Def.Superpozycją (złożeniem) odwz. f:X→Y i g:Y→Z nazywamy takie odwz. g°f:X→Z , które spełmia warunek ∀x∈X (g°f)(x)=g[f(x)]

Def.Odwz. f:X→Y nazywamy odwracaln. jeżeli istnieje taka funkcja g:Y→X, że spełnione są warunki: f°g=idy ∧ g°f=idx (id
X→X: id(x)=x). Odwzorow. odwrotne do odwzorowania f oznaczamy f
∀x∈X f
[f(x)]=x i ∀y∈Y f[f
(y)]=y .Odwzorowanie f jest odwracalne ⇔ gdy jest bijekcją.

Def.Jeżeli spełniony jest warunek ∃e∈A ∀a∈A e#a=a#e=a to element e nazywamy elementem neutralnym, a półgrupę - unitarną.

Def.Półgrupę unitarną komutatywną, w której każdy element ma element symetr., tzn. ∀A ∃a'∈A a#a'=a'#a=e nazyw. grupą abelową.

Def.Trójką (A,#,°)[gdzie #,°-dwa działania wewnętrzne w niepustym zbiorze A] spełniającą warunki:1.para (A,#)- jest grupą abelową

2.para (A,°)- jest półgrupą 3. działanie „°” jest dystrybutywne ( rozdzielne ) względem działania „#” tzn. ∀a,b,c∈A (a#b)°c=(a°c)#(b°c) c°(a#b)=(c°a)#(c°b) nazywamy pierścieniem.

Def. ciałaPierścień całkowity, w którym każdy element niezerowy ma element symetryczny (względem drugiego działania) nazywamy ciałem. Elementy ciała nazywamy liczbami albo skalarami.

Def. przestrzeni liniowej (wektorowej)Niech V=(A,+) [będzie grupą abelową], K dowolnym ciałem zaś S:K×V→V odwzorowaniem, które parze elementów (α,V)∈ K×V będziemy oznaczać S(α,V)=αV. Trójkę (V,K,S), która spełnia warunki:1.∀α∈K ∀a,b,c∈V α(a+b)=αa+αb 2.∀α,β∈K ∀a∈V (α+β)a=αa+βa

3.∀α,β∈K ∀a∈V (αβ)a=α(βa) 4.∀a∈V 1a=a - nazywamy przestrzenią liniową, przestrzenią wektorową nad ciałem K i oznaczamy symbolem V(K). Elementy grupy V nazywamy wektorami, a odwzorowanie S, mnożeniem skalarów przez wektory.

Def.Kombinacją liniową n wektorów a
,a
,...,a
z przestrzeni wektorowej [∈V(K)] o współczynnikach
nazywamy element przestrzeni V postaci
.

Def.Bazą przestrzeni liniowej V(K) nazywamy niepusty jej podzbiór, którego wektory e
są liniowo niezależne, przy czym każdy wektor V da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy. Ilość elementów w bazie nazywamy wymiarem przestrzeni i ozn. symbolem dimV. ∀∋a=
- rozkład wektora w bazie {e
}

Liczby zespolone. Jeżeli liczby zesp. z i z' są różne od zera, a ϕ
i ϕ
są dowolnymi argumentami tych liczb, to suma ϕ
+ϕ
jest arg. iloczynu zz' zaś różnica ϕ
-ϕ
jest argument. ilorazu

Tw.(wzory Moivre'a) Jeżeli liczba zespolona z jest różna od zera, a ϕ jest jej dowolnym argumentem, to liczba rzeczywista nϕ , gdzie n∈N , jest argumentem liczby z
.(cosϕ+isinϕ)
=cosnϕ+isinnϕ z
=|z|
( cosnϕ+isinnϕ)

Tw.Jeżeli z≠0 i z=|z|(cosϕ+isinϕ), to
jest zbiorem n-elementow. postaci:
=
; k=0,1,2,...,n-1

Tw. Bezouta Jeżeli z
jest miejscem zerowym wielomianu p, to wielomian ten jest podzielny przez dwumian z- z
i odwrotnie, czyli p(z)=0 ⇔ (z- z
)|p(z).

Tw. d'Alamberta Każdy wielomian w dziedzinie zespolonej stopnia n≥1 ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Wielomiany w liczbie zespolonej

Jeżeli liczba zespolona z
jest pierwiastkiem wielomianu p o wspólczynnikach rzeczywistych, to również pierwiastkiem tego wielomianu jest liczba sprężona
.

Funkcje wymierne Każdą funkcję wymierną właściwą
można przedstawić w postaci sumy pewnej liczby ułamków prostych, przy czym: 1.Każdemu czynnikowi postaci (x- x
)
w rozkładzie mianownika q na czynniki odpowiadają w tej sumie składniki :
; gdzie α
...α
∈R

2.Każdemu czynnikowi postaci (x
+bx+c)
w rozkładzie mianownika q na czynniki odpowiadają. w tej sumie składniki:
gdzie
b,c∈R oraz b
-4c<0

---