Obliczenie teoretycznej maksymalnej szerokości rys, zgodnie z normą PN-B-03264:2002

Do narysowania wykresu zależności szerokości rys od momentu zginającego posługiwano się wynikami uzyskanymi drogą wykonywanego doświadczenia.

Dla obliczeń doświadczalnych zestawiono w Tablicy 25. wyniki pomiaru szerokości rys, ich rozstaw, a także odpowiadające im wartości momentów. Pomiary te uśredniono w celu późniejszego zestawienia ich z wynikami obliczeń teoretycznych.

Lp.	0	1	2	3
Siła kN	0	11,5	20,6	29,4
Moment odpowiadający kN	0,00	6,90	12,36	17,64
Odległość między rysami (cm)	0	19,5	9,2	8,8
			25	8,7
			25,3	4,4
			9,2	12,2
				25
				19,5
				19
				12,7
Średni rozstaw rys (cm)		19,75	13,8375	9,694737
Rozwarcie rys (mm)	0	0,04	0,06	0,09
			0,03	0,07
				0,02
				0,06
				0,09
Średnie rozwarcie rys (mm)	0	0,035	0,06	0,0875

Dla obliczeń teoretycznych jako moment zginający traktowano iloczyn siły w danej chwili i wartości 0,6.

M_Sd = P • 0, 6

Moment rysujący

$$M_{\text{cr}} = f_{\text{ctm}} \bullet \frac{bh^{2}}{6} = 0,234 \bullet \frac{15 \bullet 25^{2}}{6} = 365,6\text{kNcm} = 3,65\ \text{kNm}$$

Gdzie:

- fctm to średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie;

- b i h - wymiary poprzecznego przekroju belki.

Następnie podstawiając kolejne momenty obliczano szerokość rys i umieszczono w Tablicy 26.

Obliczenie teoretycznej szerokości rys wykonano według następującego schematu:

Dane:

Wysokość przekroju poprzecznego belki h= 25,0 cm

Szerokość przekroju poprzecznego belki b= 15, cm

Użyteczna wysokość przekroju d= 22,2 cm

Grubość otuliny a= 2,8 cm

Moduł sprężystości stali Es= 200000 MPa

Pole przekroju zbrojenia wprowadzonego As_prov= 4,02 cm­­²

Wytrzymałość średnia betonu na rozciąganie fctm= 2,34 MPa

Średnia wartość siecznego modułu sprężystości betonu Ecm= 28957 MPa

Moment rysujący Mcr= 3,65 kNm

Moment zginający M_Sd= 36,00 kNm

1. Jako końcowy współczynnik pełzania przyjęto się ∅(∞;t₀)=0, ponieważ wiek belki jest równy wiekowi belki w momencie dziewiczego obciążenia

2. Ustalenie zasięgu strefy ściskanej

$$\rho = \frac{A_{s1}}{\text{bd}} = \frac{4,02}{15 \bullet 25} = 0,0107$$

$$\alpha_{e,t} = \frac{E_{s}}{E_{\text{cm}}}\left( 1 +_{\infty,\text{to}} \right) = \frac{200000}{28957}\left( 1 + 0 \right) = 7,83$$

$x_{||} = d \bullet \left\lbrack \sqrt{\rho \bullet \alpha_{e,t} \bullet \left( 2 + \rho \bullet \alpha_{e,t} \right)} - \rho \bullet \alpha_{e,t} \right\rbrack = 22,2 \bullet \left\lbrack \sqrt{0,0107 \bullet 7,83 \bullet \left( 2 + 0,0107 \bullet 7,83 \right)} - 0,0107 \bullet 7,83 \right\rbrack = 7,4248$

3. Obliczenie naprężenia

$$\sigma_{s} = \ \frac{M_{\text{Sd}}}{A_{s1} \bullet \left( d - \frac{x_{||}}{2} \right)}$$

4. Przyjęcie współczynników

β₁= 1 dla prętów żebrowanych

β₂= 1 przy obciążeniu krótkotrwałym

k₁=0,8 dla prętów żebrowanych

k₂=0,5 w przypadku trójkątnego rozkładu jak przy zginaniu lub mimośrodowym ściskaniu

5. Ustalenie pola efektywnego

$$A_{c,\text{eff}} = b \bullet \min\left\{ \begin{matrix} 2,5 \bullet a_{1} \\ \frac{h - x||}{3} \\ \end{matrix} \right.\ = 15 \bullet \min\left\{ \begin{matrix} 2,5 \bullet 2,8 = 7 \\ \frac{25 - 7,42}{3} = 5,85 \\ \end{matrix} = 15 \bullet 5,85 = 87,87\ \text{cm}^{2} \right.\ $$

6. Obliczenie stopnia zbrojenia

$$\rho_{r} = \ \frac{A_{s1}}{A_{\text{ct},\text{eff}}} = \frac{4,02}{87,87} = 0,0457$$

7. Obliczenie średniego rozstawu ry

s$s_{\text{rm}} = 50 + \frac{1}{4} \bullet k_{1} \bullet k_{2} \bullet \frac{}{\rho_{r}} = 50 + \frac{1}{4} \bullet 0,8 \bullet 0,5 \bullet \frac{16}{0,0457} = 84,97\text{mm}$

8. Obliczenie średniej szerokości rysy

$$w_{m} = s_{\text{rm}} \bullet \frac{\sigma_{s}}{E_{s}} \bullet \left( 1 - \beta_{1} \bullet \beta_{2} \bullet \left( \frac{M_{\text{cr}}}{M_{\text{Sd}}} \right)^{2} \right)$$

9. ustalenie obliczeniowej szerokości rys

w_k = w_m • β

Wyniki obliczeń teoretycznego rozwarcia rys
L.P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

Obliczenie teoretycznej maksymalnej szerokości rys, zgodnie z normą PN-EN-1992-1-1 (Eurokod 2)

Wzór na szerokość rys w_k:

w_k = S_r,max (ε_sm – ε_cm)

gdzie:

S_r,max maksymalny rozstaw rys,

ε_sm średnie odkształcenie zbrojenia (pod wpływem odpowiedniej kombinacji obciążeń) obliczonym z uwzględnieniem wpływu odkształceń wymuszonych oraz wpływu usztywnienia przy rozciąganiu; uwzględnia się tu tylko przyrost wydłużenia liczony od stanu, w którym odkształcenie betonu (na poziomie, dla którego oblicza się ε_sm) jest zerowe,

ε_cm jest średnim odkształceniem betonu między rysami.

Wartość (ε_sm – ε_cm) obliczono ze wzoru:

$$\varepsilon_{\text{sm}} - \varepsilon_{\text{cm}} = \frac{\sigma_{s} - k_{t}\frac{f_{\text{ct},\text{eff}}}{\rho_{p,\text{eff}}}(1 + \alpha_{e}\rho_{p,\text{eff}})}{E_{s}}\ \ ,\ \text{lecz}\ \text{nie}\ \text{mniej}\ \text{ni}z\ \ \ \ 0,6\frac{\sigma_{s}}{E_{s}}$$

gdzie:

σ_s naprężenie w zbrojeniu rozciąganym, obliczone przy założeniu, że przekrój jest zarysowany; w elementach sprężonych σ_s można zastąpić przyrostem naprężeń w cięgnach sprężających σ_p (przyrost liczony od stanu, w którym odkształcenie betonu na poziomie cięgien było zerowe),

α_e jest stosunkiem $\frac{E_{s}}{E_{\text{cm}}}$

k_t współczynnik zależny od czasu trwania obciążenia

Przyjęto k_t=0,6 dla obciążeń krótkotrwałych.

Efektywny stopień zbrojenia strefy rozciąganej:

$$\rho_{p,\text{eff}} = \frac{A_{s} + \xi_{1}^{2}A_{p}^{'}}{A_{c,eff}}$$

Ze względu na brak cięgien sprężających belki A_p^′ = 0.

Wobec powyższej informacji wzór przyjmuje postać:

$$\rho_{p,\text{eff}} = \frac{A_{s}}{A_{c,eff}}$$

gdzie:

A_s pole zbrojenia w strefie rozciąganej

A_c, eff efektywne pole betonu rozciąganego otaczającego zbrojenie lub cięgna sprężające; wysokość tego pola wynosi $h_{c,\text{ef}} = \min\lbrack 2,5\left( h - d \right);\frac{h - x}{3}\rbrack$.

Ze względu na to, że w strefie rozciąganej występuje zbrojenie mające przyczepność do betonu jest rozmieszczone w rozstawie nie większym od $5(c + \frac{\phi}{2})$ tj. $5\left( 20\text{mm} + \frac{16\text{mm}}{2} \right) = 140\text{mm}$, końcowy rozstaw rys obliczono ze wzoru :

$$S_{r,\max} = k_{3}c + k_{1}k_{2}k_{4}\frac{\phi}{\rho_{p,\text{eff}}}$$

gdzie:

ϕ średnica zbrojenia,

c grubość otulenia zbrojenia podłużnego,

k₁ współczynnik zależny od przyczepności zbrojenia,

przyjęto k₁ = 0, 8 dla prętów żebrowanych,

k₂ współczynnik zależny od rozkładu odkształceń,

przyjęto k₂ = 0, 5 przy zginaniu,

Według uwagi zawartej w normie przyjęto wartości k₃ = 3, 4 i k₄ = 0, 425,

Podstawiając do wzoru obliczono końcowy rozstaw rys.

$$S_{r,\max} = k_{3}c + k_{1}k_{2}k_{4}\frac{\phi}{\rho_{p,\text{eff}}}$$

Wysokość strefy ściskanej w fazie II obliczono wg danych zamieszczonych w „Podstawy projektowania konstrukcji żelbetowych i sprężonych wg Eurokodu 2” rozdział 11.2.2

Obliczenia:

$$\alpha_{e} = \frac{E_{s}}{E_{\text{cm}}} = \frac{227,0\text{GPa}}{28,959\text{GPa}} = 7,84$$

$$\alpha_{1} = \alpha_{e}\frac{A_{s1}}{b_{\text{eff}}d} = 7,84*\frac{4,02cm^{2}}{15,0\text{cm}*22,2\text{cm}} = 0,0946$$

$$\alpha_{2} = \alpha_{e}\frac{A_{s2}}{b_{\text{eff}}d} = 0$$

$$D = \frac{d_{2}}{d} = \frac{0\text{cm}}{22,2\text{cm}} = 0$$

A₁ = α₁ + α₂ = 0, 0946 + 0 = 0, 0946

A₂ = α₁ + Dα₂ = 0, 0946 + 0 = 0, 0946

$$\xi = \sqrt{A_{1}^{2} + 2A_{2}} - A_{1} = \sqrt{{0,0946}^{2} + 2*0,0946} - 0,0946 = 0,351$$

Obliczeniowa wysokość strefy ściskanej w fazie drugiej wynosi:

X_II = ξd = 0, 351 * 22, 2cm = 7, 792cm ≈ 7,79cm

Efektywny stopień zbrojenia strefy ściskanej wynosi:

$$\rho_{p,\text{eff}} = \frac{A_{s}}{A_{c,eff}} = \frac{4,02\text{cm}^{2}}{86,10\text{cm}^{2}} = 0,0467$$

$h_{c,\text{ef}} = \min\left\lbrack 2,5\left( h - d \right);\frac{h - x}{3} \right\rbrack = \min\left\lbrack 2,5\left( 25\text{cm} - 22,2\text{cm} \right);\frac{25\text{cm} - 7,79\text{cm}}{3} \right\rbrack = \min\left\lbrack 7\text{cm};5,74\text{cm} \right\rbrack = 5,74\text{cm}$.

A_c, eff = b * h_c, eff = 15, 0cm * 5, 74cm = 86, 10cm²

Maksymalny obliczeniowy rozstaw rys wynosi:

$$S_{r,\max} = k_{3}c + k_{1}k_{2}k_{4}\frac{\phi}{\rho_{p,\text{eff}}} = 3,4*20\text{mm} + 0,8*0,5*0,425*\frac{16\text{mm}}{0,0467} = 126,24\text{mm} = 12,6\text{cm}$$

Różnica odkształceń stali i betonu wynosi:

$$\varepsilon_{\text{sm}} - \varepsilon_{\text{cm}} = \frac{\sigma_{s} - k_{t}\frac{f_{\text{ct},\text{eff}}}{\rho_{p,\text{eff}}}(1 + \alpha_{e}*\rho_{p,\text{eff}})}{E_{s}} = \frac{\sigma_{s} - 0,6*\frac{2,34MPa}{0,0467}(1 + 7,84*0,0467)}{227000MPa} = \frac{\sigma_{s} - 41,07Mpa}{227000MPa}$$

$$\varepsilon_{\text{sm}} - \varepsilon_{\text{cm}} \geq 0,6\frac{\sigma_{s}}{E_{s}}$$

$$\varepsilon_{\text{sm}} - \varepsilon_{\text{cm}} \geq 0,6*\frac{\sigma_{s}}{227000MPa}$$

$$\sigma = \frac{M_{\text{Ed}}}{A_{s1}(d - x_{\text{II}})} = > \ \ \ \ \text{Warto}sc\ \text{zale}z\text{na}\ \text{od}\ \text{momentu},\ \text{dalsze}\ \text{obliczenia}\ \text{wykonane}\ w\ \text{Excelu}$$

L.P	siła kN	Moment Msd	moment rysujący Mcr	σs [kN/cm^2]	εsm-εsm	Sr,max[mm]	wk[mm]	Wynik doświadczalny	w lim (mm)
1	0,00	0	3,65625
2	1,90	1,14	3,65625
3	3,70	2,22	3,65625
4	5,80	3,48	3,65625
5	7,90	4,74	3,65625	6,014113	8,4007E-05	126,2461394	0,010605563		0,4
6	10,50	6,3	3,65625	7,993442	0,000171202	126,2461394	0,021613606	0,035	0,4
7	12,60	7,56	3,65625	9,59213	0,000241629	126,2461394	0,030504718		0,4
8	17,60	10,56	3,65625	13,39853	0,000409312	126,2461394	0,051674031		0,4
9	21,80	13,08	3,65625	16,59591	0,000550165	126,2461394	0,069456254	0,06	0,4
10	31,00	18,6	3,65625	23,59969	0,000858702	126,2461394	0,108407791	0,0875	0,4
11	40,00	24	3,65625	30,45121	0,001160531	126,2461394	0,146512555		0,4
12	48,50	29,1	3,65625	36,92209	0,001445592	126,2461394	0,182500387		0,4

Porównanie otrzymanych wyników

Zestawienie rozwarcia rys doświadczalnego i obliczeń teoretycznych
L.P	Siła kN
1	0,00
2	1,90
3	3,70
4	5,80
5	7,90
6	10,50
7	12,60
8	17,60
9	21,80
10	31,00
11	40,00
12	48,50