SCHODY PŁYTOWE NA BELKACH SPOCZNIKOWYCH:

1. DANE PODSTAWOWE:

• Beton C25/30:

f_ck=25 MPa

f_cd=f_ck/γ_c=25/1,5=16,67 MPa

f_ctm=2,6 MPa

E_cm=31 GPa

• Stal A-III:

f_yk=410 MPa

f_yd=f_yk/γ_s=410/1,15=356,52 MPa

E_s=200 GPa

• Wysokość kondygnacji: h= 3,4m

• Wysokość płyty biegowej: h_PB=0,12 cm

• Wysokość płyty spocznikowej: h_PS=10 cm

• Wysokość stopnia: h_s=17 cm

• Szerokość stopnia: b_s=30 cm

• Wysokość belki spocznikowej: h_B=40 cm

• Szerokość belki spocznikowej: b_B=20 cm

• Pochylenie biegu:

tgα=$\frac{h_{s}}{b_{s}} = \frac{17}{30} =$0,57

α≈29,54◦

cosα=0,87

1. SCHEMAT STATYCZNY I OBLICZENIOWY SCHODÓW:

2. PRZEKRÓJ POPRZECZNY I WIDOK Z GÓRY:

Przekrój poprzeczny przez schody:

Rzut z góry:

1. BIEG SCHODÓW (PŁYTA O GR. 12 cm):

Grubość płyty: h_p=12 cm

Wysokość stopnia: h_s=17 cm

Szerokość stopnia: b_s=30 cm

Obliczeniowa rozpiętość biegu:

l=l_b+2*0,5*b_B=2,70+0,2=2,9 m

1. Zebranie obciążeń na 1 m² rzutu poziomego:

RODZAJ OBCIĄŻENIA	WARTOŚĆ CHARAKTERYSTYCZNA [$\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\rbrack}$	γf [-]	WARTOŚĆ OBLICZENIOWA [$\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\rbrack}$
Okładzina lastryko: (0,015*0,17/0,3+0,03*0,3/0,3)*22 $\frac{\text{kN}}{m^{3}}$=	0,85	1,35	1,14
Stopnie betonowe: 0,5*0,17*0,3/0,3*25[$\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$=	2,13	1,35	2,87
Płyta biegowa: 0,12/0,87*25[$\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$	3,45	1,35	4,66
Tynk cementowo-wapienny: 0,015/0,87*19[$\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$	0,33	1,35	0,44
Obciążenia użytkowe:	3	1,5	4,5
∑	9,76	-	13,61

Tabela nr 1: Zebranie obciążeń na bieg schodów.

1. Obliczenia statyczno-wytrzymałościowe:

Maksymalny obliczeniowy moment w przęśle biegu:

M_max=$\frac{q*l^{2}}{10}$=$\frac{13,61*{2,9}^{2}}{10}$=11,44 kNm

1. Zbrojenie płyty biegowej:

Ustalenie wysokości użytecznej przekroju obliczeniowego

d = h – c – 0,5ø - Δh

h = 12 cm

c = 1,5cm

ø = 8 mm

Δh = 5mm

d=12 -1,5 – 0,5*0,8 – 0,5 = 9,6cm

M_Ed=11,44 kNm

μ_eff=$\frac{M_{\text{Ed}}}{b*d^{2}*f_{\text{cd}}} = \frac{11,44}{1*{0,096}^{2}*16,67*10^{3}}$=0,074 [-]

ξ_eff=1-$\sqrt{1 - 2*\mu_{\text{eff}}}$=1-$\sqrt{1 - 2*0,083}$=0,077 [-]< ξ_eff,lim =0,5

A_s1x,min=max$\left\{ \begin{matrix} 0,26*\frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}}*b*d \\ 0,0013*b*d \\ \end{matrix} \right.\ $= max$\left\{ \begin{matrix} 0,26*\frac{2,6}{410}*100*9,6 = 1,58\text{\ cm}^{2}\ \\ 0,0013*100*9,6 = 1,25\text{\ cm}^{2} \\ \end{matrix} \right.\ $=1,58 cm²

A_S1=ξ_eff*b*d*$\frac{f_{\text{cd}}}{f_{\text{yd}}} = 0,077*1*0,096*\frac{16,67}{356,52} =$3,46 [cm²] na szerokości 1m

Zbrojenie dołem: przyjęto pręty φ 8, gdzie pole powierzchni jednego pręta wynosi:

A_s1=0,503 [cm²]

Rozstaw 12,5 cm, przyjęto 8 prętów:

A_s,prov=0,503*8=4,024cm²

Przy podporach co drugi pręt odgina się ku górze.

1. SPOCZNIK (PŁYTA O GR. 10 CM)

Obliczeniowa rozpiętość spoczników:

l₁=1,05(1,5-0,5*0,2)=1,47 m

l₂=1,05(1,25-0,5*0,2)=1,21 m

1. Zebranie obciążeń:

RODZAJ OBCIĄŻENIA	WARTOŚĆ CHARAKTERYSTYCZNA: [$\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\rbrack}$	γf	WARTOŚĆ OBLICZENIOWA: [$\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\rbrack}$
Okładzina lastryko: 0,03m*22[$\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$	0,66	1,35	0,89
Płyta: 0,10*25[$\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$	2,5	1,35	3,38
Tynk cementowo-wapienny: 0,015*19[$\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$	0,29	1,35	0,38
Obciążenia użytkowe:	3	1,5	4,5
∑	6,45	-	9,15

Tabela nr 2: Zebranie obciążeń na płytę spocznikową.

1. Obliczenia statyczno-wytrzymałościowe:

Maksymalny obliczeniowy moment w przęśle biegu:

Mmax,1=$\frac{q*l^{2}}{10}$=$\frac{9,15*{1.47}^{2}}{10}$=1,98 kNm

Mmax,2=$\frac{q*l^{2}}{10}$=$\frac{9,15*{1.21}^{2}}{10}$=1,34 kNm

1. Zbrojenie płyty spocznikowej:

d = h – c – 0,5ø – Δh =10 -1,5 – 0,5*4,5-0,5 = 7,7 cm

M_Ed=1,98 kNm

μ_eff=$\frac{M_{\text{Ed}}}{b*d^{2}*f_{\text{cd}}} = \frac{1,98}{1*{0,077}^{2}*16,67*10^{3}}$=0,02 [-]

ξ_eff=1-$\sqrt{1 - 2*\mu_{\text{eff}}}$=1-$\sqrt{1 - 2*0,024}$=0,02 [-]< ξ_eff,lim =0,5

A_s1x,min=max$\left\{ \begin{matrix} 0,26*\frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}}*b*d \\ 0,0013*b*d_{x} \\ \end{matrix} \right.\ $= max$\left\{ \begin{matrix} 0,26*\frac{2,6}{410}*100*7,7 = 1,27\text{\ cm}^{2}\ \\ 0,0013*100*7,7 = 1,001\text{\ cm}^{2} \\ \end{matrix} \right.\ $=1,27 cm²

A_S1=ξ_eff*b*d*$\frac{f_{\text{cd}}}{f_{\text{yd}}} = 0,02*1*0,077*\frac{16,67}{356,52} =$0,72 [cm²] na szerokości 1m

Ze względów konstrukcyjnych przyjęto pręty φ 4,5:

A_s1=0,16 [cm²]

Ze względu na zbrojenie minimalne A_s1x,min =1,27 cm² przyjmuję 8 prętów φ 4,5 co 12, 5 cm.

A_s,prov=0,16*8=1,28 cm²

Przy podporach co drugi pręt odgina się ku górze.

1. ŻEBRO SPOCZNIKA (PRZEKRÓJ 20x40 cm):

Obliczeniowa rozpiętość żebra:

l=1,05*3,1=3,26 m

Schemat statyczny:

1. Zebranie obciążeń:

RODZAJ OBCIĄŻENIA	WARTOŚĆ OBLICZENIOWA: gB[$\frac{\text{kN}}{m^{}}\rbrack$
Obciążenie z płyty biegowej: 0,5*2,9*13,61	19,73
Obciążenie z płyty spocznikowej: 0,5*(1,5-0,2)*9,15	5,95
Ciężar własny beli wraz z okładziną: 0,2*0,4*25[$\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$+0,2*0,03*22[$\frac{\text{kN}}{m^{3}}\rbrack$	2,13
∑gB	27,81

Tabela nr 3: Zebranie obciążeń na belkę spocznikową.

1. Obliczenia statyczno-wytrzymałościowe:

Maksymalna reakcja obliczeniowa:

Rmax=0,5*27,81*3,26=45,33 kN

Maksymalny moment obliczeniowy:

Mmax=$\frac{q*l^{2}}{8}$=$\frac{27,81*{3,26}^{2}}{8}$=36,94 kNm

1. Wykres momentów zginających:

1. Zbrojenie płyty biegowej:

Szerokość efektywna przekroju:

B_eff = b_b+4h_s = 20 + 4 * 10=60 cm

Wysokość użyteczna przekroju:

d = h – c – 0,5ø – δh = 40 – 1,5 – 0,5 * 1,2 – 0,5 = 37,4 cm

Sprawdzenie położenia osi obojętnej przekroju:

Moment zginający obliczeniowy sił wewnętrznych przenoszony przez przekrój o b_eff = 58,8 cm, przy założeniu, że strefa ściskana x_eff = h_f =10 cm

M_t=α * f_cd * b_eff * h_f ( d – 0,5h_f )

α = 0,85

f_cd = 16,67 MPa

b_eff = 60 cm

h_f = 10 cm

d = 37,4cm

M_t = 0,85*16,67*1000*0,6 *0,1(0,374-0,5*0,1)=245,46 kNm > M_sd3 = 41,4 kNm

Warunek M_t > M_sd3 jest spełniony to przekrój oblicza się jak:

pozornie teowy (oś obojętna w półce bet. płyty) o wymiarach b_eff*d

M_Ed=36,92 kNm

μ_eff=$\frac{M_{\text{Ed}}}{b*d^{2}*f_{\text{cd}}} = \frac{36,92}{0,6*{0,374}^{2}*16,67*10^{3}}$=0,026 [-]

ξ_eff=1-$\sqrt{1 - 2*\mu_{\text{eff}}}$=1-$\sqrt{1 - 2*0,026}$=0,027 [-]< ξ_eff,lim =0,5

A_s1x,min=max$\left\{ \begin{matrix} 0,26*\frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}}*b*d \\ 0,0013*b*d_{x} \\ \end{matrix} \right.\ $= max$\left\{ \begin{matrix} 0,26*\frac{2,6}{410}*60*37,4 = 3,69\text{\ cm}^{2}\ \\ 0,0013*60*37,4 = 2,92\text{\ cm}^{2} \\ \end{matrix} \right.\ $=3,69 cm²

A_S1=ξ_eff*b*d*$\frac{f_{\text{cd}}}{f_{\text{yd}}} = 0,027*0,6*0,374*\frac{16,67}{356,52} =$2,81 [cm²] na szerokości 1m

Przyjęto pręty φ 12

As1=1,13 [cm²]

Przyjęto 4 pręty φ12:

A_s,prov=1,13*4=4,52 cm² Przy podporach co drugi pręt odgina się ku górze.

Przyjęto ze względów konstrukcyjnych strzemiona φ=4,5 mm rozmieszczone w odstępach co 25 cm,a przy podporach co 15 cm.

Uwagi do rysunków:

Zaprojektowano zbrojenie rozdzielcze:

-płyty spocznikowe: φ6 co 20 cm

-płyta biegowa: φ6 co 25 cm

- belka spocznikowa zbrojona jest także strzemionami o średnicy φ 4,5

-co drugi pręt należy odgiąć przy podporach, w odległości ok. 0,2 rozpiętości w świetle podpór.

1. STAN GRANICZNY UZYTKOWANIA:

   1. SZEROKOSĆ ROZWARCIA RYS:

p_k=3 kN/m²

p_k^lt=0,8*3=2,4 kN/m²

1. Obciążenie krótkotrwałe:

FAZA 1:

-moment rysujący:

M_cr=W_ct*f_ctm

W_ct=$\frac{I_{}}{h - x_{1}}$

α_c=$\frac{E_{s}}{E_{\text{cm}}} = \frac{210}{31} =$6,77 [-]

x₁=$\frac{0,5*b_{w}*h^{2} + 0,5*\left( b_{\text{eff}} - b_{w} \right)*h_{f}^{2} + A_{s1}*\alpha_{c}*d}{b_{w}*h + \left( b_{\text{eff}} - b_{w} \right)*h_{f}^{} + A_{s1}*\alpha_{c}}$=$\frac{0,5*0,24*{0,4}^{2} + 0,5*\left( 0,6 - 0,25 \right)*{0,1}_{}^{2} + 4,52*6,77*0,374/10000}{0,25*0,4 + \left( 0,4 - 0,25 \right)*0,1 + 4,52*6,77/10000}$=0,19 m

h-x₁=0,4-0,19=0,21 m

I=$\frac{b_{\text{eff}}*{x_{1}^{3}}^{}}{3} + \frac{b_{\text{eff}}*{{(h_{f} - x}_{1}^{}}^{3})}{3} - \frac{b_{w}*h_{w}^{3}}{12}$+b_w*h_w*(0,5*h_w+(h_f-x₁)²)+α_e*A_s*(d-x₁)²=$\frac{0,6*{{0,19}_{}^{3}}^{}}{3} + \frac{0,6*{{(0,1 - 0,19}_{}^{}}^{3})}{3} - \frac{0,25*{0,21}_{}^{3}}{12}$+0,4*0,21*(0,5*0,21+(0,1-0,19)²)+6,77*4,52/10000*(0,1-0,19)²=0,0106 m⁴

W_ct=$\frac{0,0106}{0,21}$=0,0503 m³

M_cr=0,0503*2,6*1000=130,72 kN > M_ed.=36,92 kN

Przekrój jest niezarysowany.

Faza 2:

$\frac{b_{\text{eff}}*x_{\text{II}}^{2}}{2} -$α_e*A_s1*(d-x_II)=0

$\frac{0,6*x_{\text{II}}^{2}}{2} -$6,77*4,52*(0,374-x_II)=0

x_II=0,22 m

I=$\frac{b_{\text{eff}}*{x_{1}^{3}}^{}}{3} +$α_e*A_s*(d-x₁)²=$\frac{0,6*{{0,22}_{}^{3}}^{}}{3}$+6,77*4,52/10000*(0,1-0,22)²=0,0022 m⁴

σ_s=$\frac{M_{\text{cr}}*(d - x_{\text{II}})}{I}$*α_e=$\frac{130,72*(0,374 - 0,22)}{0,0022}$*α_e=61,95 MPa

Obliczenie szerokości rys:

w_k≤w_max

w_k=s_r,max(ε_sm-ε_cm)

ε_sm-ε_cm=$\frac{\sigma_{s} - k_{1}*\frac{f_{ct,eff}}{\rho_{p,eff}}*(1 + \alpha_{e}*\rho_{p,eff})}{E_{s}}\ $≥ 0,6*$\frac{\sigma_{s}}{E_{s}}$

Efektywne pole rozciągane:

h_w=min$\left\{ \begin{matrix} 2,5*(h - d) \\ (h - x_{\text{II}})/3 \\ \end{matrix} \right.\ $= min$\left\{ \begin{matrix} 2,5*(0,4 - 0,374) \\ (0,4 - 0,22)/3 \\ \end{matrix} \right.\ $= min$\left\{ \begin{matrix} 0,065 \\ 0,06 \\ \end{matrix} \right.\ $=0,06 m

A_c,eff=b*h_w=0,2*0,06=0,012 m²

ρ_p,eff=$\frac{A_{s}}{A_{c,eff}} = \frac{4,52}{12}$=0,038 %

f_ct,eff=f_ctm=2,6 MPa

k₁=0,6

ε_sm-ε_cm=$\frac{61,95 - 0,6*\frac{2,6*1000}{0,038}*(1 + 6,77*0,038)}{210*1000000} = 2,45\ $*10^-4 ≥ 0,6*$\frac{61,95}{210000} = 1,77\ $*10^-4

s≤5*(c+0,5*φ)= 5*(2+0,5*1,2)=13 cm

S_r,max=k₃*c+k₁*k₂*k₄*φ/ ρ_p,eff=3,4*2+0,6*0,5*0,425*1,2/0,038=10,83 cm

w_k=10,83(0,000245)=0,003 mm

w_k=0,003 mm ≤w_max=0,4 mm

1. Obciążenie długotrwałe:

FAZA 1:

-moment rysujący:

M_cr=W_ct*f_ctm

W_ct=$\frac{I_{}}{h - x_{1}}$

P(t,∞)=3

E_c,eff=$\frac{E_{\text{cm}}}{1 + p} = \frac{31}{1 + 3} =$7,75 GPa

α_c=$\frac{E_{s}}{E_{\text{cm}}} = \frac{210}{7,75} =$27,1 [-]

x₁=$\frac{0,5*b_{w}*h^{2} + 0,5*\left( b_{\text{eff}} - b_{w} \right)*h_{f}^{2} + A_{s1}*\alpha_{c}*d}{b_{w}*h + \left( b_{\text{eff}} - b_{w} \right)*h_{f}^{} + A_{s1}*\alpha_{c}}$=$\frac{0,5*0,24*{0,4}^{2} + 0,5*\left( 0,6 - 0,25 \right)*{0,1}_{}^{2} + 4,52*27,1*0,374/10000}{0,25*0,4 + \left( 0,4 - 0,25 \right)*0,1 + 4,52*27,1/10000}$=0,2 m

h-x₁=0,4-0,2=0,2 m

I=$\frac{b_{\text{eff}}*{x_{1}^{3}}^{}}{3} + \frac{b_{\text{eff}}*{{(h_{f} - x}_{1}^{}}^{3})}{3} - \frac{b_{w}*h_{w}^{3}}{12}$+b_w*h_w*(0,5*h_w+(h_f-x₁)²)+α_e*A_s*(d-x₁)²=$\frac{0,6*{{0,2}_{}^{3}}^{}}{3} + \frac{0,6*{{(0,1 - 0,2}_{}^{}}^{3})}{3} - \frac{0,25*{0,2}_{}^{3}}{12}$+0,4*0,2*(0,5*0,2+(0,1-0,2)²)+27,1*4,52/10000*(0,1-0,2)²=0,0102 m⁴

W_ct=$\frac{0,0102}{0,2}$=0,0508 m³

M_cr=0,0508*2,6*1000=132,03 kN > M_ed.=36,92 kNm

Przekrój jest niezarysowany.

Faza 2:

$\frac{b_{\text{eff}}*x_{\text{II}}^{2}}{2} -$α_e*A_s1*(d-x_II)=0

$\frac{0,6*x_{\text{II}}^{2}}{2} -$27,1*4,52*(0,374-x_II)=0

x_II=0,22 m

I=$\frac{b_{\text{eff}}*{x_{1}^{3}}^{}}{3} +$α_e*A_s*(d-x₁)²=$\frac{0,6*{{0,22}_{}^{3}}^{}}{3}$+27,1*4,52/10000*(0,1-0,22)²=0,0023 m⁴

σ_s=$\frac{M_{\text{cr}}*(d - x_{\text{II}})}{I}$*α_e=$\frac{132,03*(0,374 - 0,22)}{0,0023}$*α_e=239,57 MPa

Obliczenie szerokości rys:

w_k≤w_max

w_k=s_r,max(ε_sm-ε_cm)

ε_sm-ε_cm=$\frac{\sigma_{s} - k_{1}*\frac{f_{ct,eff}}{\rho_{p,eff}}*(1 + \alpha_{e}*\rho_{p,eff})}{E_{s}}\ $≥ 0,6*$\frac{\sigma_{s}}{E_{s}}$

Efektywne pole rozciągane:

h_w=min$\left\{ \begin{matrix} 2,5*(h - d) \\ (h - x_{\text{II}})/3 \\ \end{matrix} \right.\ $= min$\left\{ \begin{matrix} 2,5*(0,4 - 0,374) \\ (0,4 - 0,22)/3 \\ \end{matrix} \right.\ $= min$\left\{ \begin{matrix} 0,065 \\ 0,06 \\ \end{matrix} \right.\ $=0,06 m

A_c,eff=b*h_w=0,2*0,06=0,012 m²

ρ_p,eff=$\frac{A_{s}}{A_{c,eff}} = \frac{4,52}{12}$=0,038 %

f_ct,eff=f_ctm=2,6 MPa

k₁=0,6

ε_sm-ε_cm=$\frac{239,57 - 0,6*\frac{2,6*1000}{0,038}*(1 + 27,1*0,038)}{210*1000000} = 7,44\ $*10^-4 ≥ 0,6*$\frac{239,57}{210000} = 6,84\ $*10^-4

s≤5*(c+0,5*φ)= 5*(2+0,5*1,2)=13 cm

S_r,max=k₃*c+k₁*k₂*k₄*φ/ ρ_p,eff=3,4*2+0,6*0,5*0,425*1,2/0,038=10,83 cm

w_k=10,83*(0,000744)=0,008 mm

w_k=0,008 mm ≤w_max=0,4 mm