaszczyzny normalne tworzą z sobą kąt prosty, a z otrzymanych krzywych na powierzchni elipsoidy jedna ma krzywiznę największą a, druga zaś najmniejszą w punkcie P.

Przekroje główne:

• Przekrój poprzeczny - jest to przekrój prostopadły do południka, zwany pierwszym wertykałem. Promień krzywizny pierwszego wertykału jest największy, więc krzywizna jest najmniejsza.

• przekrój południkowy – krzywa uzyskana na powierzchni elipsoidy w wyniku przecięcia jej płaszczyzną południkową. Promień krzywizny przekroju południkowego jest najmniejszy, a więc krzywizna jest największa.

Przekroje normalne zawarte pomiędzy przekrojami głównymi mają krzywizny i promienie pośrednie. Są to przekroje normalne dowolne.

Promień krzywizny przekroju południkowego M wyrażony jest następującym wzorem:

r = N cosφ

Promień równoleżnika można wyliczyć w funkcji szerokości

stąd promień krzywizny przekroju poprzecznego N wyrażamy zależnością:

W obu biegunach promień krzywizny wszystkich przekrojów normalnych są sobie równe i wynoszą:

Rys. 6. Wzajemne przekroje normalne w punktach A i B na powierzchni elipsoidy.

Przekrojem normalnym elipsoidy w punkcie A nazywa się taki przekrój, którego płaszczyzna przechodzi przez normalną do punktu A. Jeżeli na powierzchni elipsoidy występują dwa punkty: A oraz B, to ich wzajemne przekroje normalne nie pokrywają się.

Płaszczyzna przekroju normalnego w punkcie A przechodzi zwykle przez normalną punktu A oraz przez punkt B, ale płaszczyzna ta nie zawiera na ogół normalnej do płaszczyzny w punkcie B z wyjątkiem przypadku, gdy punkty te leżą na wspólnym południku lub równoleżniku.

Wzajemne przekroje normalne są względem siebie „wichrowate”. Przekrój wprost w punkcie A, tj. łuk AaB nie pokrywa się z przekrojem odwrotnym w tym punkcie, mianowicie z łukiem BbA.

Zadanie przeniesienia współrzędnych dzieli się na 3 działy:

• gdy jest małe (do 150km)

• gdy jest średnie (do 800 – 1000km)

• gdy jest dalekie (do 20.000km)

Lub inny podział:

• zadania oparte na metodzie szeregów potęgowych (90%)

• zadania oparte na szeregach geometrycznych

Dokładność:

na ziemi

METODA SCHREIBERA (do s= 150km)

METODA CLARKE’A (dla małych mniejsze od 30 – 50km)

Łuk południka:

jest nieznane, dlatego traktujemy tę wartość jako przybliżenie

Znając obliczamy

Metodę tę można stosować w okolicach podbiegunowych, można też stosowa zadania odwrotne, nie potrzeba korzystać z tablic.

ZBIEŻNOŚĆ POŁUDNIKÓW NA ELIPSOIDZIE

DEFINICJA: Kąt zawarty między płaszczyzną południka punktu P a płaszczyzną równoległą do płaszczyzny południka początkowego oznaczamy i nazywamy zbieżnością południków na elipsoidzie w punkcie P.

Na płaszczyźnie:

- zbieżność południków na płaszczyźnie Gaussa – Krugera

Porównując oba wzory widzimy, że:

1. Przedstawić istotę przenoszenia współrzędnych i azymutu na elipsoidzie obrotowej (obliczenia + wzory). Wyjaśnić dlaczego azymut wprost i odwrotny nie różnią się o równe 180^o

1. Przedstawić istotę przenoszenia współrzędnych i azymutu bazując na rozwinięciu funkcji w szeregi potęgowe.

2. Istota geodezyjnego zadania wprost i odwrotnego.

3. Narysować na elipsoidzie przekroje normalne przechodzące przez punkt o współrzędnych B=45^o, L=45^o_, przestrzennie (zacieniować)

4. Obliczyć odległość między punktami P₁P₂ i P₁P₃ mając dane: P₁(B₁=45^o, L₁=30^o ), P₂(B₂=45^o30’, L₂=30^o), i P₃(B₃=45^o L₃=60^o) M₁=6370 km N₁=6375 km

1. Obliczyć odległość między punktami P₁P₂ i P₁P₃ mając dane: P₁(B₁L₁), P₂(B₂L₂), i P₃(B₃L₃) M₁=6370 km N₁=6375 km

2. Mając dany P₁ o współrzędnych B₁=45^o, L₁ = 30^o, oblicz odległość do punktu P₂ (B₂ = 45^o30’, L₂ = 30^o i pktu P₃(45^o,45^o) przy założeniu, że odległość P₁P₃ jest równa odległości po równiku.

3. Jakie zjawiska mają wpływ na współrzędne

4. Narysować przekroje główne i normalne

5. Mając dany punkt na elipsoidzie o współrzędnych B=60^o i L=45^o obliczyć odległość tego punktu od osi obrotu elipsoidy. Narysować przestrzennie przekroje główne dla tego punktu

6. Omów metodę szeregów potęgowych.

7. a) oblicz max i min. Odległość między środkiem elipsoidy o osiach a i b a środkiem krzywizny przekrojów normalnych tej elipsoidy w punkcie B=0, L=0

b) podać promień równoleżnika na którym leży punkt wierzchołkowy na podstawie metody pomiaru stopnia południka

78.Omów istotę zadania wprost i odwrotnego obliczenia współrzędnych i azymutu na elipsoidzie oraz podać najistotniejsze aspekty metody rozwinięcia w szereg potęgowy zależności S/N