Mowimy,że {Wt : t>=0} jest procesem Wienera, gdy1) W0 = 0,2) proces ma przyrosty niezależne,3) Wt.Ws ma rozkład normalny z E(Wt-Ws)=0 i Var(Wt-Ws)=t-s dla t>s>=0,4) proces ma ciągłe realizacje. Gdy własności1-4są spełnione dla t∈[0,a],mowimy opr Wienera na[0,a]. Pr Wienera jako pr gaussowski. Mowimy,że wektor los(Y1, . . . , Yn) ma rozkład normalny, gdy zmienna suma od k=1 do n z aYk ma rozkład nor lub jest stałą dla dow liczb rzeczyw a1, . ,an. Mowimy,że proces (Yt) jest gaussowski, gdy wektor(Yt1, . . . , Ytn) ma rozkład normalny dla każdego rosnącegociąguchwil.DOWÓD:udowodnimy że pr Wien jest Gauss.Istotnie,przyrosty pr Wienera są NZL i mają rozkład nor.Suma NZL o rozkładzie nor ma rozkład nor, zatem wektor(Wt1 ,Wt2 -Wt1 , .,Wtn -Wtn.1) ma rozkład nor dla t1< . <tn.wektor (Wt1 ,Wt2 ,..,Wtn) ma rownież rozkład nor,gdyż Wtk = Wt1+(Wt2 -Wt1)+. +(Wtk -Wtk.1)dla dow k,zatem pr Wienerajest gaussowski. Def1’Pr Wienera naz prgaussowski (Wt)t>=0 o ciągłych realizacjach z W0=0,EWt=0 i Cov(Ws,Wt)= min(s,t) Tw(Paley-Wiener-Zygmund)P(A) = 0. Ruch BrownaWroćmy do opisu cząstki poruszającej się pod wpływem zderzeń z cząsteczkami cieczy,w której jest zanurzona.Gdy ciecz jest w ruchu, warto.oczekiwana jej położenia będzie funkcją czasu.Gdy temp cieczy zmienia się w czasie, wariancja przebytej drogi rownież będzie się zmieniała. Aby opisać tego typu procesy wprowadzimy pojęcie ruchu Browna z dryfem µ(t) i dyfuzją σ(t): Bt:=µ(t)+σ(t)Wt, t>=0,gdzie µ(t) i σ(t)> 0 są danymi funkcjami. Geometryczny ruch Browna Ct =C0exp{(µ-σ2/2)t+σWt, t>=0. gdzie Ct oznacza cenę w chwili t oraz liczby C0,µ,σ są dodatnie. logarytmiczne stopy zwrotu ln(Ct/Cs) są NZL i mają rozkład normalny. Mowimy,że pr (Yt), określony na (Ω,A,P), jest całkowalny,gdy E|Yt|<∞ dla dow t. Filtracją naz dow rosnącą rodzinę σ-ciał (Ft)⊂A,tzn. Fs⊂Ft dla s<t.Zbior Ft składa się z tych zdarzeń,o ktorych w chwili t wiemy czy zaszły,czy nie. Mowimy,że pr(Yt) jest zgodny z filtracją (Ft)(inaczej (F_t)zgodny, adaptowalny do (F_t)),gdy zm Yt jest Ft-mierzalna dla każdego t. Mowimy,że pr(Yt) jest martyngałem względem filtracji (Ft),gdy jest zgodny,całkowalny oraz dla t>s i A∈Fs E((Yt -Ys)1A)=0. Gdy pr (Yt) jest ciągiem,wystarczy przyjąć że dla dow n i A∈Fn,E((Yn+1-Yn)1A)=0.Istotnie,dla k>n E((Yk -Yn)1A) =suma od i=n do k-1 z E((Yi+1-Yi)1A)=0,Gdy A∈F ⊂Fi dla i>=n. Charakteryzacja martyngałów Tw Całkowalny i zgodny pr Yt jest martyngałem wtwg dla t>s E((Yt -Ys)Zs)=0, gdzie Zs jest dowolną Fs-mierzalną zm los taką,że (Yt-Ys)Zs ∈ L¹. Włas o przyros nieskorelowanych Każdy martyngał (Yt)⊂L² ma przyrosty nieskorelowane,tzn. dla t1< t2<=t3< t4 Cov(Yt2 -Yt1 ,Yt4 -Yt3)=0.Istotnie, wart oczekiwana martyngału jest funkcją stałą,zatem Cov(Yt2 -Yt1 ,Yt4 -Yt3) = E((Yt4 -Yt3)Z),gdzie Z = Yt2 -Yt1 oraz zm (Yt4 -Yt3 )Z jest całkowalna i Ft2-mierzalna(z nierowności Schwarza).

FunkcjęT :Ω→ {0,1,..}∪{∞} naz momentem Markowa, względem filtracji (Fn), gdy dla n<∞ {T=n}∈Fn. Mowimy,że moment Markowa jest mom stopu,gdy T<∞.Gdy T<=m dla stałej m<∞, funkcję T naz ograniczonym momentem stopu.

Tw(O losowym wyborze, Doob)

Załóżmy,że (Yn)n>=0

jestmartyngałem,T zaś jest mom stopu.Wówczas EYT=EY0, jeśli jeden z poniższych warunków jest spełniony:a) T jest ogr momstopu, b)supn>=0 |Yn|<=c, gdzie c jest liczbą, c)suma od n=1 do niesk z E(|Yn- Yn-1|1{T>=n} )< ∞,d) suma od n=1 do T z E|Yn-Yn-1| < ∞ i zm Yn-Yn-1 jest NZL od Fn-1 dla każ n. Pierwsza tożsamość Walda Niech T będzie mom stopu wzg naturalnej filtracji ciągu i.i.d. X_n.Jeśli TЄL¹ to EST = ET EX. Druga tożsamość Walda Niech X,X1,X2,..będzie ciągiem i.i.d. z EX=0 i EX²<∞. Jeśli T∈L¹ jest mom stopu wzgl naturalnej filtracji ciągu Xn, to ES_T²=ET EX². Całkowalny i zgodny pr (Yt) naz submartyngałem wzg (Ft), gdy E((Yt-Ys)1A)>= 0 dla t>s i A∈Fs. Dekompozycja Dooba Mowimy,że ciąg (Kn)n>=0 jest prognozowalny,gdy zm Kn jest Fn-1mierzalna dla n>=1. Je.eli filtracja (Fn) jest generowana przez jakiś ciąg (Xn), to (Kn) jest prognozowany wtwg istnieją takie funkcje borelowskie gn,że

Kn=gn(X1,..,Xn-1) dla każd n. Dow submartyngał (Yn)n>=0 można jednoznacznie przedstawić w postaci Yn=Mn+Kn, gdzie Mn jest martyngałem, Kn zaś jest rosnącym i prognozowalnym ciągiem losowym z K0(w)=0 dla każd w.Rozkład Yn=Mn+Kn naz dekompozycją Dooba.O ciągu Kn mowimy,że jest kompensatorem, a ciąg Mn naz pr innowacji. MPWL tw Jeśli ciąg (Sn)n>=0⊂L² z S₀=0 jest martyngałem i suma od k=1 do niesk z a_k²E(Sk-Sk-1)²<∞,gdzie an↓0, to anSn→0, gdy n→∞.

Tw Doob Jeżeli supn>=1 E(Yn)₊<∞, to submartyngału Yn jest zbieżny prawie na pewno do całkowalnej zm los. Mowimy,że ciąg (Yn)n>=0 jest łańcuchem Markowa, gdy

(Yn+1|Y0,.., Yn)=(Yn+1|Yn) dla dow n, tzn. P(Yn+1=s|Y0=s0,.., Yn=sn)=P(Yn+1=s|Yn=sn)

dla takich s0,..,sn, s ∈ S i n>=1,że P(Y0=s0,..,Yn=sn)>0. Gdy zbior S jest skończony, mowimy,że łańcuch jest skończony. Łańcuch (Yn)n>=0 naz jednorodnym (wzg czasu), gdy rozkład Yn+1|Yn nie zależy od n.

Uogólniony schemat BernoulliegoNiech zm Yn przyjmuje tylko dwie wartości: 0 (”porażka”) i 1 (”sukces”) dla dow n. Jeżli Yn=i, to Yn+1=1 albo Yn+1=0 odpowiednio z pstwem pi i 1-pi dla i=0, 1. Liczby p0, p1 mogą zależeć od n.Ciąg (Yn) jest łańcuchem Markowa o przestrzeni stanów S={0,1}. Macierz przejścia ma postać P=(1-p₀ p₀1-p₁ p₁)

Gdy p0=p1 i p1 nie zależy od n,otrzymujemy schematBernoulliego.

Rozkład łańcucha Markowa Wykażemy,że opis probabilistyczny jednorodnego łańcucha Markowa jest pełny,gdy podamy rozkład początkowy i macierz przejścia. Ze wzoru na pstwo warunkowe obliczamy rozkład wektora (Y0,Y1): P(Y0=i,Y1=j)=P(Y0=i)P(Y1=j|Y0=i)=P(Y0=i)pij .Rozkład wektora (Y0,Y1,Y2) ma postać:

P(Y0=i,Y1=j,Y2=k)=P(Y0=i)P(Y1=j|Y0=i)P(Y2=k|Y0=i,Y1=j)

=P(Y0=i)P(Y1=j|Y0=i)P(Y2=k|Y1=j)=P(Y0=i)·pij·pjk.W ostatnim przejściu skorzystaliśmy z jednorodności łańcucha. Postępując podobnie wyznaczamy rozkład wektora (Y0,Y1,.., Yn): P(Y0=i0,Y1=i1,..,Yn=in) =P(Y0=i0)·pi0i1 pi1i2·..·pin.1in,

gdy P(Y0=i0,Y1= i1,.., Yn=in)>0.

Rozkład zmiennej Yn Ozn rozkład zm Yn przez П(n): П(n)=(П0(n), П1(n),..),gdzie Пi(n)=P(Yn=i).Ze wzoru na pstwo całkowite (zu-pełne):

Пj(1)=P(Y1=j)=suma po i∈S z

P(Y1=j|Y0=i)P(Y0=i)=suma i∈S

pijПi(0), j∈S.Stąd wynika,że

П(1)=П(0)P.Powtarzając powyższe wyprowadzenie dla Yn otrzymamy wzor rekurencyjny:П(n)=П(n-1)P, n=2,3,..Stąd П(n)=П(0)Pⁿ, n=1,2,..Stany chwilowe i powracająceNiech fij(n) oznacza pstwo przejścia ze stanu i do j po raz pierwszy po n kolejnych krokach: fij(n)=P(Y₁≠j,..,Yn-1≠j,Yn=j|Y0=i) Pstwo fij ,że łańcuch wychodząc ze stanu i trafi kiedykolwiek do stanu j rowna się fij =suma od n=1 do niesk z fij(n).Stan i∈ S naz powracającym,gdy fii=1.Gdy

fii<1, stan i nazyw chwilowym.

Ozn przez pij(n) pstwo przejścia ze stanu i do j po n kolejnych krokach: pij(n)=P(Yn=j|Y0=i).Tw fii = 1 wtwg Pi=∞.Jeśli Pi<∞,to fii=Pi/(1+Pi).

ZBIEŻNOŚĆ DO ROZKŁADU STACJONARNEGO Jeśli (Xn) jest łańcuchem Mark, to rozkład П(n) zm Yn jest dany Wzor П(n)=П(0)Pⁿ, ale wyznaczenie potęgi Pⁿ jest zwykle trudnym zadaniem. Gdy istnieje granica limn→∞ Pⁿ, istnieje rownież granica П=limn→∞ П(n); granica macierzy jest macierzą złożoną z granic. Ponadto,П=ПP, ponieważ П=limn→∞П(n+1)=limn→∞П(n)P=ПP.Jeżli rozw П=(П0,П1,..) rownania П=ПPjest rozkładem pstwa na przestrzeni stanow S, to można je uznać za przybliżenie dla П(n),gdy n jest duże. Rozkład П naz stacjonarnym (lub niezmien-

niczym), gdyż jeśli Y0 ma rozkład П,to Y1 ma rozkład ПP=П,a zatem Yn ma rozkład П dla każd n. Tw Markow Załóżmy,że istnieje stała c>0 oraz k-elementowy zbiór Sk⊂S taki,że pij>=c dla i∈S,j∈Sk. Wówczas istnieje tylko jeden rozkład stacjonarny П oraz dla dow rozkładu początkowego П(0) i n>=1: ||П(n)-П||<= 2/kc*(1-kc)ⁿ, gdzie П(n) oznacza rozkład zm Yn.Łańcuch Mar naz nieprzywiedlnym,jeśli wszystkie jego stany komunikują się tzn dla dow i,jЄS istnieje liczba n taka że p_ij(n)>0.Okresem stanu iЄS naz najwiekszy wspólny dzielnik zbioru tych n>=1 dla których p_ii(n)>0.Jeśli okres równa się 1to stan i nazywamy nieokresowym. Tw:Załóżmy, że łańcuch Yn o zbiorze stanów S jest nieprzywiedlny i nieokresowy.Jeśli zbiór S jest skończony, to istnieje n takie,

że mini,j∈S pij(n) >0,a zatem istnieje tylko jeden rozkład stacjonarny П i ||П(n)-П||→ 0,gdy n→∞, gdzie П(n) oznacza rozkład wektora Yn.

Mowimy że F-mierzalna zm los Y z daszkiem jest warunkową

wartością oczekiwaną całkowalnej zm Y wzg σ-ciała F, gdy dla każd A∈F E((Y-Yz daszk)1A)=0.Własności WWO

W1Liniowość. Jeśli a,b∈R,to

E(aX+bY|F)= aE(X|F)+bE(Y|F).W2Jeśli zm X jest F-mierzalna i XY ∈L¹,to

E(XY|F)=XE(Y|F).W szczeg, E(X|F)=X, gdy X jest Fmierzalna. W3Wł iteracyjna E(E(Y|F))=EY. W4Jeżeli Y jest NZL od F (tzn zm Y i 1A są NZLdla dow A∈F),to E(Y|F)=EY . W5Monotoniczność Jeśli X<=Y to E(X|F)<=E(Y|F).W6Uogólniona wł iteracyjna Jeśli F1⊂F2⊂A,to

E(E(Y|F2)|F1)= E(E(Y|F1)|F2)=E(Y|F1). W7Nierówność Jensena Jeżeli g:R→R jest funkcją wypukłą oraz g(Y)∈L¹,to E(g(Y)|F)>=g(E(Y|F)).Zastos wł WWO Całkowalny i zgodny z (Ft) pr (Yt) jest martyngałem, gdy dla t>s E(Yt|Fs)=Ys.

PROCESEM LOSOWYM (STOCHASTYCZNYM) nazyw dow rodzinę zm los {Y_t:t Є T}.Wartością procesu los w chwili t nie jest liczba,ale zm los Y_t czyli funk z Ω w R. Dla każ ustalonego w∈Ω , funkcję t → Yt(w),gdzie t ∈ T,nazyw realizacją (lub: trajektorią) procesu {Yt; t ∈ T}. Zbior S := {Yt(w); t ∈ T, w∈Ω } jest przestrzenią stanów. Ciąg (X_n) złożony z nzl zm los o tym samym rozkładzie (iid) nazyw szumem,gdy EX₁=0 i VarX₁<∞ i ozn ε_n.Błądzeniem losowym nazyw ciąg Y_n=Y_n-1+X_n, n=1,2,… gdzie Y₀ jest dane.Jeśli dodatkowo Y₀ jest liczba całkowitą i zmienne X_n przyjmują wartości -1 lub 1, to ciąg Y_n nazyw błądzeniem los po zb liczb całkowitych.O procesie (Yt)t∈T mowimy,że ma przyrosty niezależne,gdy zmienne losowe Yt2 -Yt1 , . . . , Ytn –Ytn-1 są niezależne dla dowolnego rosnącego ciągu chwil (ti).Mowimy, że proces (Yt)t∈T ma przyrosty stacjonarne, gdynie zmieni się rozkład wektora (Yt2 . Yt1 , . . . , Ytn . Ytn.1 ) po przesunięciu dow rosnącego ciągu chwil (ti) o dow liczbę h tak że ti + h ∈ T dla każdego i, tzn(Yt2 -Yt1 , . . . , Ytn –Ytn-1 ) =(Yh+t2 -Yh+t1, . . . , Yh+tn . Yh+tn.1).O procesach (Xt)t∈T i (Yt)t∈T′ mowimy,że są niezależne, gdy wektory los (Xt1 , . . . ,Xtk ) i (Ys1, . . . , Ysn) są niezależne dla dow chwil (ti) ⊂ T, (sj) ⊂ T′.

Mowimy, że {Nt : t >=0} jest procesem Poissona z intensyw λ>0,gdy 1) N0 = 0, 2) proces ma przyrosty niezależne,

3) Nt -Ns ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną λ(t-s) dla t >s>=0, 4) realizacje są rosnące, prawostronnie ciągłe i schodkowe o skokach równych 1. Czas czekania na skoki Oznaczmy przez Tn chwilę pojawienia się n-tego skoku.Wykażemy, że czasy czekania na kolejne skoki: X1:=T1,X2 :=T2-T1,X3 :=T3-T2, . . . , tworzą ciąg i.i.d. o rozkładzie wykładniczym G(1,λ),tzn.P(X1 > t) = exp{-λt}. Oczywiście,dla t >0 P(X1 > t) = P(Nt = 0) = exp(-λt),zatem X1 ∼ G(1, λ). Dalej,P(X1 > s,X2 > t) = całka od0 doniesk z P(X1 > s,X2 > t|X1 = x)λexp{-λx}dx=całka od s do niesk z

P(brak zgłoszeń w (x,x + t)|X1 = x)λexp{-λx}dx= całka od s do ∞ z P(brak zgłoszeń w (x,x + t))λexp{-λx}dx=całka od s do ∞ z

Exp{-λt}λexp{-λx}dx = exp{-λt}exp{-λs}więc X1,X2 są niezależne i mają rozkład G(1,λ).Metoda indukcji kończy dowód,że Xn jest ciągiem i.i.d o rozkładzie wykładniczym. Konstrukcja procesu Poissona Niech (Xn)n>=1 będzie ciągiem i.i.d. o rozkładzie wykładniczym G(1,λ). Położmy Tn =X1+. . + Xn dla n>=1.Niech Nt będzie liczbą wskaźnikow n>=1,dla ktorych Tn<=t, czyli Nt =suma od n=1 do niesk z1(Tn<=t).(1) Tw.Proces(1)jest pr Poissona z intensywnością λ.Nietrywialne własności procesu Poissona.prawo wielkich liczb (MPWL)limt→∞ Nt/t=λ, centralne twierdzenie graniczne (CTG):(Ntλt)/ Pier(λt)→N(0,1) przy t→∞.