Jacek Chrobak

Tomasz Wójtowicz

2 MT-DI

Praca kontrolna nr.I

Analiza hydraulicznego układu automatycznej regulacji

Rys.1. Schemat przestawiający wybrany układ automatycznej regulacji.

H1, H2 – wysokość cieczy w zbiorniku

A1, A2- powierzchnia cieczy w zbiorniku

F- przepływ cieczy mierzony w l/min

kv1, kv2 – stałe zaworów

Opracowywany układ automatycznej regulacji składa się z dwóch połączonych ze sobą zbiorników z cieczą, przy każdej rurze znajduje się zawór regulujący wypływ cieczy ze zbiornika. Wielkością którą chcemy regulować jest poziom cieczy w drugim zbiorniku(oznaczony jako H2), a wymuszeniem w układzie jest dopływ cieczy(oznaczony jako F).

Schemat blokowy opisywanego układu został przedstawiony na rys.2.

Rys.2. Schemat blokowy układu.

W dalszych obliczeniach, dla układu przyjmiemy następujące wartości liczbowe:

F=8l/min

kv1=4l/min

kv2=8l/min

A1,A2=100l

By uzyskać model matematyczny oraz transmitancję, rozpatrzmy oba zbiorniki oddzielnie, zaczynając od pierwszego zbiornika. Jego model matematyczny będzie prezentował się następująco:

$$\frac{dV1}{\text{dt}} = F - F_{12}$$

Rozpisując wielkość dV przy pomocy znanych wielkości układu na iloraz elementarnego przyrostu powierzchni cieczy oraz zmiany wysokości cieczy w czasie, otrzymujemy:

$$\frac{dV1}{\text{dt}} = \frac{d(A1*H1)}{\text{dt}} = A1*\frac{dH1}{\text{dt}}$$

Kolejną wielkością z równania jest F₁₂. Rozpisujemy ją przy użyciu znanych wielkości układu na iloczyn stałej zaworu oraz różnicy wysokości między cieczą pierwszą a drugą(zbiorniki to naczynia połączone-jeśli poziom cieczy będzie równy, nie będzie ona przepływała). Zakładając, że przepływ cieczy przez zawór 1 jest przepływem laminarnym(wtedy element jest liniowy), otrzymujemy:

F₁₂ = kv1 * (H1 − H2)

Finalna postać modelu matematycznego ma postać:

$$A*\frac{dH1}{\text{dt}} = F - kv1*(H1 - H2)$$

Po przyrównaniu do zera wszystkich pochodnych występujących w równaniu otrzymujemy następującą charakterystykę układu w stanie ustalonym:

0 = F − kv1 * H01

Z charakterystyki statycznej wyznaczamy zmienną H01, czyli wysokość cieczy w zbiorniku pierwszym, gdy nic w układzie się nie zmienia.

$$H01 = \frac{F}{kv1}$$

Transformata Laplace’a dla układu będzie wyglądała następująco:

A1 * s * H1(s) = F1(s) − kv1 * (H1(s) − H2(s))

Tym sposobem opracowaliśmy cały model pierwszego zbiornika. Kolejnym etapem analizy układy jest stworzenie modelu drugiego zbiornika. W tym przypadku, do zbiornika wpływa to, co wypływa ze zbiornika drugiego, co należy uwzględnić w naszych obliczeniach. Model matematyczny dla zbiornika drugiego wygląda następująco:

$$\frac{dV2}{\text{dt}} = kv1*(H1 - H2) - kv2*H2$$

Lewą stronę równania, podobnie jak w przypadku pierwszego zbiornika możemy zapisać następująco:

$$\frac{dV2}{\text{dt}} = A2*\frac{dH2}{\text{dt}}$$

Finalna postać równania dynamicznego zbiornika będzie następująca:

$$A2*\frac{dH2}{\text{dt}} = kv1*\left( H1 - H2 \right) - kv2*H2$$

W stanie równowagi, gdy nic nie zmienia się w naszym układzie, model matematyczny możemy sprowadzić do następującej postaci:

0 = kv1 * H01 − kv2 * H02

We wcześniejszych rozważaniach obliczyliśmy H01. Teraz podstawiamy tę wcześniej wyliczoną wartość, oraz wyprowadzamy z równania wielkość H02.

$$H02 = \frac{kv1*\frac{F}{kv1}}{kv2}$$

Po uproszczeniu licznika ułamka otrzymujemy następującą formę:

$$H02 = \frac{F}{kv2}$$

Kolejnym, ostatnim już etapem przy opisie drugiego zbiornika jest napisania transformaty Laplace’a. Będzie ona miała postać następującą:

A2 * s * H2(s) = kv1 * (H1(s)−H2(s)) − kv2 * H2(s)

Finalnie otrzymujemy modele matematyczne obydwóch zbiorników, czyli dokonaliśmy analizy całego układu. W tym momencie można przystąpić do napisania transmitancji operatorowej całego układu. Aby tego dokonać, musimy obliczyć kilka dodatkowych zmiennych. Pierwszą z nich jest wielkość H1(s), którą wyliczymy z równania transformaty pierwszego zbiornika.

A1 * s * H1(s) + kv1 * H1(s) = F(s) + kv1 * H2(s)

Po wyłączeniu po lewej stronie równania H1(s) przed nawias i podzieleniu przez 1+kv1 otrzymujemy finalną postać:

$$H1\left( s \right) = \frac{F\left( s \right) + kv1*H2(s)}{A1*s + kv1}$$

Następnie, tak otrzymane H1(s) wstawiamy do równania transformaty drugiego zbiornika.

$$A2*s*H2\left( s \right) = kv1*\left( \frac{F\left( s \right) + kv1*H2\left( s \right)}{A1*s + kv1} - H2\left( s \right) \right) - kv2*H2(s)$$

Po przekształceniach otrzymujemy:

$$A2*s*H2\left( s \right) + kv1*H2\left( s \right) + kv2*H2\left( s \right) = kv1*\frac{F\left( s \right) + kv1*H2\left( s \right)}{A1*s + kv1}$$

$$A2*s*H2\left( s \right) + kv1*H2\left( s \right) + kv2*H2\left( s \right) = \frac{kv1*F\left( s \right) + {kv1}^{2}*H2(s)}{A1*s + kv1}$$

$$A2*s*H2\left( s \right) + kv1*H2\left( s \right) + kv2*H2\left( s \right) - \frac{{kv1}^{2}*H2(s)}{A1*s + kv1} = \frac{kv1*F\left( s \right)}{A1*s + kv1}$$

$$H2\left( s \right)*\left( A2*s + kv1 + kv2 - \frac{{kv1}^{2}}{A1*s + kv1} \right) = F\left( s \right)*\frac{kv1}{A1*s + kv1}$$

Następnie dzielimy obustronnie przez $\frac{1}{F\left( s \right)*(A2*s + kv1 + kv2 - \frac{{kv1}^{2}}{A1*s + kv1}}$ :

$$\frac{H2(s)}{F(s)} = \frac{\frac{kv1}{A1*s + kv1}}{A2*s + kv1 + kv2 - \frac{{kv1}^{2}}{A1*s + kv1}}$$

Otrzymane równanie stanowi transmitancję operatorową naszego układu K(s). Po dalszym uproszczeniu i podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:

$$K\left( s \right) = \frac{kv1}{\left( A2s + kv1 + kv2 \right)\left( A1s + kv1 \right) - k{v1}^{2}} = = \frac{4}{\left( 100s + 12 \right)\left( 100s + 4 \right) - 16}$$

Po dalszych uproszczeniach:

$$K\left( s \right) = \frac{4}{10000s^{2} + 1600s + 32}$$

Reakcja układu na wymuszenie skokowe wynoszące $\frac{1}{s}$ będzie następująca:

$$K\left( s \right) = \frac{4}{10000s^{3} + 1600s^{2} + 32s}$$

Rys.3.Charakterystyka skokowa układu.

Odpowiedź układu na wymuszenie harmoniczne została ujęta w charakterystyce amplitudowo-fazowej(Rys.4.).

Rys.4. Charakterystyka amplitudowo-fazowa omawianego UAR.

Ostatnim elementem potrzebnym do scharakteryzowania omawianego UAR są charakterystyki logarytmiczne, ujęte na Rys.5.

Rys.5. Charakterystyki logarytmiczne omawianego UAR.