LABORATORIUM

METODY NUMERYCZNE

Miejsca zerowe - metoda siecznych

Prowadzący: dr inż. Tomasz Kozłowski

Karolina Żegiestowska

187230

Wstęp teoretyczny

W metodzie tej pochodna funkcji f występująca w metodzie Newtona zastępuje sie ilorazem różnicowym postaci:

$$f^{'}\left( x_{n} \right) = \frac{f\left( x_{n} \right) - f\left( x_{n - 1} \right)}{x_{n} - x_{n - 1}}$$

Wynika z tego następujący wzór rekurencyjny:

$x_{n + 1} = x_{n} - f\left( x_{n} \right)\frac{x_{n} - x_{n - 1}}{f\left( x_{n} \right) - f\left( x_{n - 1} \right)}$ n ≥ 1

Jak widać z powyższego wzoru metoda ta potrzebuje dwóch punktów początkowych. Jest ona wolniejsza od metody Newtona, ale za to zawsze sie zbiega.

Przykład obliczeniowy

i	0	1
pi	−1	3
f(pi)	0,93	8, 38

Obliczam drugie przybliżenie miejsca zerowego:

$$p_{2} = p_{1} - \frac{f\left( p_{1} \right)\left( p_{1} - p_{0} \right)}{f\left( p_{1} \right) - f\left( p_{0} \right)} = - 1,498$$

Obliczam trzecie przybliżenie miejsca zerowego:

$$p_{3} = p_{2} - \frac{f\left( p_{2} \right)\left( p_{2} - p_{1} \right)}{f\left( p_{2} \right) - f\left( p_{1} \right)} = - 2,992$$

Kolejne przybliżenia wykonano analogicznie:

i	0	1	2	3	4
pi	-1	3	-1,498	-2,992	-0,998
f(pi)	0,93	8,38	2,09	8,338	0,928

Kod źródłowy

clc; clear all; close all; format short

%% Dane

x0=-1; x1=3; delta=0.001; tol=0.0001; max1=30;

xi=linspace(-1,3,1000);

f=inline('x.^2-4*x.*sin(x)+4*sin(x).*sin(x)');

yi=f(xi);

%% Metoda siecznych

[P, it] = sieczne(f, x0, x1, delta, tol, max1);

disp(sprintf('Kolejne przybliżenia {pk}'))

P

disp(sprintf('Ilość iteracji'))

it

%% Rysownie wykresu

yp=f(P);

plot(xi,yi,'k',P,yp,'or')

legend('funkcja','przybliżenia miejsca zerowego')

grid on

function [P, it] = sieczne(f, x0, x1, delta, tol, max1)

% INPUT

% f - iterowana funkcja

% x0 - pierwszy punkt startowy

% x1 - drugi punkt startowy

% delta - dokładnosc wyznaczenia miejsca zerowego

% tol - dokladnosc iteracji wartości funkcji

% max1 - maksymalna liczba iteracji

% OUTPUT

% P - wektor kolejnych wartości punktow {pk}

% it - wartosc funkcji g(x) w kolejnych przyblizeniach

r=1; it=0; zero=1;

P(1)=x0;P(2)=x1;

while zero>tol

it=it+1;

x2=x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0));

r=abs(x2-x1);

zero=abs(f(x2));

x0=x1;

x1=x2;

P(it+2)=x2;

if r<tol

break

elseif it==max1

disp('przekroczono maksymalna ilosc iteracji')

break

end

end

P=P';

Kolejne przybliżenia {pk}

P =

-1.0000

3.0000

-1.2696

-1.5206

-1.8331

-1.8470

-1.8692

-1.8788

-1.8854

-1.8892

-1.8917

Ilość iteracji

it =

9

Wyniki obliczeń