Rozszerzanie zakresu liczbowego do 100
W procesie kształtowania pojęć liczbowych uczniowie winni zrozumieć strukturę liczby, a nie tylko numeracyjny zapis. Bardzo pomocne są ćwiczenia typu zagadkowego, np. co to za liczba, która składa się z pięciu setek. Zabawy matematyczne pozwalają dzieciom zrozumieć strukturę liczb. Trudności związane z zapisem liczb w dziesiątkowym układzie pozycyjnym wymagają wielu ćwiczeń. Opracowanie tematu rozszerzenia zakresu liczbowego do 100 zaczyna się od ćwiczeń w liczeniu pełnych dziesiątek.
Chcąc ułatwić uczniom zrozumienie nowej dziesiątki pracę należy od znanych i łatwych zbiorów, a potem wprowadzić nowe nazwy liczb, np. kładąc po dwie wiązki patyczków mówimy , że mamy 20 patyczków, następnie dokładamy po 1 i mówimy ze mamy 20+1=21 patyczków,
następnie - 20+2=22
następnie - 20+3=23 … 20+10
W ćwiczeniach związanych z rozszerzeniem zakresu liczbowego do 100 można wykorzystać oś liczbową do wskazania liczb mniejszej lub większej od podanej. Zrozumienie układu pozycyjnego i liczbowego, odczytywanie i poznawanie liczb można ułatwić wykorzystując liczydło i tabele z rubrykami (setki, dziesiątki, jedności) - po opanowaniu pojęcie liczba jednocyfrowa i dwucyfrowa. Tego typu ćwiczenia można wykonać jako utrwalenie zapisu graficznego pojęcia liczby 100.
100=50+50 100=50+30+20 100=60+30+10 100=80+20
100=90+10 100=20+20+20+20+20 100=10+10+10+10+10+10+10+10+10+10
Ćwiczenie:
Zapisz cyframi:
3 setki 2 dziesiątki 8 jedności - …………………………...
1 jedność tysięcy 3 setki 8 dziesiątek - …………………...
4 jedności 2 setki 5 dziesiątek - …………………………..
Rozszerzanie zakresu liczbowego do 1000
Rozszerzenie numeracji do tysiąca - to zarazem kolejny etap przybliżenia uczniowi zasad systemu dziesiątkowego. Objaśnienie wszelkich nowych pojęć w nauczaniu początkowym musi być oparte na konkretnych czynnościach uczniów. Konkretem, który wykorzystujemy, są patyczki: najpierw po 10, a potem 10 dziesiątek - to sto. Uczniowie wpisują w odpowiednich miejscach w kolumnach liczbę stek, dziesiątek i pojedynczych patyczków.
Jak wykazały badania, w tego typu zadaniach nie powinno się dawać uczniom stale takiej samej kolejności: najpierw setki, potem dziesiątki, na koniec jedności, bo taka ustalona kolejność powoduje mechaniczne wypisywanie cyfr.
Ćwiczenie 1:
Na rysunku mamy 173 kafelki. Po lewej stronie jest 100 kafelków żółtych (10 razy po 10), obok 70 kafelków zielonych (7 razy po 10) i jeszcze 3 kafelki czerwone. Nauczyciel objaśnia, jak należy czytać napis 173 i co oznaczają poszczególne cyfry: 1, 7, 3. Drugi rysunek jest podobny, ale nie ma tam ani jednego kafelka czerwonego; W odpowiednim miejscu zapisu ma być więc cyfra 0.
Przy każdym rozszerzeniu zakresu liczbowego wracamy do osi liczbowej. Teraz oś jest szczególnie użyteczna przy przekraczaniu progu setkowego.
Ćwiczenie 2:
Wielkolud skacze od razu po 100 pól w prawo (np. 357, 457, 557, …) lub w lewo (623, 523, 423, …) natomiast ludek czarny skacze o 10 pól od razu w lewo lub w prawo (np. może skakać 230, 240, 250… lub 743, 733, 723…)
Ludek czarny i wielkolud stali na tym samym polu. Potem wielkolud zrobił jeden krok w prawo. Ile kroków musi zrobić ludek czarny, aby stanąć na tym samym polu co wielkolud?
Zadania te mają na celu pogłębienie rozumienia zapisu pozycyjnego. Najmniejsza liczba dwucyfrowa- to 10; a największa liczba dwucyfrowa- to 99. Warto spytać uczniów, czy znają jakieś liczby większe od 1000. Mogą podawać różne przykłady, np. „dwa tysiące” , „milion”. Chodzi o uświadomienie im, że tysiąc nie jest największą liczbą, że jest bardzo dużo liczb większych. Celem tych zadań kombinatorycznych jest nie tylko stymulowanie myślenia ucznia, lecz także lepsze zrozumienie systemu liczbowego.
Rozszerzanie zakresu liczbowego do 1000000
Rozszerzanie zakresu liczbowego do miliona odbywa się stopniowo i jest procesem długotrwałym. Przy każdym kolejnym rozszerzaniu zakresu liczbowego staramy się szukać również liczb nieco większych od omawianych, aby uświadomić uczniom nieskończoność ciągu liczbowego. Poznawanie nowego, dalszego zakresu liczbowego nie wolno ograniczać tylko do umiejętności czytania i pisania coraz większych liczb, a nawet wykonywania na nich działań, ale przede wszystkim należy kształtować wyczucie i zrozumienie jak wielkie są te liczby i jak szybko one rosną oraz co one mają oznaczać w przełożeniu na język praktyki.
Kształtowanie pojęcia miliona wyprzedza właśnie wykonywanie działań w tym zakresie, które jest drugorzędne. Stąd też dzisiaj celowo osadza się milion w ciągu liczbowym, pokazując wszystko co go poprzedza i to co jest dalej.
W rozszerzeniu zakresu liczbowego należy uwzględniać
kształtowanie rozumienia liczb w nowym zakresie, głównie rozumienia, które z nich są większe, a które mniejsze,
ćwiczenia poprawnego wymawiania i pisania liczebników,
zapisywanie liczb za pomocą cyfr i ukazywanie związku zapisu pozycyjnego numeracyjnymi przypadkami dodawania i odejmowania
ćwiczenia w określaniu miejsca nowo poznanych liczb na osi liczbowej
dalsze rozszerzone poznawanie dziesiątkowego systemu pozycyjnego
Do kształtowania pojęć liczbowych potrzebne jest: badanie i ustalanie zależności między daną liczbą a innymi liczbami, wyrabianie umiejętności porównywania liczb, określenie miejsca danej liczby na osi liczbowej, ćwiczenie umiejętności zapisu cyfrowego liczb w systemie dziesiątkowym i związku liczby z jej słowną nazwą (określeniem). Ćwiczenia tego typu odbywać się powinny głównie na osi liczbowej i w tabelach dziesiątkowego układu pozycyjnego, a także w bezpośrednim liczeniu przedmiotów lub operowaniu zastępnikami oraz badaniu własności zbiorów liczbowych.
Należy także dać kilka przykładów wielkości miliona, dla wywołania zaciekawienia i zdziwienia (kontrastowanie). Może to być, np.
komar powiększony 1mln razy miałby 5 km długości,
włos powiększony 1mln razy miałby 70 m grubości,
1 mln zapałek (5cm), to droga 50 km (np. z Bydgoszczy do Torunia).
Należy także uświadomić dzieciom, że istnieją liczby większe od 1000000 i że nie ma liczby największej, bowiem zawsze jest liczba jeszcze większa. W rezultacie uczeń powinien umieć zapisywać za pomocą cyfr, odczytywać i porównywać liczby naturalne od 0 do 1000000, rozumieć system pozycyjny, umieć wskazać cyfrę na miejscu jedności, dziesiątek, setek itd. W czasie porównywania liczb wielocyfrowych powinniśmy kształtować pamięć, szybką orientację, uwagę, spostrzegawczość i logiczne myślenie, a także umiejętność jasnego wyrażania myśli językiem matematycznym.
Rozszerzenie zakresu liczbowego do miliona wymaga wielu ćwiczeń. Muszą one być ciekawe i różnorodne. W poniższym zestawieniu ukazuję najważniejsze z nich:
ilustracja liczb na monetach,
próby zamiany pieniędzy drobnych na grube,
organizowanie zabawy w sklep z przygotowanymi banknotami papierowymi do 100zł,
odczytywanie liczb z przerwami i bez przerw,
zapisywanie i określanie liczb sześciocyfrowych,
układnie na liczydle pionowym (lub łukowym) kulek do podanych liczb,
zapisywanie liczb w tabeli dziesiątkowego układu pozycyjnego,
wpisywanie liczb w tabeli dziesiątkowego układu pozycyjnego z grupą: jedności , tysięcy i koniecznością wprowadzenia grupy milionów,
wymienianie liczb większych od 1000 10 razy i po wymienieniu tysiąc tysięcy doprowadzamy do nazwy - milion,
wpisywanie liczb do szablonów,
czytanie liczb wielocyfrowych,
zapisywanie wielokrotności tysiąca z pozywaniem, która część zapisu należy do określenia- ile?, a która do tysięcy?- czego?
Pisanie liczb słowami,
Zaznaczanie (lub uzupełnianie) liczb na osi liczbowej,
Zaznaczanie liczb na osi liczbowej do 10000 na drugiej do 100000 a, na trzeciej do 1000000
Zaznaczanie na osi liczbowej ćwierć, pół miliona, milion,
Porządkowanie liczb od najmniejszej do największej i odwrotnie,
Wpisywanie znaków nierówności między liczby,
Szukanie liczby o 1 większej (mniejszej) od danej, a potem o 10 większej (mniejszej),
Szukanie najmniejszej liczby pięciocyfrowej i największej sześciocyfrowej oraz liczb sąsiednich,
Pisanie najmniejszych i największych liczb wielocyfrowych,
Wpisywanie liczb większych (mniejszych) 2 razy, 3 razy, 10 razy od danych,
Wpisywanie brakujących liczb na grafie,
Uzupełnianie drzewek analitycznych i syntetycznych,
Uzupełnianie tabelek,
Stosowanie łatwych przypadków mnożenia i dzielenia w zakresie miliona,
Obliczanie połowy liczb: 100000, 1 mln, 5 mln, 350000, itp.
Obliczanie liczby, znając jej połowę lub czwartą część (np. połowa wynosi 500000, jaka to liczba?),
układanie zadań tekstowych do sytuacji lub do wzoru,
wypełnianie przekazów pocztowych i rachunków.
Omawiane typy ćwiczeń wymagają zastosowania szeregu środków dydaktycznych. Do najważniejszych z nich można zaliczyć:
tabele dziesiątkowego układu pozycyjnego,
liczydło łukowe lub liczydło z pionowymi prętami,
pudełka z przegródkami: M, ST, DT, T, S, D, J,
papier milimetrowy,
plansza 1 m2. papieru milimetrowego,
kartoniki z cyframi od 0 do 9 (po 5 sztuk),
lizaki z cyframi,
grafy i drzewka,
tabelki funkcyjne,
osi liczbowe o różnych odcinkach jednostkowych,
projektoskop, foliogramy, fazogramy osi liczbowych z kolejno nanoszonymi liczbami,
minikomputer,
plansze do gry w Lotto, plansze z drzewkami, do gry „magiczny kwadrat” itp. ,
loteryjki.
Ćwiczenie 1:
Uporządkuj liczby od najmniejszej do największej:
92750, 9270, 92100, 92093, 920900, 920110
Ćwiczenie 2:
Wpisz do tabelki dziesiątkowego systemu pozycyjnego dowolne liczby czterocyfrowe, pięciocyfrowe i sześciocyfrowe.
Miliony |
Tysiące |
Jedności |
||||||
S |
D |
J |
S |
D |
J |
S |
D |
J |
|
|
|
7 |
7 0 |
4 0 0 |
5 8 2 |
6 0 5 |
3 2 0 |
Ćwiczenie 3:
Porównaj działania i wstaw odpowiedni znak:
54000 + 301 ……… 540301 - 301
311000 + 111 ……… 311111 - 111
42000 + 37 ……… 42037 - 37
Znaczenie oraz cele kształtowania pojęcia: dziesiątkowy układ pozycyjny
Układ dziesiątkowy - opiera się na zasadzie, że 10 jednostek niższego rzędu stanowi 1 jednostkę bezpośrednio wyższego rzędu,
Np. 10 jedności to 1 dziesiątka
10 dziesiątek to 1 setka
10 setek to 1 tysiąc
Układ pozycyjny - wprowadza zasadę, że wartość cyfry w liczbach wielocyfrowych zależy od zajmowanego przez nią rzędu
Np. w liczbie 1347
cyfra 7 oznacza jedność (ponieważ stoi w pierwszym rzędzie)
cyfra 4 oznacza dziesiątki ( ponieważ stoi w drugim rzędzie)
cyfra 3 oznacza setki (ponieważ stoi w trzecim rzędzie)
cyfra 1 oznacza tysiące (ponieważ stoi w czwartym rzędzie)
Potrzeba zaznajomienia się z dziesiątkowym układem pozycyjnym występuje już w 1 klasie, ponieważ tu dzieci poznają liczby dwucyfrowe.
Aby zrozumieć strukturę liczb dwucyfrowych dzieci muszą zdawać siebie sprawę, że dziesiątka stanowi jednostkę, bezpośrednio wyższego rzędu w stosunku do jedności oraz, że wartość cyfry w liczbie dwucyfrowej zależy od miejsca (rzędu) na którym cyfra stoi, jeżeli na 1 to oznacza, że stoi w rzędzie jedności itd.
Dzieci z układem dziesiątkowo-pozycyjnym zapoznajemy przy rozszerzeniu numeracji do 20, po uprzednim należytym opracowaniu pierwszej dziesiątki. Dla uzmysłowienia dzieciom zasad dziesiątkowego układu pozycyjnego, należy posługiwać się różnorodnymi środkami dydaktycznymi.
Np. kolorowe krążki: umowa: małe, zielone - jedności
duże, czerwone - dziesiątki
10 zielonych krążków, to tyle co 1 czerwony
Dzieci wiążąc 10 pojedynczych patyczków kojarzą pojęcie z konkretem - 10 związanych patyczków - dziesiątka, natomiast 1 luźny to jedność.
Ćwiczenie 1:
Polecenie nauczyciela brzmi: ułóż z patyczków liczbę 12, z prawej strony kładąc 2 patyczki, natomiast z lewej związaną dziesiątkę.
Omówienie: Ile jest ułożonych patyczków?
Ile jest dziesiątek?/ jedności?
Dosuwając o jeden patyczek dochodzą do liczby 19 (z omówieniem jak wyżej).
Ćwiczenie 2:
Na kolejnych lekcjach dzieci mają do dyspozycji komplety cyfr od 1 do 9. Dzieci układają z patyczków jakąś liczbę; wyjaśniają z ilu jedności i dziesiątek się ona składa, podpisują ją kartonikami, określają na którym miejscu leżą dziesiątki, a na którym jedności.
Np. liczba 14
Co oznacza liczba 4? - jedności Dlaczego? - bo stoi na pierwszym miejscu
Co oznacza liczba 1? - dziesiątki Dlaczego? - bo stoi na drugim miejscu
Przy podpisywanej cyframi ułożonej z patyczków liczby 11 występuje wyraźniej pozycyjna wartość liczb.
Dzieci stwierdzają, że na pierwszym i na drugim miejscu stoi taka sama cyfra 1, lecz wartość każdej z tych cyfr jest równa, ponieważ uwarunkowana jest zajmowanym przez nią miejscem.
Analiza liczby 10, znaczenie pozycyjne zera: oznacza, że na pierwszym miejscu nie ma jedności, oraz że cyfra 1 stoi na drugim miejscu.
Bibliografia:
E. Stucki, „Nauczanie matematyki w klasach niższych. Część III”, Bydgoszcz 2000, Wyd. Uczelniane Wyższej Szkoły Pedagogicznej
B. Lankiewicz, Z. Semadeni, „Matematyka II - książka nauczyciela”, W- wa 1994, WSiP
Z.Cydzik, „Nauczanie arytmetyki w klasach I - III”