PRACA DOMOWA

Michał Genge, gr. 2, rok I

Dane do zadania:

H = 4m – wysokość wody w naczyniu, z naczynie ciecz wypływa bezpośrednio do przewodów

ζ₁=0, 5 – strata lokalna wywołana wlotem cieczy do przewodu z naczynia o ostrych krawędziach

d₁=50mm - średnica pierwszego przewodu

l₁=65cm - długość pierwszego przewodu

ζ₂=3, 9 – strata na zaworze wzniosowym grzybkowym normalnym

d₂=75mm - średnica drugiego przewodu

l₂=90cm - długość drugiego przewodu

d₃=45mm - średnica trzeciego przewodu

l₃= 60cm – długość trzeciego przewodu

d₄=80mm - średnica czwartego przewodu

l₄=45cm – długość czwartego przewodu

T wody = 10[C] => $\mathbf{\nu = 1,013*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 6}}\frac{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{s}}$

k = 0, 04mm – chropowatość bezwzględna

Obliczenia

1. Obliczenie pól każdego z przekrojów

$$\mathbf{A =}\frac{\mathbf{\pi*}\mathbf{d}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}}\mathbf{= \pi*}\mathbf{r}^{\mathbf{2}}$$

A₁=1962, 5 mm²

A₂ = 4415, 625 mm²

A₃ = 1589, 625 mm²

A₄ = 5024 mm²

2. Obliczenia współczynników ζ strat lokalnych (przewężenia, rozszerzenie, krzywak rurowy, łuk kołowy)

Straty przy nagłym zmniejszeniu przekroju:

$\mathbf{\zeta =}\frac{\mathbf{0,0756}}{\mathbf{\mu}^{\mathbf{2}}} + {(\frac{1}{\mu} - 1)}^{2}$, gdzie μ jest funkcją pól powierzchni przekroi powierzchni przekrojów, pole mniejszego przekroju podzielone przez pole większego przekroju

ζ₄=0, 2471

Straty przy nagłym zwiększeniu przekroju:

$$\mathbf{\zeta =}{\mathbf{(}\frac{\mathbf{A}_{\mathbf{d}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{g}}}\mathbf{- 1)}}^{\mathbf{2}}$$

ζ₃=1, 014

ζ₆=3, 306

Starty na łuku kołowym ( kolano ):

$$\mathbf{\zeta = \lbrack 0,131 + 1,847*}\left( {\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{R}}\mathbf{)}}^{\mathbf{3,5}} \right\rbrack\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{\varphi}}{\mathbf{90}} \right)$$

R = 15cm r = 27,5mm φ = 45

$$\mathbf{\zeta}_{\mathbf{5}}\mathbf{= \lbrack 0,131 + 1,847*}\left( {\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{R}}\mathbf{)}}^{\mathbf{3,5}} \right\rbrack\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{\varphi}}{\mathbf{90}} \right)\mathbf{= 0,163}$$

3. Wyprowadzenie wzorów na prędkości w przewodach

Z równania natężenia przepływu możemy wyznaczyć prędkości w konkretnych odcinkach przewodu

Q=A₁*v₁=A₂*v₂=A₃*v₃=A₄*v₄

v₁=(A₄*v₄)/A₁

v₂=(A₄*v₄)/A₂

v₃=(A₄*v₄)/A₃

Następnie korzystamy z równania Bernoulliego:

$\mathbf{z}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\text{pa}}}{\mathbf{\gamma}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\alpha}\mathbf{*}\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{z}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\text{pa}}}{\mathbf{\gamma}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\alpha}\mathbf{*}{\mathbf{v}_{\mathbf{4}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}$+Σhstr, gdzie z₁ = H, $\frac{\mathbf{\alpha*}\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}$=0, ponieważ ciecz w zbiorniku nie płynie, z₂=0, a Σhstr jest to suma wszystkich strat, które napotkała ciecz od momentu opuszczenia zbiornika do końca ostatniego przewodu. Uwzględniając w.w. własności, równanie możemy przedstawić tak (zakładamy ruch burzliwy, dla którego α=1):

H= $\frac{{\mathbf{\alpha*v}_{\mathbf{4}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{*(}\left( \frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{4}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{4}}} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{1}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{1}}} \right)\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{2}}} \right)\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{3}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{3}}} \right)\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{3}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{1}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{3}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+ \zeta}_{\mathbf{4}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{5}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{3}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{6}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{3}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{)}$

Wyznaczamy v₄ z równania

$$\mathbf{v}_{\mathbf{4}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(2*g*H)/(\alpha*}\left( \frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{4}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{4}}} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{1}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{1}}} \right)\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{2}}} \right)\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{3}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{3}}} \right)\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{3}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{1}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{3}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+ \zeta}_{\mathbf{4}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{5}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{3}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{6}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{3}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{))\ }}$$

W calu dalszego obliczenia prędkości w poszczególnych przewodach musimy najpierw wyznaczyć współczynnik oporów liniowych (Corriolisa). Robimy to licząc najpierw chropowatość względna (ε), a następnie korzystamy z wykresu zależności współczynnika oporów liniowych od chropowatości względnej.

$$\mathbf{\varepsilon =}\frac{\mathbf{k}}{\mathbf{d}}$$

$$\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{k}}{\mathbf{d}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{0,04}{60} = 6,6*10^{- 4} = > \mathbf{\lambda}_{\mathbf{1}}\mathbf{= 0,018}$$

$$\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{k}}{\mathbf{d}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{0,04}{85} = 4,7*10^{- 3} = > \mathbf{\lambda}_{\mathbf{2}}\mathbf{= 0,016}$$

$$\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{k}}{\mathbf{d}_{\mathbf{3}}}\mathbf{=}\frac{0,04}{55} = 7,2*10^{- 4} = > \mathbf{\lambda}_{\mathbf{3}}\mathbf{= 0,019}$$

$$\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{k}}{\mathbf{d}_{\mathbf{4}}}\mathbf{=}\frac{0,04}{100} = 4,0*10^{- 5} = > \mathbf{\lambda}_{\mathbf{4}}\mathbf{= 0,0155}$$

Wracając do równania Bernoulliego i podstawiając wyliczone współczynniki λ możemy wyznaczyć prędkość v₄, a następnie prędkości we wszystkich przewodach z zależności wynikających ze stałego natężenia przepływu.

$$\mathbf{v}_{\mathbf{4}}\mathbf{=}1,212\frac{m}{s}$$

$$\mathbf{v}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{A_{4}*v_{4}}{A_{1}} = \frac{7,850*1,212}{2,826} = 3,36\frac{m}{s}$$

$$\mathbf{v}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{A_{4}*v_{4}}{A_{2}} = \frac{7,850*1,212}{5,671} = 1,67\frac{m}{s}$$

$$\mathbf{v}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{A_{4}*v_{4}}{A_{3}} = \frac{7,850*1,212}{2,374} = 4,00\frac{m}{s}$$

4. Obliczenia natężenia przepływu

Znając prędkości przepływu cieczy w przewodach możemy obliczyć jego natężenie (liczymy tylko dla jednego przewodu, ponieważ jest on taki sam dla każdego przewodu z osobna)

$$\mathbf{Q = A*v =}7,850*1,212 = 9,5142\frac{m^{3}}{s}$$

5. Obliczenia liczby Reynoldsa

Liczymy liczbę Reynoldsa, aby upewnić się czy nasz ruch jest na pewno burzliwy

$$\mathbf{Re =}\frac{v*d}{\mathbf{\nu}}$$

$$\mathbf{\text{Re}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{3,36*0,06}{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{013}\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{6}}}\mathbf{= 199012,853 >}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}$$

$$\mathbf{\text{Re}}_{2} = \frac{1,67*0,085}{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{013}\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{6}}}\mathbf{=}\mathbf{140715,69}\mathbf{>}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}$$

$$\mathbf{\text{Re}}_{3} = \frac{4*0,055}{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{013}\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{6}}}\mathbf{= 217176,70 >}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}$$

$$\mathbf{\text{Re}}_{4} = \frac{1,212*0,1}{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{013}\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{6}}}\mathbf{= 119644,62 >}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}$$

Liczba Reynoldsa w każdym przypadku jest większa od 10000, a więc mamy pewność, że w przyjętym α = 1, nie ma błędu, ponieważ ruch burzliwy jest gdy liczba Reynoldsa przekracza 10000 ( w labolatorium 4000).

6. Obliczenia strat lokalnych i na długości

1 Straty lokalne na wlocie:

hlok= $\mathbf{\zeta}_{\mathbf{1}}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{= 0,143m = 143\ mm}$

2 Straty na pierwszym odcinku:

$$\mathbf{hdl =}\frac{\lambda_{1}*l_{1}}{d_{1}}*\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{= 0,\ 129m = 129mm}$$

3 Straty na pierwszym poszerzeniu przewodu:

hlok= $\mathbf{\zeta}_{\mathbf{3}}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{= 0,\ 583m = 583mm}$

4 Straty na drugim odcinku:

$$\mathbf{hdl}\mathbf{=}\frac{\lambda_{2}*l_{2}}{d_{2}}*\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{= 0,002m = 2mm}$$

5 Straty na zaworze znajdującym się na drugim odcinku:

hlok= $\mathbf{\zeta}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{= 0,554m = 554\ mm}$

6 Straty na przewężeniu przewodu:

hlok= $\mathbf{\zeta}_{\mathbf{4}}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{= 0,035\ m = 35\ mm}$

7 Straty na trzecim odcinku:

$$\mathbf{hdl}\mathbf{=}\frac{\lambda_{3}*l_{3}}{d_{3}}*\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{3}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{= 0,197m = 197mm}$$

8 Straty na łuku kołowym

hlok= $\mathbf{\zeta}_{\mathbf{5}}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{3}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{= 0,110m = 110mm}$

9 Straty na drugim poszerzeniu:

hlok= $\mathbf{\zeta}_{\mathbf{6}}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{3}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{= 2,696m = 2696mm}$

10 Straty na czwartym odcinku:

$$\mathbf{hdl}\mathbf{=}\frac{\lambda_{4}*l_{4}}{d_{4}}*\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{4}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{= 0,006m = 6mm}$$