ZiIP I rok 2008/2009		16.12.08
Nr 5	Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego oraz logarytmicznego dekrementu tłumienia wahadła fizycznego.

1.Opis ćwiczenia

Gdy nie występuje opór powietrza, to wszystkie ciała mogące się znajdować w tym samym punkcie, będą spadać z tą samą prędkością. Przyspieszenie swobodnie spadających ciał nazywamy przyspieszeniem ziemskim, oznaczanym ‘g’. Wartość tego parametru nieznacznie różni się w różnych miejscach na kuli ziemskiej i z wystarczającą dokładnością można ją wyznaczyć za pomocą wahadła prostego

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt o masie m zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l. Jednak w rzeczywistości każda nic w takim układzie pomiarowym ma jakąś rozciągliwość, a zamiast punktu znajduje się kulka o skończonych wymiarach.

Wahadłem fizycznym nazywamy sztywną bryłę mogącą się wahać wokół osi obrotu nie przechodzącej przez środek ciężkości.

2.Opis zestawu pomiarowego:

Rys. Zestaw wahadeł prostych zbudowanych z kulek drewnianych i metalowych, zawieszonych na niciach różnej długości. [skrypt PO „Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki].

Wahadło fizyczne. 1-płytka zawieszona na dwóch niciach, 2-skala. [skrypt PO „Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki].

3. obliczenia

3.1.Obliczenie przyspieszenia ziemskiego

$$g = \frac{4\pi^{2}L}{T^{2}}$$

Dla:

$$g_{1} = \frac{4{(3,14)}^{2} \bullet 0,523}{{(1,44)}^{2}} = 9,95\frac{m}{s^{2}}$$

1. Wahadła drugiego:

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ g}_{2} = \frac{4{(3,14)}^{2} \bullet 0,599}{{(1,57)}^{2}} = 9,58\frac{m}{s^{2}}$$

1. Wahadła trzeciego:

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g}_{3} = \frac{4{(3,14)}^{2} \bullet 0,522}{{(1,53)}^{2}} = 8,79\frac{m}{s^{2}}$$

1. Wahadła czwartego:

$$g_{4} = \frac{4{(3,14)}^{2} \bullet 0,773}{{(1,78)}^{2}} = 9,62\frac{m}{s^{2}}$$

Obliczenie niepewności standardowej dla u(T)

$$u\left( T \right) = \sqrt{\frac{\left( \frac{_{d}t}{30} \right) + \left( \frac{_{e}t}{30} \right)}{3}} = \sqrt{\frac{\left( \frac{0,2}{30} \right) + \left( \frac{0,2}{30} \right)}{3}} = 0,0054\ s$$

Obliczenie niepewności standardowej dla u(l)

$$\overset{\overline{}}{l} = \frac{0,001}{\sqrt{3}} = 0,0006\ m$$

Obliczenie niepewności standardowej dla u(d)

$\overset{\overline{}}{d} = \frac{\sum_{i = 1}^{4}d}{4} = \frac{0,026 + 0,027 + 0,026 + 0,025}{4} =$0,026

$$u\left( \overset{\overline{}}{d} \right) = \sqrt{\frac{1}{4 \bullet 3}\left( \sum_{i = 1}^{4}\left( d - \overset{\overline{}}{d} \right) \right)^{2}} = \sqrt{\frac{{(0,026 - 0,026)}^{2} + {(0,027 - 0,026)}^{2} + {(0,026 - 0,026)}^{2} + {(0,025 - 0,026)}^{2}}{12}} = \sqrt{\frac{0,000001 + 0,000001}{12}} = \sqrt{\frac{0,000001 + 0,000001}{12}} = 0,00031$$

Obliczenie niepewności całkowitej u_c(g)

$$u_{c}\left( g \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{4}{\left\lbrack \frac{\partial g}{\partial T}u\left( T \right) \right\rbrack^{2} + \sum_{i = 1}^{4}\left\lbrack \frac{\partial g}{\partial l}u\left( l \right) \right\rbrack^{2}} + \sum_{i = 1}^{4}\left\lbrack \frac{\partial g}{\partial d}u\left( d \right) \right\rbrack^{2}}$$

$$= \sqrt{\left( \frac{- 8\pi^{2}L}{T^{3}} \bullet u(T) \right)^{2} + \left( \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} \bullet u(l) \right)^{2}}$$

$$u_{c}\left( g_{1} \right) = \sqrt{\left( \frac{- 8 \bullet \left( 3,14 \right)^{2} \bullet 0,618}{\left( 1,51 \right)^{3}} \bullet 0,0054 \right)^{2} + \left( \frac{4 \bullet \left( 3,14 \right)^{2}}{\left( 1,51 \right)^{2}} \bullet 0,0006 \right)^{2}} = \sqrt{0,0059} = 0,076$$

$$u_{c}\left( g_{2} \right) = \sqrt{\left( \frac{- 8 \bullet \left( 3,14 \right)^{2} \bullet 0,637}{\left( 1,56 \right)^{3}} \bullet 0,0054 \right)^{2} + \left( \frac{4 \bullet \left( 3,14 \right)^{2}}{\left( 1,56 \right)^{2}} \bullet 0,0006 \right)^{2}} = \sqrt{0,0052} = 0,072$$

$$u_{c}\left( g_{3} \right) = \sqrt{\left( \frac{- 8 \bullet \left( 3,14 \right)^{2} \bullet 0,552}{\left( 1,47 \right)^{3}} \bullet 0,0054 \right)^{2} + \left( \frac{4 \bullet \left( 3,14 \right)^{2}}{\left( 1,47 \right)^{2}} \bullet 0,0006 \right)^{2}} = \sqrt{0,0055} = 0,074$$

$$u_{c}\left( g_{4} \right) = \sqrt{\left( \frac{- 8 \bullet \left( 3,14 \right)^{2} \bullet 0,79}{\left( 1,74 \right)^{3}} \bullet 0,0054 \right)^{2} + \left( \frac{4 \bullet \left( 3,14 \right)^{2}}{\left( 1,74 \right)^{2}} \bullet 0,0006 \right)^{2}} = \sqrt{0,041} = 0,064$$

3.2.Wyznaczenie logarytmicznego dekrementu tłumienia

D = βT

$D_{0} = In\frac{455}{390}$ = 0,157 $\text{\ D}_{1} = In\frac{390}{320}$=0,199 $D_{2} = In\frac{320}{270} =$ 0,174

$D_{3} = In\frac{270}{245} = 0,097$ $D_{4} = In\frac{245}{220} = 0,104$ $D_{5} = In\frac{220}{195} = 0,120$

$D_{6} = In\frac{195}{175} = 0,107$ $D_{7} = In\frac{175}{160} = 0,089$ $D_{8} = In\frac{160}{135} =$ 0,174

$D_{9} = In\frac{135}{125} = 0,076$ $D_{10} = In\frac{125}{115} = 0,083$

Obliczenie średniego dekrementu

$$D_{sr} = \frac{\sum_{i = 1}^{11}D}{11}$$

$$D_{sr} = \frac{1,36}{11} = 0,124$$

Obliczenie niepewności wyznaczenia dekrementu

$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ u}\left( D \right) = \sqrt{\frac{0,124}{132}} =$0,03

Obliczenie wielkości b

Okres drgań:

$T_{1} = \frac{t_{1}}{10} = \frac{43,44}{10} =$4,344

$T_{2} = \frac{t_{2}}{10} = \frac{47,34}{10} =$4,743

$T_{3} = \frac{t_{3}}{10} = \frac{46,04}{10} =$4,604

$T_{4} = \frac{t_{4}}{10} = \frac{53,62}{10} =$5,362

$T_{sr} = \frac{t_{1} + t_{2} + t_{3} + t_{4}}{4} =$4,76

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b = \frac{2mD}{T} = \frac{2 \bullet 0,2685 \bullet \ 0,124}{4,76} =$0,014

Obliczenie niepewności u(b)

$u_{c}\left( b \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{1}\left\lbrack \frac{\partial b}{\partial T}u\left( T \right) \right\rbrack^{2} + \sum_{i = 1}^{1}\left\lbrack \frac{\partial b}{\partial D}u\left( D \right) \right\rbrack^{2} + \sum_{i = 1}^{1}\left\lbrack \frac{\partial b}{\partial m}u\left( m \right) \right\rbrack^{2}} = \sqrt{\left( \frac{0,014}{4,76} \bullet 0,001 \right)^{2} + \left( \frac{0,014}{0,124} \bullet 0,00031 \right)^{2} + \left( \frac{0,014}{0,2685} \bullet 0,289 \right)^{2} =}$=0,00023

Obliczenie wielkości β

$$\beta = \frac{D}{T} = \frac{0,124}{4,76} = 0,026$$

Obliczenie niepewności u(β)

$u_{c}\left( \beta \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{1}\left\lbrack \frac{\partial\beta}{\partial T}u\left( T \right) \right\rbrack^{2} + \sum_{i = 1}^{1}\left\lbrack \frac{\partial\beta}{\partial D}u\left( D \right) \right\rbrack^{2}} = \sqrt{\left( \frac{0,026}{4,76} \bullet 0,001 \right)^{2} + \left( \frac{0,026}{0,124} \bullet 0,03 \right)^{2} =}$0,0062

Tabelaryczna wartość g = 9,81 m/s^2

Wnioski:

Celem tego ćwiczenia było zbadanie i wyznaczenie dwóch parametrów składających się na drgania wahadła matematycznego i fizycznego, przyspieszenia ziemskiego i logarytmicznego dekrementu tłumienia.

W pierwszej części ćwiczenia wprawialiśmy w drgania kolejno 4 kulki z 2 różnych materiałów zawieszone na różnej długości nitkach i mierzyliśmy czas 30 pełnych wahnięć. Wyniki: dla kulek metalowych: 8,991m/s² i 9,504 m/s², dla kulek drewnianych:9,741 m/s² i 10,597 m/s². Obliczona średnia wartość wyniosła 9,708 m/s², co przyrównując do wartości tabelarycznej 9,81 m/s² wskazuje na dość niewielkie niedokładności w pomiarach.

Druga cześć ćwiczenia polegała na wprawieniu w ruch drgający wahadła fizycznego, celem zaobserwowania zmian w kolejnych wychyleniach, które to były coraz mniejsze. Pomiary posłużyły nam do wyznaczenia logarytmicznego dekrementu tłumienia, równego co do wartości logarytmowi naturalnemu ze stosunku długości kolejnych dwóch wahnięć i wyniósł 0,124. Następnie wyznaczyliśmy współczynnik tłumienia β oraz współczynnik b, które wyniosły kolejno 0,017 i 0,0329.

Poprawa1

Obliczenie niepewności całkowitej u_c(g)

$$u_{c}\left( g \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{4}{\left\lbrack \frac{\partial g}{\partial T}u\left( T \right) \right\rbrack^{2} + \sum_{i = 1}^{4}\left\lbrack \frac{\partial g}{\partial l}u\left( l \right) \right\rbrack^{2}} + \sum_{i = 1}^{4}\left\lbrack \frac{\partial g}{\partial d}u\left( d \right) \right\rbrack^{2}}$$

$$= \sqrt{\left( \frac{- 8\pi^{2}L}{T^{3}} \bullet u(T) \right)^{2} + \left( \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} \bullet u(l) \right)^{2}}$$

$$u_{c}\left( g_{1} \right) = \sqrt{\left( \frac{- 8 \bullet \left( 3,14 \right)^{2} \bullet 0,522}{\left( 1,44 \right)^{3}} \bullet 0,0054 \right)^{2} + \left( \frac{4 \bullet \left( 3,14 \right)^{2}}{\left( 1,44 \right)^{2}} \bullet 0,0006 \right)^{2}} = \sqrt{0,0059} = 0,076$$

$$u_{c}\left( g_{2} \right) = \sqrt{\left( \frac{- 8 \bullet \left( 3,14 \right)^{2} \bullet 0,599}{\left( 1,57 \right)^{3}} \bullet 0,0054 \right)^{2} + \left( \frac{4 \bullet \left( 3,14 \right)^{2}}{\left( 1,57 \right)^{2}} \bullet 0,0006 \right)^{2}} = \sqrt{0,0052} = 0,072$$

$$u_{c}\left( g_{3} \right) = \sqrt{\left( \frac{- 8 \bullet \left( 3,14 \right)^{2} \bullet 0,522}{\left( 1,83 \right)^{3}} \bullet 0,0054 \right)^{2} + \left( \frac{4 \bullet \left( 3,14 \right)^{2}}{\left( 1,83 \right)^{2}} \bullet 0,0006 \right)^{2}} = \sqrt{0,0055} = 0,074$$

$$u_{c}\left( g_{4} \right) = \sqrt{\left( \frac{- 8 \bullet \left( 3,14 \right)^{2} \bullet 0,773}{\left( 1,78 \right)^{3}} \bullet 0,0054 \right)^{2} + \left( \frac{4 \bullet \left( 3,14 \right)^{2}}{\left( 1,78 \right)^{2}} \bullet 0,0006 \right)^{2}} = \sqrt{0,041} = 0,064$$

Obliczenie niepewności wyznaczenia dekrementu

$$u\left( D \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{10}{(D - \overset{\overline{}}{D})}}{10 \bullet 9}}$$

$$u\left( D \right) = \sqrt{\frac{\begin{matrix} \left( 0,157 - 0,124 \right)^{2} + \left( 0,199 - 0,124 \right)^{2} + \left( 0,174 - 0,124 \right)^{2} + \left( 0,097 - 0,124 \right)^{2} + \left( 0,104 - 0,124 \right)^{2} + \left( 0,12 - 0,124 \right)^{2} \\ \left( 0,107 - 0,124 \right)^{2} + \left( 0,089 - 0,124 \right)^{2} + \left( 0,174 - 0,124 \right)^{2} + \left( 0,076 - 0,124 \right)^{2} + \left( 0,083 - 0,124 \right)^{2} \\ \\ \end{matrix}}{90}} = \sqrt{\frac{0,0183}{90} =}\sqrt{0,0002} = 0,014$$

Obliczenie wielkości b:

$$t_{sr} = \frac{37,41 + 37,9 + 37,63}{3} = 37,64$$

$$T = \frac{t_{sr}}{10} = \frac{37,64}{10} = 3,764$$

$$b = \frac{2mD_{sr}}{T_{sr}}$$

$$b = \frac{2 \bullet 0,2685 \bullet 0,124}{3,764} = 0,017$$

Obliczenie niepewności u(b)

$$u_{B}\left( T \right) = \sqrt{\frac{\left( \frac{_{d}t}{10} \right)^{2} + \left( \frac{_{e}t}{10} \right)^{2}}{3}}$$

$$u_{B}\left( T \right) = \sqrt{\frac{\left( \frac{0,2}{10} \right)^{2} + \left( \frac{0,2}{10} \right)^{2}}{3}} = \sqrt{0,00026} = 0,016$$

$$u_{c}\left( b \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{1}\left\lbrack \frac{\partial b}{\partial T}u\left( T \right) \right\rbrack^{2} + \sum_{i = 1}^{1}\left\lbrack \frac{\partial b}{\partial D}u\left( D \right) \right\rbrack^{2} + \sum_{i = 1}^{1}\left\lbrack \frac{\partial b}{\partial m}u\left( m \right) \right\rbrack^{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sqrt{\left( \frac{- 2mD}{T^{2}}u(T) \right)^{2} + \left( \frac{2m}{T}u(D) \right)^{2} + \left( \frac{2D}{T}u(m) \right)^{2}}$$

$$u_{c}\left( b \right) = \sqrt{\left( \frac{- 2 \bullet 0,2685 \bullet 0,124}{14,167696}0,016 \right)^{2} + \left( \frac{2 \bullet 0,2685}{3,764}0,014 \right)^{2} + \left( \frac{2 \bullet 0,124}{3,764}0,289 \right)} = \sqrt{0,000366} = 0,0191$$

Obliczenie wielkości β

$$\beta = \frac{D_{sr}}{T_{sr}}$$

$$\beta = \frac{0,124}{3,764} = 0,0329$$

Obliczenie niepewności u(β)

$$u_{c}\left( \beta \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{1}\left\lbrack \frac{\partial\beta}{\partial T}u\left( T \right) \right\rbrack^{2} + \sum_{i = 1}^{1}\left\lbrack \frac{\partial\beta}{\partial D}u\left( D \right) \right\rbrack^{2} =}\sqrt{\left( \frac{- D}{T^{2}}u(T) \right)^{2} + \left( \frac{1}{T}u(D) \right)^{2}}$$

$$u_{c}\left( \beta \right) = \sqrt{\left( \frac{- 0,124}{14,167696} \bullet 0,016 \right)^{2} + \left( \frac{1}{3,764} \bullet 0,014 \right)^{2}} = \sqrt{0,00001385} = 0,0037$$

4.Wnioski

Celem tego ćwiczenia było zbadanie i wyznaczenie dwóch parametrów składających się na drgania wahadła matematycznego i fizycznego, przyspieszenia ziemskiego i logarytmicznego dekrementu tłumienia.

W pierwszej części ćwiczenia wprawialiśmy w drgania kolejno 4 kulki z 2 różnych materiałów zawieszone na różnej długości nitkach i mierzyliśmy czas 30 pełnych wahnięć. Wyniki: dla kulek metalowych: 8,991m/s² i 9,504 m/s², dla kulek drewnianych:9,741 m/s² i 10,597 m/s². Obliczona średnia wartość wyniosła 9,708 m/s², co przyrównując do wartości tabelarycznej 9,81 m/s² wskazuje na dość niewielkie niedokładności w pomiarach.

Druga cześć ćwiczenia polegała na wprawieniu w ruch drgający wahadła fizycznego, celem zaobserwowania zmian w kolejnych wychyleniach, które to były coraz mniejsze. Pomiary posłużyły nam do wyznaczenia logarytmicznego dekrementu tłumienia, równego co do wartości logarytmowi naturalnemu ze stosunku długości kolejnych dwóch wahnięć i wyniósł 0,124. Następnie wyznaczyliśmy współczynnik tłumienia β oraz współczynnik b, które wyniosły kolejno 0,017 i 0,0329.