Karolina Mazurkiewicz nr 2

Nr albumu: 211217

Laboratorium podstaw fizyki

Ćwiczenie nr 8

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA

1.Cel ćwiczenia

Badanie ruchu ciał spadających w cieczy, wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa.

Dla ruchu małej kulki o promieniu r, spadającej swobodnie w cieczy lepkiej. Na kulkę działają siły:

• Ciężar kulki

• Siła wyporu Archimedesa

• Siła oporu wynikająca z ruchu

Przy czym: - objętość kulki, ρ_k - gęstość materiału kulki, ρ_c - gęstość cieczy.

Siła wypadkowa F, działająca na ciało wynosi F=P+W+F_t

2. Zestaw przyrządów:

• Naczynie cylindryczne z badaną cieczą

• Areometr

• Zestaw kulek

• Waga

• Śruba mikrometryczna

• Linijka z podziałką milimetrową

• Stoper

3. Tabele pomiarowe:

Pomiar współczynnika lepkości cieczy za pomocą szklanego naczynia cylindrycznego

H	ΔH	h	Δh	d	Δd	ρc	Δρc
[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[g/cm^3]	[g/cm^3]
46,1	0,6	32,6	0,6	750	0,01	1,25	0,006

KULKA NR 1
lp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

KULKA NR 1
lp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

KULKA NR 2
lp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

KULKA NR 2
lp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

	η	Δη	ηśr	Δηśr	Δηśr/η
	[Ns/m^2]	[Ns/m^2]	[Ns/m^2]	[Ns/m^2]	[%]
KULKA NR 1	599,15	16,17	629,93	80,78	4,83
KULKA NR 2	660,7	6,3

4. Przykładowe obliczenia:

Niepewność wysokości słupa cieczy:

$$H = \frac{\text{δH}}{\sqrt{3}}$$

$$H = \frac{1}{\sqrt{3}} = 0,6\ mm$$

Niepewność odległości między pierścieniami:

$$h = \frac{\text{δh}}{\sqrt{3}}$$

$$h = \frac{1}{\sqrt{3}} = 0,6\ mm$$

Niepewność średnicy naczynia z cieczą:

$$d = \frac{\text{δd}}{\sqrt{3}}$$

$$d = \frac{0,01}{\sqrt{3}} = 0,01mm$$

Niepewność gęstości cieczy:

$$\rho = \frac{\text{δρ}}{\sqrt{3}}$$

$$\rho = \frac{0,01}{\sqrt{3}} = 0,006\ g/\text{cm}^{2}$$

Niepewność średnicy kulki nr 1 obliczam w ten sposób:

$$s_{d_{sr}} = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{i = 1}^{n}\left( l_{i} - l_{sr} \right)^{2}}$$

$$s_{d_{sr}} = \sqrt{\frac{1}{90}\left\lbrack \left( 0,03 \right)^{2} + {3\left( 0,02 \right)}^{2} + 3\left( 0,01 \right)^{2} + \left( 0,04 \right)^{2} \right\rbrack}$$

$$s_{d_{sr}} = \sqrt{\frac{1}{90}\left\lbrack 0,36 + 0,32 + 0,18 + 0,12 + 0,01 \right\rbrack} = \sqrt{\frac{0,004}{90}} = 0,01mm$$

Dołączam niepewność przyrządu pomiarowego:

$$d = \sqrt{\left( s_{d_{sr}} \right)^{2} + \frac{1}{3}\left(_{\text{d.e.}} \right)^{2}}$$

$$d = \sqrt{\left( 0,01 \right)^{2} + \frac{1}{3}\left( 0,01 \right)^{2}} = \sqrt{0,00013} = 0,01\ mm$$

Wzór na objętość kulki nr 1:

$$V = \frac{4}{3}\pi r^{3} = \frac{4}{3}\pi \bullet \frac{d^{3}}{8} = \frac{1}{6}\pi d^{3}$$

Gęstość kulki:

$$\rho = \frac{m}{V} = 6\frac{m}{\pi d^{3}}$$

$$\rho = 6\frac{0,2902}{3,14 \bullet \left( 0,590 \right)^{3}} = 2,7\frac{g}{\text{cm}^{3}}$$

Niepewność gęstości kulki nr 1:

$$\rho = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n}{\left( \frac{\partial f}{{\partial x}_{isr}} \right)^{2}\left( x_{i} \right)^{2}}}$$

$$\rho = \sqrt{\left( \frac{6}{\pi d^{3}} \right)^{2}\left( m \right)^{2} + \left( - 3\frac{6m}{\pi d^{4}} \right)^{2}\left( d \right)^{2}}$$

$$\rho = \sqrt{\left( \frac{6}{3,14 \bullet \left( 0,59 \right)^{3}} \right)^{2}\left( 0,001 \right)^{2} + \left( - \frac{18 \bullet 0,2902}{{3,14 \bullet \left( 0,59 \right)}^{4}} \right)^{2} \bullet \left( 0,01 \right)^{2}}$$

$$\rho = \sqrt{86,53 \bullet 0,000001 + 188,66 \bullet 0,0001} = 0,0012\frac{g}{\text{cm}^{3}}$$

ρ = (2, 70 ± 0, 002) g/cm³

Niepewność czasu t spadania kulki nr 1 na określoną wysokość h obliczam w ten sposób:

$$s_{t_{sr}} = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{i = 1}^{n}\left( l_{i} - l_{sr} \right)^{2}}$$

$$s_{t_{sr}} = \sqrt{\frac{1}{90}\left\lbrack 3\left( 0,14 \right)^{2} + \left( 0,15 \right)^{2} + \left( 0,04 \right)^{2} + \left( 0,46 \right)^{2} + \left( 0,07 \right)^{2} + \left( 0,08 \right)^{2} + \left( 0,12 \right)^{2} + \left( 0,18 \right)^{2} \right\rbrack}$$

$$t_{d_{sr}} = \sqrt{\frac{1}{90}\left\lbrack 0,059 + 0,0225 + 0,0016 + 0,2116 + 0,0049 + 0,0064 + 0,0144 + 0,0324 \right\rbrack}$$

$$t_{d_{sr}} = \sqrt{\frac{0,3528}{90}} = 0,063\ s$$

Niepewność przyrządu pomiarowego

$$t = \sqrt{\left( s_{t_{sr}} \right)^{2} + \frac{1}{3}\left(_{\text{d.e.}} \right)^{2}}$$

$$t = \sqrt{\left( 0,063 \right)^{2} + \frac{1}{3}\left( 0,01 \right)^{2}} = \sqrt{0,003969 + 0,00003} = 0,063\ s$$

Ostatecznie:

t = (9,54±0,07)s

Współczynnik lepkości cieczy na podstawie danych kulki nr 1 obliczyłam ze wzoru:

$$\eta = \frac{2\frac{d^{2}}{4}g\left( \rho_{k} - \rho_{c} \right)}{9v_{g}}$$

$$\eta = \frac{2\frac{{(0,0059)}^{2}}{4} \bullet 9,81 \bullet \left( 2700000 - 1250000 \right)}{9(\frac{0,326}{5,91})} = \frac{247,577}{0,496} = 599,15\frac{\text{Ns}}{m^{2}}$$

Niepewność współczynnika lepkości cieczy obliczam w ten sposób:

$$\eta = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n}{\left( \frac{\partial f}{{\partial x}_{isr}} \right)^{2}\left( x_{i} \right)^{2}}}$$

$$\eta = \sqrt{\left( \frac{\text{dgt}\left( \rho_{k} - \rho_{c} \right)}{9h} \right)^{2}\left( d \right)^{2} + \left( \frac{2\frac{d^{2}}{4}g\left( \rho_{k} - \rho_{c} \right)}{9h} \right)^{2}\left( t \right)^{2}{+ \left( - \frac{2\frac{d^{2}}{4}\text{gt}\left( \rho_{k} - \rho_{c} \right)}{9\left( h \right)^{2}} \right)}^{2}\left( h \right)^{2} + \left( \frac{2\frac{d^{2}}{4}\text{gt}}{9h} \right)^{2}\left( \rho_{c} \right)^{2} + \left( \frac{2\frac{d^{2}}{4}\text{gt}}{9h} \right)^{2}\left( \rho_{k} \right)^{2}}$$

$$\eta = \sqrt{261,5} = 16,17\frac{\text{Ns}}{m^{2}}$$

Współczynnik lepkości cieczy na podstawie danych kulki nr 2 obliczam:

$$\eta = \frac{2}{9} \bullet \frac{\left( \rho_{k} - \rho_{c} \right)r^{2}\text{gt}}{h\left( 1 + 2,4\frac{r}{R} \right)\left( 1 + 3,1\frac{r}{H} \right)} = \frac{2}{9} \bullet \frac{\left( \rho_{k} - \rho_{c} \right)\left( \frac{d}{2} \right)^{2}\text{gt}}{h\left( 1 + 2,4\frac{d}{D} \right)\left( 1 + 3,1\frac{d}{2H} \right)}$$

$$\eta = \frac{2}{9} \bullet \frac{\left( 2600000 - 1250000 \right)\left( \frac{0,00802}{2} \right)^{2} \bullet 9,81 \bullet 5,91}{0,326\left( 1 + 2,4\frac{0,00802}{0,0750} \right)\left( 1 + 3,1\frac{0,00802}{2 \bullet 0,461} \right)}$$

$$\eta = \frac{2}{9} \bullet \frac{1258,57}{0,326\left( 1,26 \right)\left( 1,03 \right)} = \frac{2517,14}{3,81} = 660,7\ \frac{\text{Ns}}{m^{2}}$$

Niepewność współczynnika lepkości cieczy obliczam w ten sposób:

$$\eta = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n}{\left( \frac{\partial f}{{\partial x}_{isr}} \right)^{2}\left( x_{i} \right)^{2}}}$$

$$\eta = \sqrt{\begin{matrix} \left( - \frac{2}{9} \bullet \frac{\left( \rho_{k} - \rho_{c} \right)\left( \frac{d}{2} \right)^{2}\text{gt}}{h^{2}\left( 1 + 2,4\frac{d}{D} \right)\left( 1 + 3,1\frac{d}{2H} \right)} \right)^{2}\left( h \right)^{2} + \left( \frac{2}{9} \bullet \frac{\left( \rho_{k} - \rho_{c} \right)\left( \frac{d}{2} \right)^{2}g}{h\left( 1 + 2,4\frac{d}{D} \right)\left( 1 + 3,1\frac{d}{2H} \right)} \right)^{2}\left( t \right)^{2} + \left( \frac{2}{9} \bullet \frac{\left( \rho_{k} - \rho_{c} \right)\text{gt}\left\lbrack 2d\left( 1 + 2,4\frac{d}{D} \right)\left( 1 + 3,1\frac{d}{2H} \right) - d^{2}\left( \frac{2,4}{D}\left( 1 + 3,1\frac{d}{2H} \right) + \frac{3,1}{2H}\left( 1 + 2,4\frac{d}{D} \right) \right) \right\rbrack}{4h\left( 1 + 2,4\frac{d}{D} \right)^{2}\left( 1 + 3,1\frac{d}{2H} \right)^{2}} \right)^{2}\left( d \right)^{2} \\ + \left( \frac{2}{9} \bullet \frac{\left( \frac{d}{2} \right)^{2}\text{gt}}{h\left( 1 + 2,4\frac{d}{D} \right)\left( 1 + 3,1\frac{d}{2H} \right)} \right)^{2}\left( \rho_{c} \right)^{2} + \\ \left( - \frac{2}{9} \bullet \frac{\left( \rho_{k} - \rho_{c} \right)\left( \frac{d}{2} \right)^{2}\text{gt}}{h\left( 1 + 2,4\frac{d}{D} \right)\left( 1 + 3,1\frac{d}{2H} \right)} \right)^{2}\left( \rho_{k} \right)^{2} \\ \end{matrix}} + \left( - \frac{2}{9} \bullet \frac{\left( \rho_{k} - \rho_{c} \right)\left( \frac{d}{2} \right)^{2}gt \bullet 3,1\frac{d}{{2H}^{2}}}{h\left( 1 + 2,4\frac{d}{D} \right)\left( 1 + 3,1\frac{d}{2H} \right)^{2}} \right)^{2}\left( H \right)^{2} + \left( - \frac{2}{9} \bullet \frac{\left( \rho_{k} - \bullet \rho_{c} \right)\left( \frac{d}{2} \right)^{2}gt \bullet 2,4\frac{d}{D^{2}}}{h\left( 1 + 2,4\frac{d}{D} \right)^{2}\left( 1 + 3,1\frac{d}{2H} \right)} \right)^{2}\left( D \right)^{2}$$

$$\eta = \sqrt{39} = 6,3\ \frac{\text{Ns}}{m^{2}}$$

Niepewność średniej wartości współczynnika lepkości wyznaczam w ten sposób:

$$\eta = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{i = 1}^{n}\left( l_{i} - l_{sr} \right)^{2}}$$

$$\Delta\eta = \sqrt{\frac{1}{2 \bullet 1}\left\lbrack \left( 599,15 - 629,93 \right)^{2} + \left( 660,7 - 629,93 \right)^{2} \right\rbrack}$$

$$\eta = \sqrt{\frac{1}{2}\left\lbrack \left( 30,78 \right)^{2} + \left( 30,07 \right)^{2} \right\rbrack}$$

$$\eta = 30,43\frac{\text{Ns}}{m^{2}}$$

947,41

Błąd względny:

$$\delta\eta = \frac{\eta}{\eta} \bullet 100\%$$

$$\delta\eta = \frac{30,43}{629,93} \bullet 100\% = 4,83\%$$