WYKRES 1 Energia całkowita jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy.

Doświadczenie

Wyznaczanie Przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego.

 Wobec tego, że punkt ten znajduje się w polu grawitacyjnym Ziemi działa na niego siła

FF= m * g

*g

gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim.

   Rozłóżmy siłę F na dwie składowe: siłę F₁- działająca w kierunku ruchu, a więc stycznie do nakreślonego okręgu, powodującą badany ruch drgający, oraz siłę F₂ w kierunku nici.

Składowa F₂ nie wpływa na ruch.

Interesującą nas siłę F₁ łatwo wyznaczymy z trójkąta.

Przy niewielkich katach możemy, jak wiadomo, zamiast sinusa kąta wziąć jego miarę łukową. Biorąc pod uwagę wycinek okręgu łatwo znajdziemy, że:

gdzie l jest długością wahadła. Ponieważ długość łuku niewiele różni się od wychylenia x otrzymamy zatem dla małych kątów , czyli dla małych wychyleń:

F

Podstawiając do wzoru na F₁ i pamiętając, że F= m * g otrzymamy:

Z wzoru tego widać jasno, że siła powodująca ruch wahadła jest siłą wprost proporcjonalną do wychylenia i zwróconą ku środkowi drgań, z czego wynika, że ruch wahadła dla małych wychyleń można uważać za harmoniczny.

Porównując siłę F₁ z ogólna postacią siły w ruchu harmonicznym możemy wyprowadzić wzór na okres wahań wahadła matematycznego.

Patrząc na wzór nasuwają się następujące wnioski:

1. We wzorze tym nie występuje kąt wychylenia α, zatem okres wahań nie zależy od kąta wychylenia wahadła (jednak wychylenia nie mogą być zbyt wielkie bo takie przyjęliśmy założenia).

2. We wzorze nie występuje masa wahadła, zatem okres wahań wahadła matematycznego nie zależy od jego masy.

3. Okres wahań wahadła jest proporcjonalny do pierwiastka kwadratowego z długości wahadła. Oznacza to, że wahadło 4 razy dłuższe ma okres wahań tylko dwukrotnie dłuższy.

4. Okres wahań wahadła jest odwrotnie proporcjonalny do pierwiastka kwadratowego z przyśpieszenia ziemskiego. Oznacza to, że w miejscowościach na Ziemi bliższych jej biegunów, gdzie przyśpieszenie ziemskie jest nieco większe, okres wahań wahadła powinien być nieco krótszy, a bliżej równika, gdzie przyśpieszenie ziemskie jest nieco mniejsze, okres wahań wahadła powinien być nieco dłuższy.

Dla małych drgań okres drgań

jest niezależny od amplitudy, co nazywamy izochronizmem drgań. Tę właściwość wahadła odkrył włoski fizyk i astronom Galileusz, obserwując wahania żyrandola w katedrze.

Tematem naszego doświadczenia jest wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego, zatem ze wzoru na okres drgań tego wahadła możemy wyznaczyć wzór na przyspieszenie ziemskie:

/²

/*g

/: T²

1. CEL DOŚWIADCZENIA

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego

1. ZESTAW DOŚWIADCZALNY:

• Wahadło matematyczne (ciężarek, nić)

• statyw

• stoper

• miarka

1. KOLEJNOŚĆ CZYNNOŚCI:

• zawieszamy ciężarek na sznurku

• mocujemy sznurek do statywu

• mierzymy długość wahadła od punktu mocowania do środka ciężarka na końcu wahadła

• odchylamy wahadło o niewielki kąt

• mierzymy czas 10 wahnięć

• Pomiar powtarzamy 3 razy

• zmieniamy długość wahadła raz i powtarzamy pomiary

• wyniki pomiarów zamieszczamy w tabeli

1. TABELA POMIARÓW

Tabela 1.

Lp.	Długość wahadła L wyrażona w [cm]	Czas 10 wahnięć T10	Czas jednego wahnięcia T	Przyspieszenie ziemskie $$\mathbf{g =}\frac{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*l}}{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}$$
1.	90,5	19	1,9	9,89
2.	91	19,1	1,91	9,86
3.	90,6	19,2	1,92	9,71
	Lśr = 90,7		Tśr = 1,91	gśr = 9,86

Tabela 2.

Lp.	Długość wahadła L wyrażona w [cm]	Czas 10 wahnięć T10	Czas jednego wahnięcia T	Przyspieszenie ziemskie $$\mathbf{g =}\frac{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*l}}{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}$$
1.	75	17,4	1,74	9,78
2.	74,6	17,3	1,73	9,84
3.	75,2	17,5	1,75	9,79
	Lśr = 74,93		Tśr = 1,74	gśr = 9,80

1. DYSKUSJA BŁĘDÓW

• OBLICZENIA DLA PIERWSZEJ TABELI POMIAROWEJ:

$$< L > \frac{1}{n}\text{Σ\ }Li = \frac{90,5 + 91 + 90,6}{3} = \frac{272,1}{3} = 90,7$$

$S_{x}^{2} = \frac{1}{n - 1}\ \Sigma\ (Li - {< L > )}^{2} = \ \frac{{0,5}^{2} + 0^{2} + {0,6}^{2}}{2} = \ \frac{0,61}{2} =$ 0,305

$$s_{< x > \ }^{2} = \frac{1}{n}\text{\ S}x^{2} = \frac{0,305}{3} = 0,101$$

S_<x>² = 0, 102

<L >   = 91 ∓ 0, 102

$$< T > \ = \ \frac{1,9 + 1,91 + 1,92}{3} = \frac{5,73}{3} = 1,91$$

$$S_{T}^{2} = \frac{1}{3 - 1} = \left( {0,02}^{2} + {0,01}^{2} + 0^{2} \right) = \frac{0,0005}{2} = 0,00025$$

$$S_{< T >}^{2} = \frac{1}{3}\ S_{t}^{2} = \frac{0,00025}{3} = 0,0000833$$

$$S_{< T >} = \sqrt{0,0000833} = 0,00912$$

$$q = 4\pi^{2}\frac{< L >}{{< T >}^{2}} = {4*(3,141)}^{2}\frac{91}{{1,91}^{2}} = 39,47\frac{91}{3,64} = 39,47*25 = 986\left\lbrack \frac{\text{cm}}{s^{2}} \right\rbrack = 9,86\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

$S_{q} = \frac{4\pi^{2}}{< T >^{2}}\ s_{< L >} + \frac{8\pi^{2} < L >}{< T >^{3}}\ S_{< T >} = \frac{4*9,86}{3,64}*0,102 + \frac{8\ *\ 9,86 + \ 91}{6,967}*0,00912 = 1,327(5)\ \ $

q = 9, 86∓ 1,327

• Analiza błędu:

Otrzymany wynik mieści się w granicy błędu, jednakże do otrzymanego błędu mogło się przyczynić:

• niedokładność przyrządu pomiarowego przy pomiarze długości wahadła

• niedokładność pomiaru czasu 10 wahnięć wahadła

• Porównanie otrzymanego wyniku z wartością tablicową

Z tablic fizycznych odczytałem, że przyspieszenie standardowe siły ciężkości g wynosi 9,81 m/s². Ja uzyskałam wynik 9,86 m/s².

• OBLICZENIA DLA DRUGIEJ TABELI POMIAROWEJ:

$$< L > \frac{1}{n}\text{Σ\ }Li = \frac{75 + 74,6 + 75,2}{3} = \frac{224,8}{3} = 74,93$$

$S_{x}^{2} = \frac{1}{n - 1}\ \Sigma\ (Li - {< L > )}^{2} = \ \frac{{0,2}^{2} + {0,6}^{2} + 0^{2}}{2} = \ \frac{0,4}{2} =$ 0,2

$$s_{< x > \ }^{2} = \frac{1}{n}\text{\ S}x^{2} = \frac{0,2}{3} = 0,066$$

S_<x>² = 0, 00435

<L >   = 75, 2 ∓ 0, 00435

$$< T > \ = \ \frac{1,74 + 1,73 + 1,75}{3} = \frac{5,22}{3} = 1,74$$

$$S_{T}^{2} = \frac{1}{3 - 1} = \left( {0,01}^{2} + {0,02}^{2} + 0^{2} \right) = \frac{0,0005}{2} = 0,00025$$

$$S_{< T >}^{2} = \frac{1}{3}\ S_{t}^{2} = \frac{0,0005}{3} = 0,000166$$

$$S_{< T >} = \sqrt{0,000166} = 0,01228$$

$$q = 4\pi^{2}\frac{< L >}{{< T >}^{2}} = {4*(3,141)}^{2}\frac{75,2}{1,74} = 39,47\frac{75,2}{3,0276} = 20,66*24,83 = 980\left\lbrack \frac{\text{cm}}{s^{2}} \right\rbrack = 9,8\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

$S_{q} = \frac{4\pi^{2}}{< T >^{2}}\ s_{< L >} + \frac{8\pi^{2} < L >}{< T >^{3}}\ S_{< T >} = \frac{4*9,86}{3,0276}*0,00435 + \frac{8\ *\ 9,86 + \ 75,2}{5,268}*0,000166 = 1,327(5)\ \ $

q = 9, 80∓ 0,0615

• Analiza błędu:

Otrzymany wynik mieści się w granicy błędu, jednakże do otrzymanego błędu mogło się przyczynić:

• niedokładność przyrządu pomiarowego przy pomiarze długości wahadła

• niedokładność pomiaru czasu 10 wahnięć wahadła

• Porównanie otrzymanego wyniku z wartością tablicową

Z tablic fizycznych odczytałem, że przyspieszenie standardowe siły ciężkości g wynosi 9,81 m/s². Ja uzyskałam wynik 9,86 m/s².