STATYSTYKA WYKŁAD

~ PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ~

1. Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej

1. Rozkład dwupunktowy

1. Wprowadzenie

2. Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu zero-jedynkowego

1. Rozkład dwumianowy

1. Wprowadzenie

2. Uwagi

3. Przykład

4. Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego

1. Rozkład Poissona

1. Wprowadzenie

2. Przykładowe wykresy

1. Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciągłej

1. Rozkład jednostajny

1. Wprowadzenie

2. Przykładowy wykres

1. Rozkład normalny

1. Wprowadzenie

2. Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu normalnego

3. Własności funkcji gęstości rozkładu normalnego

4. Przykłady wykresów rozkładu normalnego

5. Wnioski z przykładu

6. Przykład innego rozkładu

7. Rozkład normalny standaryzowany

8. Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego standaryzowanego

9. Obliczanie prawdopodobieństwa w rozkładzie normalnym standaryzowanym

10. Fragment tablicy rozkładu normalnego standaryzowanego

11. Przykłady prawdopodobieństwa z wykresami

12. Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym

13. Prawdopodobieństwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(μ ,  σ)

14. Przykład zastosowania

1. Rozkład chi-kwadrat

1. Wprowadzenie

2. Przykładowy wykres

1. Rozkład Studenta

1. Wprowadzenie

2. Przykładowy wykres

1. Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej

W teorii rachunku prawdopodobieństwa najczęściej rozpatrywanymi rozkładami zmiennej losowej skokowej są˛:

1. Rozkład dwupunktowy

1. wprowadzenie

• Mówimy, że zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie dwie wartości, oznaczone dalej umownie jako x₁ oraz x₂, z prawdopodobieństwami odpowiednio: P(X = x₁) = p P(X = x₂) = q przy czym p + q = 1.

• W przypadku szczególnym, gdy x₁ = 1, x₂ = 0, mówimy, że X ma rozkład

zero - jedynkowy z parametrem p.

• Parametr p nazywamy prawdopodobieństwem sukcesu.

• Gdy X ma rozkład zero-jedynkowy, wówczas:

E(X) = p D²(X) = pq

1. Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu

zero-jedynkowego

Na osi odciętych zaznaczone są˛ dwie realizacje zmiennej zero-jedynkowej, tj. 0 i 1, natomiast pionowe odcinki reprezentują prawdopodobieństwa wystąpienia tych realizacji,

tj. q = 1 - p oraz p.

1. Rozkład dwumianowy

1. Wprowadzenie

Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:

$\mathbf{\text{P\ }}\left( \mathbf{X = x} \right)\mathbf{= \ }\left( \frac{\mathbf{n}}{\mathbf{x}}\mathbf{\ } \right)\mathbf{p}^{\mathbf{x}}\mathbf{q}^{\mathbf{n - x}}$ dla x = 0,1,…..,n

gdzie:

• n ∈ N, p ∈ (0, 1), q = 1 - p

• p jest tzw. prawdopodobieństwem sukcesu,

• $\left( \frac{\mathbf{n}}{\mathbf{x}}\mathbf{\ } \right)\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{n!}}{\mathbf{x!}\left( \mathbf{\ n - x} \right)\mathbf{!}}\mathbf{\ }$jest symbolem Newtona (wykrzyknik oznacza silnię).

• W rozkładzie dwumianowym:

E(X) = np D²(X) = npq

1. Uwagi

• W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada się, że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegającym na wykonaniu ciągu tzw. doświadczeń Bernoulliego.

• Nazwa doświadczeń pochodzi od nazwiska trzeciego ze znanej rodziny matematyków – Jakuba Bernoulliego.

• Doświadczenia Bernoulliego to ciąg n identycznych doświadczeń losowych, spełniających trzy warunki:

1. Są dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia, nazywane odpowiednio sukcesem i porażka˛.

2. Prawdopodobieństwo sukcesu, oznaczane symbolem p, jest w każdym doświadczeniu stałe.

3. Doświadczenia są˛ niezależne, co oznacza, że wynik jednego do świadczenia nie ma wpływu na wyniki pozostałych doświadczeń.

1. Przykład

Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego

• Przypuśćmy, ˙ze pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe.

• Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości.

• Jakie jest prawdopodobieństwo, ˙ze w wybranej próbie pralek:

1. dokładnie dwie pralki są wybrakowane

2. co najwyżej dwie pralki mają wady

3. żadna pralka nie jest wadliwa

• Jaka jest oczekiwana liczba pralek wadliwych w losowej próbie 20 pralek?

Rozwiązanie.

• Zauważymy, ˙ze wybór pralek do kontroli jakości jest losowy i niezależny. Ponadto, prawdopodobieństwo wylosowania wadliwej pralki jest w każdym losowaniu takie samo, równe p = 0,05, natomiast liczba losowań wynosi n = 20.

• Opisany eksperyment spełnia warunki doświadczeń Bernoulliego, w których ”sukcesem” jest wylosowanie wadliwej pralki.

• Liczba wybrakowanych pralek (tj. liczba sukcesów) w próbie 20 sztuk jest zatem zmienna˛ losowa˛ (oznaczmy ja˛ przez X) o rozkładzie dwumianowym z parametrami n=20, p=0,05.

Ad.1. Prawdopodobieństwo, że dokładnie dwie pralki w wylosowanej próbie 20 sztuk są˛ wadliwe wynosi:

$$\text{P\ }\left( X = 2 \right) = \ \left( \frac{20}{2} \right)\left( 0,05 \right)^{2}\left( 0,95 \right)^{18} = \ \frac{20!}{2!18!}\left( 0,05 \right)^{2}\left( 0,95 \right)^{18}\ \approx 0,189$$

Ad.2. Prawdopodobieństwo, że co najwyżej dwie pralki w próbie 20 sztuk są˛ wadliwe wynosi:

$\text{P\ }\left( \ X \leq 2 \right) = P\ \left( \ X = 0 \right) + P\left( \ X = 1 \right) + P\left( \ X = 2 \right) = \ \left( \frac{20}{0} \right)\left( 0,05 \right)^{0}\left( 0,95 \right)^{20} + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( \frac{20}{1} \right)\left( 0,05 \right)^{01}\left( 0,95 \right)^{19} + \ \left( \frac{20}{2} \right)\left( 0,05 \right)^{2}\left( 0,95 \right)^{18}\ \approx 0,925$

Ad.3. Prawdopodobieństwo, że w próbie nie będzie wadliwych pralek, wynosi:

$$\text{P\ }\left( \ X = 0 \right) = \ \left( \frac{20}{0} \right)\left( 0,05 \right)^{0}\left( 0,95 \right)^{20}\ \approx 0,358$$

• Oczekiwana liczba wybrakowanych pralek w 20-elementowej próbie jest równa:

E(X) = np = 20 • 0,05 = 1

Uzyskany wynik można interpretować´ następująco. Średnia liczba wadliwych pralek przypadających na każdą˛ 20-elementowa˛ próbę˛ (tj. próbę˛, która˛ potencjalnie można wylosować wynosi 1.

1. Przykładowe wykresy funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego

Objaśnienia do wykresu – analogiczne, jak w przypadku wykresu rozkładu

3 . Rozkład Poissona

1. Wprowadzenie

• Mówimy, że zmienna X ma rozkład Poissona z parametrem λ> 0, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:

$$\text{P\ }\left( \ X = x \right) = \ \frac{\lambda^{x}}{x!}e^{- x}\ \ \ \ \ dla\ x = 0,1,2,\ldots\ldots$$

• Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu dwumianowego, tzn. jeśli w rozkładzie dwumianowym n -> ∞ 1 i jednocześnie p -> 0 w taki sposób, że np = const, to prawdopodobieństwo P(X = x) można wyznaczać z powyższego wzoru, przyjmując λ = |np.|

• W rozkładzie Poissona: E(X) = λ    , D²(X) = λ

1. Przykładowe wykresy

Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona

Wykresy funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego z parametrami n = 100, p = 0,01 i rozkładu Poissona z parametrem λ = np = 1

Uwaga: Na wykresie przedstawiono prawdopodobieństwa dla x = 0,1,…….,20, z pominięciem pozostałych możliwych realizacji x = 21,……, 100, ze względu na prawdopodobieństwa bliskie 0. Zauważymy, ˙ze prawdopodobieństwa wyznaczone z rozkładu Poissona w tym przypadku dobrze przybliżają˛ prawdopodobieństwa z

rozkładu dwumianowego.

1. Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciągłej

Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciągłej zaliczamy:

1. Rozkład jednostajny

1. Wprowadzenie

• Mówimy, że zmiennej losowa ciągła X ma rozkład jednostajny na przedziale [a, b], jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem

$$\text{f\ }\left( \text{\ x} \right) = \ \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{b - a}\ \ \ \ \ dla\ x \in \left\lbrack a,b \right\rbrack \\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ pozostalych\ x\ \\ \end{matrix} \right.\ $$

• W rozkładzie jednostajnym:

$$\text{E\ }\left( X \right) = \ \frac{b - a}{2}\ \ \ \ \ \ ,\ D^{2}\left( X \right) = \ \frac{1}{12}\left( b - a \right)^{2}$$

1. Przykładowy wykres

Przykładowy wykres funkcji gęstości rozkładu jednostajnego

1. Rozkład normalny

1. Wprowadzenie

• Mówimy, że zmienna losowa ciągła X ma rozkład normalny z parametrami μ i σ jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem:

$$\text{f\ }\left( X \right) = \ \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{- \ \frac{\left( \ x - \ \mu\ \right)^{2}}{{2\sigma}^{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ \ x\ \in R}$$

Gdzie μ i σ są˛ dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że μ ∈2 R i σ > 0.

• W rozkładzie normalnym: E(X) = μ D²(X) = σ²

• Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny, wówczas mówimy, że jest normalną zmienną, losową.

• Jej rozkład oznaczamy w skrócie symbolem N (μ ,σ).

1. Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu normalnego

1. Własności funkcji gęstości rozkładu normalnego

• Funkcja gęstości przyjmuje zawsze wartości nieujemne, a całkowite pole pod krzywa˛ gęstości jest równe 1 (są˛ to własności funkcji gęstości dowolnej zmiennej ciągłej).

• Wartość E(X) = μ określa wartość´ przeciętna˛ zmiennej X.

• Krzywa gęstości normalnej zmiennej losowej X jest symetryczna względem prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt x = μ. Z tego wynika, że pola pod krzywa˛ gęstości na lewo i na prawo od punktu μ sa˛ równe $\frac{1}{2}$

• Interpretację ostatniej własności oprzemy na przykładzie.

Załóżmy, ˙ze iloraz inteligencji w populacji dorosłej części ludzkości ma rozkład zbliżony do normalnego ze średnia˛ _ = 100. Z tego wynika, ze połowa ludzkości jest mądrzejsza od osoby przeciętnie mądrej (czego nie można powiedzieć o drugiej połowie).

1. Przykłady wykresów rozkładu normalnego

1. Załóżmy, że na koniec każdego miesiąca obserwujemy stopę˛ zwrotu z akcji XYZ. Na podstawie 12 danych zebranych w ciągu roku rysujemy histogram rozkładu.

1. Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych. Krzywa reprezentuje tu funkcję gęstości rozkładu normalnego z wartościami parametrów μ i σ równymi odpowiednio ´średniej i odchyleniu standardowemu stóp zwrotu w badanym zbiorze. Dopasowanie krzywej rozkładu normalnego jest bardzo słabe.

1. Gdyby obserwacje˛ stóp zwrotu prowadzić´ np. w połowie każdego miesiąca, wówczas zebrane wyniki byłyby inne. Poniżej przykładowy histogram.

1. Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych. Dopasowanie krzywej rozkładu normalnego nadal słabe.

1. Przypuśćmy teraz, że obserwacji stóp zwrotu dokonujemy z większą częstotliwością np. w wybranym dniu każdego tygodnia. Otrzymamy większa˛ liczbę˛ danych. Poniżej przykładowy histogram dla kilkudziesięciu obserwacji.

1. Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych. Dopasowanie krzywej rozkładu normalnego nieco lepsze.

1. Jeśli obserwacje przeprowadzać będziemy w innym dniu tygodnia, wówczas uzyskamy inny zbiór danych. Poniżej – przykładowy histogram.

1. Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych oraz krzywa gęstości rozkładu normalnego.

1. Prowadzać obserwacje˛ z bardzo duża˛ częstotliwością˛, np. kilka razy dziennie przez cały rok, zbierzemy kilkaset lub nawet kila tysięcy wyników obserwacji. Poniżej – ich przykładowy histogram.

1. Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych. W tym przypadku dopasowanie krzywej gęstości rozkładu normalnego jest wyraźne.

1. Wnioski z przykładu

• Jeśli rozkład liczebności względnych jest dobrze reprezentowany przez funkcje gęstości rozkładu normalnego, wówczas mówimy, ˙ze cecha ma rozkład normalny (lub zbliżony do normalnego).

• Krzywa gęstości aproksymuje rozkład częstości względnych cechy normalnej w przypadku, gdy wartości tej cechy rejestrujemy z dużą˛ częstotliwością˛ (jak w przedstawionym przykładzie) lub w dużej zbiorowości jednostek.

• Nie każda cecha ciągła ma rozkład normalny. Istnieją˛ także inne możliwe rozkłady zmiennych ciągłych – zob. następny slajd.

1. Przykład innego rozkładu

Krzywa gęstości rozkładu z prawostronna˛ asymetria˛

1. Rozkład normalny standaryzowany

• Rozkład normalny z parametrami μ = 0, σ = 1 nazywamy rozkładem normalnym standaryzowanym (lub zamiennie – standardowym) i oznaczamy w skrócie N(0, 1) .

• Zmienna˛ o takim rozkładzie oznaczać´ będziemy dalej (dla odróżnienia) przez U, natomiast funkcję gęstości i dystrybuantę tej zmiennej – symbolami odpowiednio ⌀(x) i ⌀(x).

• Zauważymy, że gęstość zmiennej U ma postać:

$$\mathbf{\varnothing = \ }\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{2\pi}}}\mathbf{e}^{\mathbf{- \ }\frac{\mathbf{x}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{\text{\ \ }}}\ \ \ \ \ dla\ x\ \in R$$

• W odniesieniu do dystrybuanty rozkładu N(0,1) prawdziwa jest następująca równość: ⌀(x) = 1 - ⌀(x).

1. Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego standaryzowanego

1. Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym standaryzowanym

• Prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa przyjmie wartość z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowane jest przez pole pod jej krzywa˛ gęstości w badanym przedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa˛ wynosi 1.

• Załóżmy, że U ma rozkład N(0,1). Chcemy obliczyć dystrybuantę ⌀(x) = P(U < x), gdzie x – zadana wartość.

• Prawdopodobieństwo to jest równe polu pod krzywa˛ gęstości rozkładu N(0, 1) na przedziale (- ∞ , x). Obliczenie takiego pola ”na piechotę” jest jednak stosunkowo trudne.

• W celu znalezienia ⌀(x) = P(U < x) korzysta się często z tablic statystycznych, zawierających obliczone prawdopodobieństwa dla różnych x – zob. następny slajd

1. Fragment tablicy rozkładu normalnego standaryzowanego

1. Przykłady prawdopodobieństw z wykresami

1. Prawdopodobieństwo P(U < x) w rozkładzie N(0, 1) Np. dla x = 1; 37 mamy bezpośrednio z tablicy: P(U<1; 37)=0; 9147

1. Prawdopodobieństwo P(U ≥ x) w rozkładzie N(0, 1)

Dla x = 1, 37 mamy: P(U≥1, 37)= 1 - P(U < 1, 37) = 1 - 0, 9147 = 0, 0853

1. Prawdopodobieństwo P(|U| < x) w rozkładzie N(0,1)

P(|U| < 1, 37) = P(-1,37 < U < 1,37) =P(U<1,37) - P(U<-1 37)=

=  ⌀ (1,37) - ⌀ (-1,37)= ⌀ (1,37) - (1- ⌀ (1,37)) = 0,9147 - (1 – 0,9147)=0,8294

1. Reguła 3 sigm w rozkładzie N(0, 1)

P(|U| < 3• σ) = P(|U| < 3) = P(-3 < U < 3) = P(U<3) - P(U< -3)=

= ⌀(3) - ⌀ (-3) =⌀ (3) - (1 - ⌀ (3)) = 0,9987 - (1 – 0,9987) = 0,9974

1. Prawdopodobieństwo P(x < U < y) w rozkładzie N(0, 1)

Obliczymy prawdopodobieństwo P(x < U < y) dla zadanych wartości x, y.

Niech x = 0, y = 1,43. Mamy wówczas:

P(0 < U < 1,43) =P(U<1,43) - P(U<0)= ⌀ (1,43) - ⌀ (0) = 0,9236 – 0,5 = 0,4236:

l) Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym

1. Na podstawie tablic rozkładu normalnego standaryzowanego możemy także łatwo odczytać, dla jakiego u zachodzi równość:

p = P(U < u)

gdzie p jest zadana˛ liczba˛ z przedziału (0,1).

2. Punkt u spełniający powyższa˛ równość´ nazywamy kwantylem rozkładu normalnego standaryzowanego rzędu p.

3. Przykładowo, znajdziemy kwantyl rzędu 0,9 dla rozkładu normalnego standaryzowanego.

4. Z definicji, jest to taka˛ wartość´ u, dla której P(U<u)=0,9. Na podstawie danych w tablicy wnioskujemy, iż szukany kwantyl jest równy: u  ≈ 1, 28

Ilustracja graficzna

Równość P(U<u)=0; 9 zachodzi dla u  ≈ 1, 28

Wyznaczanie kwantyli dla rozkładu N(0, 1) – c.d.

Znajdziemy, jakiego rzędu jest kwantyl u rozkładu N(0,1), spełniający równość:

P(|U| <u)=1 - α dla zadanego α = 0, 05. Następnie znajdziemy ten kwantyl.

Mamy:

1 −   ∝   = P(|U|<u) = P(U<u) − P(U< −u) = P(U<u) − (1−P(U<u)) = 2P(U<u) − 1  

Oznaczając p = P(U<u), otrzymujemy:

$$\mathbf{2}\mathbf{p - 1 = 1 - \ \propto \ \ \ ,\ stad\ \ p = 1 - \ }\frac{\mathbf{\propto}}{\mathbf{2}}$$

Wynika z tego, ˙ze u jest kwantylem rzędu:

$$p\mathbf{= 1 - \ }\frac{\mathbf{\propto}}{\mathbf{2}}\mathbf{= 1 - \ }\frac{\mathbf{0,05}}{\mathbf{2}}\mathbf{= 0,975}$$

Na podstawie tablicy otrzymujemy natychmiast: u  ≈  1, 96.

13. Prawdopodobieństwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(μ ,  σ)

• Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(μ ,  σ) o wartościach parametrów μ i σ innych niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzystaniem dostępnych tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twierdzenia o standaryzacji.

• Tw. o standaryzacji: jeśli zmienna losowa X ma rozkład N(μ ,  σ) to zmienna losowa: $U\ = \ \frac{X - \ \mu}{\sigma}$ ma rozkład normalny standaryzowany N(0, 1).

• W ramach ilustracji, obliczymy prawdopodobieństwo F(8) = P(X < 8), zakładając, ze X ma rozkład N(10, 2).

• $\mathbf{F}\left( \mathbf{8} \right)\mathbf{= P}\left( \mathbf{X < 8} \right)\mathbf{= P}\left( \frac{\mathbf{X - 10}}{\mathbf{2}}\mathbf{< \ }\frac{\mathbf{8 - 10}}{\mathbf{2}} \right)\mathbf{= P}\left( \mathbf{U < \ - 1} \right)\mathbf{= \ \varnothing}\left( \mathbf{- 1} \right)\mathbf{=}$

= 1 −  ⌀(1)=0, 8413

Ilustracja graficzna

Prawdopodobieństwo F(8) = P(X < 8) w rozkładzie N(10,2)

Zmienna X po standaryzacji $\frac{\mathbf{X - 10}}{\mathbf{2}}\mathbf{\ }$ma rozkład N(0,1). Zaznaczone pola są˛ równe

13. Przykład zastosowania

• Wiadomo, że zysk (w zł) z pewnego przedsięwzięcia ma rozkład normalny N(80,45).

• Obliczyć´ prawdopodobieństwo, że inwestując w dane przedsięwzięcie, poniesiemy stratę.

• Rozwiązanie. Zysk z przedsięwzięcia jest zmienna˛ losowa˛. Oznaczmy ja˛ symbolem X. Prawdopodobieństwo, że inwestor poniesie stratę oznacza prawdopodobieństwo, że zysk będzie ujemny.

• Skorzystamy z tw. o standaryzacji i tablic statystycznych:

$$\text{P\ }\left( X < 0 \right) = P\left( \frac{X - 80}{45} < \ \frac{0 - 80}{45} \right) = P\left( U < \ - 1,75 \right) = \ \varnothing\left( - 1,78 \right) = 1 - \ \varnothing\left( 1,78 \right) = 1 - 0,9625 = 0,0375$$

1. Rozkład chi-kwadrat

1. Wprowadzenie

• Mówimy, ˙ze zmienna losowa Z ma rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody, jeśli jest suma˛ kwadratów k niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym standaryzowanym, czyli:

$$\mathbf{Z = \ }\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{k}}\mathbf{U}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}$$

gdzie U₁,U₂,…..,U_k są˛ niezależnymi zmiennymi losowymi, każda o rozkładzie N(0,1).

• W rozkładzie chi-kwadrat: E(Z) = k, D²(Z) = 2k.

• Rozkłady chi-kwadrat (podobnie, jak dalej przedstawione rozkłady Studenta) są˛ często wykorzystywane w procedurach wnioskowania statystycznego.

1. Przykładowy wykres funkcji gęstości rozkładu chi-kwadrat

1. Rozkład Studenta

1. Wprowadzenie

• Mówimy, że zmienna losowa t ma rozkład Studenta o k stopniach swobody, jeśli określoną wzorem:

$$\mathbf{t = \ }\frac{\mathbf{U}}{\sqrt{\mathbf{Z}}}\sqrt{\mathbf{k}}$$

gdzie U i Z są˛ niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym U ma rozkład N(0,1), natomiast Z – rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody.

• Rozkłady tego typu po raz pierwszy wyprowadził WilliamGosset (przełom XVIII i XIX wieku) publikujący pod pseudonimem Student. Stąd wywodzi się˛ ich nazwa. Zmienna losowa jest tu oznaczana wyjątkowo mała litera˛ t (od ostatniej litery nazwiska autora).

• W rozkładzie Studenta: $\mathbf{E}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{= \ 0,\ \ \ }\mathbf{D}^{\mathbf{e}}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{\ k}}}{\mathbf{k - 2\ }}\ \ \ o\ ile\ k > 2$

1. Przykładowy wykres funkcji gęstości rozkładu Studenta