Laboratorium Podstaw Fizyki

Temat ćwiczenia: ĆWICZENIE NR 84. WYZNACZANIE DŁUGOŚCI FALI ŚWIETLNEJ ZA POMOCĄ SIATKI DYFRAKCYJNEJ

Imię i nazwisko :

Termin zajęć : 19.03.2014r.

Data oddania sprawozdania : 25.03.2014r.

Adnotacje dotyczące wymaganych poprawek oraz daty otrzymania poprawionego sprawozdania

Wstęp teoretyczny

Spójna wiązka światła przechodząc przez dwie jednakowe szczeliny ulega na nich ugięciu, dając po przejściu przez szczelinę dwie fale spójne interferujące ze sobą . W wyniku interferencji otrzymuje się na ekranie umieszczonym w pewnej odległości za szczelinami jasne i ciemne prążki interferencyjne . Zasadnicza różnica polega na tym , że zamiast dwóch znajduje się znacznie więcej jednakowych , równoległych szczelin . Z tego powodu przez siatke dyfrakcyjną przechodzi znacznie więcej światła niż w doświadczeniu Younga . Fale przechodzące przez szczeliny będą w fazie i będą się wzmacniać wszędzie tam , gdzie Δ = kλ ,przy czym k = 0,+1,-1,+2,-2,+3,-3: rząd widma , λ - długość fali świetlnej . Położenie maksimów dane jest przez d sin Θk = kλ . Jest to równanie siatki dyfrakcyjnej. Siatki dyfrakcyjne dzielą się na siatki transmisyjne i odbiciowe.

Siatki transmisyjne uzyskuje się przez nacinanie rys na szkle, co jest czynnością bardzo żmudną i kosztowną. Metoda ta daje od kilku do kilkuset linii na milimetrze długości. Metodą mniej kosztowną i wydajniejszą jest metoda holograficzna polegająca na bez soczewkowym fotografowaniu dwóch interferujących ze sobą spójnych, monochromatycznych fal świetlnych. Do utrwalania obrazu używa się specjalnych, drobnoziarnistych klisz fotograficznych (o dużej zdolności rozdzielczej). W ten sposób można uzyskać do 4000 linii na milimetrze długości.

W siatkach odbiciowych rysy nacinane są na wypolerowanej powierzchni metalu. Światło padające na taką siatkę na miejsca pomiędzy rysami jest odbijane, co daje identyczny efekt.

Siatki dyfrakcyjne można też dzielić na amplitudowe i fazowe.

Siatka amplitudowa jest to siatka z nieprzezroczystymi obszarami przedzielającymi periodyczne obszary przezroczyste, pełniące funkcje szczelin.

Siatka fazowa jest cała przezroczysta dla światłą, ale posiada periodyczne obszary zmieniające fazę fali świetlnej, co można uzyskać poprzez zmianę grubości przezroczystego ośrodka lub współczynnika załamania. Najczęściej spotykaną siatką fazową jest siatka sinusoidalne.

Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej

Wyniki pomiarów

Pierwszy pomiar
I rząd
II rząd
Drugi pomiar
I rząd
II rząd

Obliczenia i wzory ( pierwszy pomiar)

Średnia wartość odległości pozornego obrazu

$$x_{m} = \ \frac{x_{\text{ml}} + x_{\text{mp}}}{2}$$

$$x_{m} = \ \left| \frac{\partial x_{m}}{\partial l}l \right| + \left| \frac{\partial x_{m}}{\partial p}p \right| = \ \frac{1}{2}l + \ \frac{1}{2}p$$

• $x_{1} = \ \frac{0,071 + 0,071}{2} = 0,071\ \lbrack m\rbrack$

• $x_{2} = \ \frac{0,165 + 0,162}{2} = 0,1635\ \lbrack m\rbrack$

• $x_{1} = \ \frac{1}{2} \bullet 0,00001 + \ \frac{1}{2} \bullet 0,00001 = 0,00001$

• x₂ =  x₁ = 0, 00001

Sinus kąta ugięcia

$$\sin{\theta_{m} = \ \frac{x_{m}}{\sqrt{L^{2} + \ {x_{m}}^{2}}}}$$

$$sin\theta_{\text{m\ }} = \ \frac{L \bullet x_{m}}{\left( L^{2} + \ {x_{m}}^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}L + \ \frac{L^{2}}{{(L^{2} + \ {x_{m}}^{2})}^{\frac{3}{2}}}x_{m}$$

• $\sin\theta_{1} = \frac{0,071}{\sqrt{{0,252}^{2} + \ {0,071}^{2}}} = 0,27\ $

• sinθ₂ = 0, 54

• $sin\theta_{1} = \ \frac{0,252 \bullet 0,071}{{({0,252}^{2} + {0,071}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \bullet 0,00001 + \ \frac{{0,252}^{2}}{{({0,252}^{2} + {0,071}^{2)}}^{\frac{3}{2}}} \bullet 0,00001 = \ 4,56 \bullet 10^{- 5}\ $

• sinθ₂ = 3, 86 • 10⁻⁵

Obliczenia – drugi pomiar

Średnia wartość odległości

• x₁ = 0, 032 [m]

• x₂ = 0, 073 [m]

• x₁ =  x₂ = 0, 00001

• sinθ₁ = 0, 24

• sinθ₂ = 0, 49

• sinθ₁ =  3, 77 • 10⁻⁵

• sinθ₂ = 0, 12 

• Wartości średnie

$$\overset{\overline{}}{\sin\theta_{1}} = 0,255$$

$$\overset{\overline{}}{\sin\theta_{2}} = 0,515$$

$$\overset{\overline{}}{\sin\theta_{1}} = 4,165 \bullet 10^{- 5}$$

$$\overset{\overline{}}{\sin\theta_{2}} = 0,06$$

Wyznaczenie stałej siatki dyfrakcyjnej

$$d = \ \frac{\text{mλ}}{\overset{\overline{}}{\sin\theta_{m}}}$$

$$d_{1} = \ \frac{1 \bullet 577 \bullet 10^{- 9}}{0,255} = 2,26 \bullet 10^{- 6}$$

d₂ = 2, 24 • 10⁻⁶

$$d_{m} = \ \left| \frac{m \bullet \lambda}{\lambda} \right| + \ \left| \frac{m \bullet sin\theta}{\text{sinθ}} \right|$$

$$d_{1} = \ \left| \frac{1 \bullet 0}{577 \bullet 10^{- 9}} \right| + \left| \frac{1 \bullet 4,165 \bullet 10^{- 5}}{0,255} \right| = 1,63 \bullet 10^{- 4}$$

d₂ = 0, 23

$$\overset{\overline{}}{d} = 2,25 \bullet 10^{- 6}$$

$$\overset{\overline{}}{d} = 0,12$$

Wyznaczanie długości fali

Wyniki pomiarów

Pierwszy pomiar
I rząd
II rząd
Drugi pomiar
I rząd
II rząd

Obliczenia

sin₁ = 0, 20 

sin₂ = 0, 38

sin₁ = 4, 50 • 10⁻⁵

sin₂ = 4, 42 • 10⁻⁵

II pomiar

sin₁ = 0, 17

sin₂ = 0, 33

sin₁ = 8, 82 • 10⁻⁵

sin₂ =  8, 93 • 10⁻⁵

$$\overset{\overline{}}{\sin_{1}} = 0,185$$

$$\overset{\overline{}}{\sin_{2}} = 0,355$$

$$\overset{\overline{}}{\sin_{1}} = 6,66 \bullet 10^{- 5}$$

$$\overset{\overline{}}{\sin_{2}} = \ 6,675 \bullet 10^{- 5}$$

Wyznaczanie długości fali

$$\lambda = \frac{d \bullet x_{m}}{m}$$

λ₁ = 4, 5 • 10⁻⁷ [m]

λ₂ = 4, 27 • 10⁻⁷ [m]

λ₃ = 3, 825 • 10⁻⁷ [m]

λ₄ = 3, 7125 • 10⁻⁷ [m]

$$\overset{\overline{}}{\lambda_{1}} = 4,1625 \bullet 10^{- 7}\ \lbrack m\rbrack$$

$$\overset{\overline{}}{\lambda_{2}} = 3,99375 \bullet 10^{- 7}\ \lbrack m\rbrack$$

$$\overset{\overline{}}{\lambda} = 407,8 \bullet 10^{- 9}\ \lbrack m\rbrack$$

$$\lambda = \left| \frac{d}{d} \right| + \left| \frac{\sin_{m}}{\sin_{m}} \right|$$

λ =  

Wnioski

Wyznaczona stała siatki dyfrakcyjnej wynosi 2,25*10^-6. Jest to duży błąd ( prawdziwa wartość 500rys/mm). Błąd w pomiarach polegał na zbyt małej ilości pomiarów oraz złego ich odczytania.

Otrzymana długość fali wynosi 407,8 nm chociaż powinna wynieść 450nm. Z tego wynika, że został popełniony błąd przy końcowych dwóch pomiarach, polegający zapewne na złym zmierzeniu odległości od ekranu.