Ściaga na egzamin 2011

Julia Waloszek

$${e^{\text{ix}} = \cos x + i\sin x;Norma,metryka\ euklidesowa:\left\| \left( a_{1},a_{2} \right) \right\| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}};\ Iloczyn\ skalarny:\left( a_{1},a_{2} \right) \circ \left( b_{1},b_{2} \right) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2};\backslash n}{v \circ w = \left\| v \right\| \cdot \left\| w \right\| \cdot \cos\left( \measuredangle v,w \right);\left( Wektory\ sa\ \bot jesli\ v \circ w = 0 \right)\ Odleglosc\ pkt\left( x_{0},y_{0} \right)od\ prostej\ d = \frac{\left| Ax_{0} + By_{0} + C \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}};}{Rownanie\ plaszczyzny\ w\ \mathbb{R}^{3}:z = ax + by + c;Proste\ w\ \mathbb{R}^{3}:y = ax + b\ ,\ z = cx + d;\backslash n}{Wyznacznik:det\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \\ \end{bmatrix} = a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}\ \left( modul\ wyzn.\ to\ pole \right);Zb.\ wypukly\forall a_{1},a_{2} \in A,\alpha \in \left\lbrack 0,1 \right\rbrack:\alpha a_{1} + \left( 1 - \alpha \right)a_{2} \in A;\backslash n}{Nadwykres:epi\left( f \right) \left\{ \left( x,y \right):x \in A,y\mathbb{\in R\ }i\ y \geq f\left( x \right) \right\};Funkcja\ jest\ wypukla\ \Leftrightarrow gdy\ jej\ nadwykres\ jest\ zb\ wypuklym;\backslash n}{Funkcja\ f:A\mathbb{\rightarrow R\ }jest\ wypukla\ jesli:f\left( \alpha x + \left( 1 - \alpha \right)y \right) \leq \alpha f\left( x \right) + \left( 1 - \alpha \right)f\left( y \right);Iloczyn\ wektorowy:x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix}\ y = \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{1} \\ y_{1} \\ \end{bmatrix}\ \backslash n}{x \times y = \left( \left| \begin{matrix} x_{2} & x_{3} \\ y_{2} & y_{3} \\ \end{matrix} \right|, - \left| \begin{matrix} x_{1} & x_{3} \\ y_{1} & y_{3} \\ \end{matrix} \right|,\left| \begin{matrix} x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \\ \end{matrix} \right| \right)\left( jak\ jest + to??? \right);Macierz\ jednostkowa\ I:na\ przekatnej\ same\ 1,reszta\ to\ 0;\backslash n}{\text{Maci}erz\ schodkowa:\ \begin{bmatrix} 0 & \begin{matrix} * & * \\ \end{matrix} & * \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & * \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} * \\ * \\ \end{matrix} \\ 0 & \begin{matrix} 0 & 0 \\ \end{matrix} & 0 \\ \end{bmatrix}\ \ Macierz\ schodkowa\ zredukowana:\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix};Macierz\ transponowana:A^{T} \left\lbrack a_{\text{ij}} \right\rbrack_{\text{ji}}}$$

$${Mnozenie\ macierzy\ nie\ jest\ przemienne.Mozna\ mnozyc\ jezeli\ ilosc\ kolumnA\ jest\ rowna\ ilosci\ wierszy\ B.\backslash n}{\mathbb{R}^{n} \ni v \rightarrow Av \in \mathbb{R}^{m}\ jest\ odwzorowaniem\ liniowym\ tzn:A\left( \text{αv} \right) = \alpha Av\ dla\ \alpha\mathbb{\in R,\ }v \in \mathbb{R}^{n};A\left( v + w \right) = Av + Aw\ dla\ v,w \in \mathbb{R}^{n};\backslash n}{A^{- 1} = \frac{1}{\det}A\left\lbrack D_{\text{ij}} \right\rbrack^{T};\left( \frac{n}{k} \right) = \frac{n!}{k!\left( n - k \right)!};{(a + b)}^{n} = a^{n} + \left( \frac{n}{1} \right)a^{n - 1}b + \ldots + \left( \frac{n}{n - 1} \right)ab^{n - 1} + b^{n};\ }$$

$${Wzor\ Taylora:f\left( x_{0} + h \right) = \sum_{k = 0}^{\infty}{\frac{1}{k!}f^{\left( k \right)}\left( x_{0} \right)}h^{k};Szereg\ Taylora:\ e^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \ldots,\text{\ \ } - \infty < x < \infty\ \ ;\backslash n}{kernelA \left\{ x \in X:Ax = 0 \right\}\left( jadro \right);Odwzorowanie\ jest\ liniowe\ jesli:A\left( x + y \right) = A\left( x \right) + A\left( y \right)\text{\ i\ A}\left( \text{αx} \right) = \alpha A\left( x \right);\backslash n}{ImageA \left\{ y \in Y:\exists x \in X:y = Ax \right\}\left( \text{Obraz\ odwzorowania} \right);\backslash n}{A\ :X \rightarrow Y\ odwzorowanie\ liniowe\ :\ \frac{X}{\text{kernel\ A}}\text{jest\ izomorficzny\ z\ image\ A.}}$$

$${Izomorfizm:homomorfizm\ i\ f\ jest\ bijekcja\ \ \backslash n}{Homomorficzne:zachowuje\ dzialanie\ czyli\ f\left( g_{1} \circ g_{2} \right) = f\left( g_{1} \right) \circ f\left( g_{2} \right)\backslash n}{Wektory\ sa\ liniowo\ zalezne\ gdy\ jeden\ da\ sie\ przedstawic\ jako\ kombinacja\ liniowa\ pozostalych\backslash n}{Szereg\ Fouriera:f\left( x \right) = a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty}\left( a_{n}\cos\frac{\text{nπx}}{L} + b_{n}\sin\frac{\text{nπx}}{L} \right);Zb.z\ dzialaniem\ lacznym\ nazywamy\ polgrupa.\backslash n}{Macierz\ kwadratowa\ jest\ izometriao\ ile\ zachwouje\ odleglosc\ tzn:\ \left\| Ax - Ay \right\| = \left\| x - y \right\| dla\ x,y \in \mathbb{R}^{n}\backslash n}{Za\ pomoca\ pochodnej\ latwo\ mozna\ odzyskac\ wspolczynniki\ wielomianu.W = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \ldots + a_{n}x^{n}\text{wtedy}\backslash n}{D^{k}\left( W \right) = k!a_{k} + \frac{\left( k + 1 \right)!}{2!}x + \ldots;\ a_{k} = \frac{1}{k!}D^{k}\left( W \right)\left( 0 \right)}$$