Rozszerzenie zakresu

liczbowego do 100 i

1000.

Rozumienie struktury

liczb podanych

zakresu.

  Ogólne wskazania rzeczowe i metodyczne

prowadzące do rozumienia struktury liczb

pierwszej setki.

Rozszerzanie zakresu liczbowego do 100 należy do ostatnich zagadnień nauczania

matematyki w klasie I.

Program przewiduje do realizacji następujące treści:

- liczenie dziesiątkami i liczenie kolejne w określonym uczniowi przedziale (od- do) w

kierunku wzrastającym i malejącym,

- pisanie liczb dwucyfrowych (cyframi i słowami) z wyraźnym zwracaniem uwagi na

znaczenie i wartość tych samych lub podobnych cyfr dziesiątek i jedności(np.:33, 72, 27)

oraz zrozumienie struktury liczb dwucyfrowych, 

- porównywanie liczb dwucyfrowych i łatwych przypadków sum i różnic liczb dwucyfrowych i

jednocyfrowych,                                                                          

   - dodawanie i odejmowanie pełnych dziesiątek oraz liczb dwucyfrowych z jednocyfrowymi,

- wykorzystanie liczb w zakresie 100 w operowaniu pieniędzmi, pomiarami długości i ciężaru.

Zapoznając wcześniej uczniów z liczbami pierwszej i drugiej dziesiątki nie powinno się ściśle

zamykać tego zakresu na liczbie 20. Należy właśnie zachęcać uczniów do używania dalszych

liczb. Podobnie przy rozszerzaniu zakresu liczbowego do 100 trzeba również zachęcać do

korzystania z liczb większych od 100. Chodzi o to, aby nie stwarzać sztucznych ograniczeń, a

przekraczanie danego zakresu wykorzystywać do kształtowania rozumienia liczb

naturalnych.

   Rozszerzanie zakresu liczbowego jest stopniowym poznawaniem systemu dziesiątkowego.

Uczniowie muszą od razu wskazywać, która liczba odnosi się do dziesiątek, a która do

jedności i odróżniać liczby pisane tymi samymi cyframi (np. 64, 46). Bardzo wskazane jest

też używanie od razu określeń: miejsce dziesiątek, miejsce jedności lub rząd dziesiątek, rząd

jedności. Tabele dziesiątkowe układu pozycyjnego oraz oś liczbowa są podstawowymi

środkami ułatwiającymi rozszerzanie zakresu liczbowego, ale nie tylko.            

Zwróćmy uwagę na podstawowe wskazania rzeczowe i metodyczne.

1. Na początku należy powtórzyć i pogłębić wiadomości o liczbach    dwucyfrowych:

a)  wymawianie i pisane liczebników, ich zapis cyfrowy i pozycyjny z próbami

przekroczenia 20,

b)  przedstawienie i porównywanie tych liczb na osi liczbowej,

c)  działania dodawania oraz mnożenia i dzielenia z dość wyraźnym przekraczaniem

progu pierwszej, a szczególnie drugiej dziesiątki itp.

2. Dojście do setki należy poprzedzić:

a)  liczenie w górę i w dół w ciągu liczbowym,

b)  szukaniem szybkiego sposobu przeliczania zbioru patyczków, mniejszego do 100, i

dojście do wiązania ich w dziesiątki i układania pozostałych jedności,

c)  liczeniem dziesiątkami (np. wkładanie kółek po 10 do kopert i przeliczenie kopert).

3. Przekraczanie kolejnych dziesiątek i dojście do setki warto poprzedzić czynnościami

wiązania gumką kolejnych dziesiątek patyczków, zwracając uwagę na dochodzenie do

każdej dziesiątki i jej zamykanie oraz otwieranie następnej (29, 30, potem 31 itd).

Komplet dużych patyczków wiązanych w dziesiątki wkładamy do długiego pudełka z

podziałem i napisem D, J i miejscem na setki.

4. Warto przy tym ważniejsze liczby wpisywać do przygotowanej tabeli dziesiątkowego

układu pozycyjnego, składającego się na razie z dziesiątek i jedności ( setkę dołożymy

po dojściu do niej), np.: 22, 29, 30, 31, 33, 39, 40, itd.)

5. Po dojściu do setki dobrze byłoby ją kilka razy przekroczyć (101, 102, 105, 111, a nawet

200, 201, 202…), aby w rzędach setek pojawiły się też inne setki, przez co dzieci

poznają lepiej strukturę dziesiątkowego układu pozycyjnego i miejsce liczb oraz wartość

poszczególnych liczb w zależności od miejsca, na którym zapisana jest jej cyfra.

6. Warto także wprowadzić numeracyjną tabelę liczb od 1-100 wypisaną na planszy i

powiesić ją w klasie( w 10 rzędach kolejne liczby od 1-100). Tabela ta ukaże miejsce

każdej liczby, porządek w tych liczbach, a przede wszystkim fakt, że jest ich tak dużo.

7. Odczytywanie i pisanie liczebników oraz zapisywanie tych liczb cyframi może być

kontynuowane na numeracyjnej tabeli, z której uczniowie będą odczytywali wyraziście

pokazane liczby oraz wpisywali brakujące w celowo pozostawione luki.

 

8. Rozszerzanie zakresu liczbowego na osi liczbowej do 100 ( i nieco ponad) należy

wykonywać najpierw na pełnych dziesiątkach. Posłużyć się tu można wzorcem metra

szkolnego dzielonego na kolorowe decymetry. Następnie można przejść do ćwiczeń w

zaznaczaniu i odnajdywaniu liczb wewnątrz różnych dziesiątek (dzielenie na odcinki,

pisanie cyfr). Tu wzorem może być metr podzielony na centymetry.

9. Porównywanie liczb w zakresie 100 oprzeć należy na różnorodnych ćwiczeniach, takich

jak:

a)  nanoszenie liczb na oś liczbową i odczytywanie liczb z zaznaczonych punktów na

osi liczbowej,

b)  pisanie liczb sąsiednich,

c)  porządkowanie liczb od najmniejszej do największej i odwrotnie,

d)  wpisywanie znaków nierówności do ciągu uporządkowanych i nieuporządkowanych

liczb i ich odczytywanie,

e)  zwiększenie i zmniejszenie danych liczb o określoną liczbę: w pamięci, na grafach,

na osi liczbowej, w tabelkach,

f)  porównywanie liczb dwucyfrowych zapisanych tymi samymi cyframi (np. 26 i 62)

na konkretach, na osi liczbowej i w tabeli dziesiątkowej układu pozycyjnego,

g)  ukazywanie roli zera w poszczególnych dziesiątkach.

10. Przy dodawaniu i odejmowaniu liczb w zakresie 100 należy ciągle ukazywać

analogiczne zależności, które dzieci opanowały w pierwszej i drugiej dziesiątce.

Wpływa to na lepsze zrozumienie działań i przyspieszanie opanowania techniki

rachunkowej. Warto wprowadzić też tabelę dodawania i odejmowania liczb w zakresie

100, rozpatrując w niej niektóre przypadki.

12. Warto przy tym prowadzić wiele ćwiczeń w rozmienianiu

pieniędzy, płaceniu, otrzymywaniu reszty z określonej kwoty

danej do kasy, a także ćwiczeń w ważeniu i rozważaniu

ciężarów.

13. Do realizacji tego działu trzeba wykorzystać dużą liczbę

zadań tekstowych układanych przez uczniów, z podręcznika i

podawanych przez nauczyciela, a także rozwiązywać te

zadania różnymi metodami pamiętając o wykorzystaniu

równań i wzorów w jednym zapisie.

14. Należałoby pamiętać o pracy wykonywanej z zeszytem

ćwiczeń pod kierunkiem nauczyciela, ale również o pracy w

małych grupach(dwuosobowych) i samodzielnej pracy cichej

oraz jej korekcie przez innych uczniów. 

  

11. Działania dodawania wielu składników pełnych dziesiątek

trzeba też uogólnić (wyrażać) w postaci mnożenia. Ma to miejsce

głównie przy dodawaniu monet 10, 20 i 50-groszowych, a także

banknotów 10, 20, 50 i 100-złotowych.

W procesie kształtowania pojęć liczbowych uczniowie winni zrozumieć

strukturę liczby, a nie tylko numeracyjny zapis. Bardzo pomocne są

ćwiczenia typu zagadkowego, np. co to za liczba, która składa się z

pięciu setek. Zabawy matematyczne pozwalają dzieciom zrozumieć

strukturę liczb. Trudności związane z zapisem liczb w dziesiątkowym

układzie pozycyjnym wymagają wielu ćwiczeń. Opracowanie tematu

rozszerzenia zakresu liczbowego do 100 zaczyna się od ćwiczeń w

liczeniu pełnych dziesiątek. 

  

Chcąc ułatwić uczniom zrozumienie nowej dziesiątki pracę należy od

znanych i łatwych zbiorów, a potem wprowadzić nowe nazwy liczb, np.

kładąc po dwie wiązki patyczków mówimy , że mamy 20 patyczków,

następnie dokładamy po 1 i mówimy ze mamy 20+1=21 patyczków, 

  

następnie – 20+2=22 

  

następnie – 20+3=23  …  20+10 

  

W ćwiczeniach związanych z rozszerzeniem zakresu liczbowego do 100

można wykorzystać oś liczbową do wskazania liczb mniejszej lub

większej od podanej. Zrozumienie układu pozycyjnego i liczbowego,

odczytywanie i poznawanie liczb można ułatwić wykorzystując liczydło i

tabele z rubrykami (setki, dziesiątki, jedności) – po opanowaniu pojęcie

liczba jednocyfrowa i dwucyfrowa. Tego typu ćwiczenia można wykonać

jako utrwalenie zapisu graficznego pojęcia liczby 100. 

  

100=50+50                100=50+30+20                    

100=60+30+10                 100=80+20 

  

100=90+10                 100=20+20+20+20+20        

100=10+10+10+10+10+10+10+10+10+10

              DODAWANIE I ODEJMOWANIE W ZAKRESIE 100

Zadanie 1 

Oblicz: 

50 + 40 = 

90 - 60 = 

80 - 30 = 

28 + 30 = 

47 + 50 = 

70 + 21 = 

66 - 20 = 

Zadanie 2 

Wyniki z zadania 1 przepisz w kolejności rosnącej.

Zadanie 3

Uzupełnij. 

1    35  to  __  dziesiątki  __   jedności

2    84  to  __  dziesiątki  __   jedności

3    5  dziesiątek  3   jedności  to ____  

4 7  dziesiątek  6   jedności  to ____

Zadanie 4

Oblicz i wstaw znaki: > , < lub =. 

1       28  +  21   __    51 

2       60   -  16   __    43 

3       47  +  45   __    92 

4       59  +  24   __    84

Zadanie 5 

Oblicz. Wyniki uporządkuj rosnąco i wpisz odpowiadające im litery w

kratki. 

  

A 

86 – 28  =  __ 

P 

26 + 17  =  __ 

L 

58 + 33  =  __ 

A 

99 – 19  =  __ 

W 

43 – 16  =  __ 

I 

97 – 18  =  __ 

S 

14 + 19  =  __ 

E 

78 + 22  =  __ 

N 

39 + 23    

  

             

Zadanie 5
Oblicz. Wyniki uporządkuj rosnąco i wpisz odpowiadające im litery
w kratki.

A

86 – 28 = __

P

26 + 17 = __

L

58 + 33 = __

A

99 – 19 = __

W

43 – 16 = __

I

97 – 18 = __

S

14 + 19 = __

E

78 + 22 = __

N

39 + 23 = __

8
0

A

Zadanie 6
Do sklepu przywieziono 70 kg cukru. W ciągu następnego tygodnia
sprzedano 26 kg i dowieziono jeszcze 38 kilogramów. Ile kilogramów
cukru znajduje się teraz w sklepie?

MNOŻENIE I DZIELENIE W ZAKRESIE 100

Zadanie 1

4 x 7=

5 x 6= 

9 x 8=

28:4=

63:9=

Zadanie 2

Podkreśl podzielniki liczby 16. 

1,   2,    3,   4,    5,    6,    7,    8,    9,    10,    11,   12,    13,   14,    

Zadanie 3 

Oblicz i sprawdź : 

39: 7=

26:4=

58:8=

47:9=

52:6=

Zadanie 4

Rozwiąż zadanie: 

Mama kupiła 6 szklanek po 7 zł i dzbanek za 28 zł. Ile zapłaciła

mama za zakupy?                                                                  

Rozszerzenie zakresu

liczbowego do 1000.

Rozszerzenie zakresu liczbowego występuje w programie nauczania

matematyki w klasach niższych kilka razy. Ma to miejsce w trakcie
dochodzenia do dziesiątki, potem przy dwudziestce, setce, tysiącu i
milionie.

Metodyczne podstawy poznawania tych zakresów liczbowych są

ogólnie takie same, poza ciągle szerszym zakresem budowy, nowymi
aspektami liczb (np. Rola zer wewnątrz, pisownia liczebników itp.).

Rozszerzenie numeracji do 1000 ma na celu zapoznanie uczniów z
kolejnym elementem struktury dziesiątkowego układu pozycyjnego
jakim jest rząd tysięcy i utrwalenie głównie rzędu setek. Nastąpi to
przez kolejne liczenie setek, aż do stwierdzenia, że np. 1 tysiąc-
złotówka to 10 stuzłotówek,
100 dziesięciozłotówek.

Rozszerzenie numeracji do 1000 występuje pod koniec klasy II.
Powinniśmy przy tej okazji pamiętać, że warto w sposób naturalny i celowy
Nieco go przekraczać, aby pokazać, że istnieją dalsze liczby, ciekawie
układające się, w budowie mające te same struktury co liczby w niższych
rzędach.
Chodzi tu o ukazanie liczb następujących, np. 1001, 1002,1010, 1011
I dalszych, np. 2000, 5000 itp.. Wymaga tego właściwe opanowanie
tysiąca, a ponadto jest to bardzo potrzebne w życiu.
Zadaniem tego działu jest również pobudzenie wyobraźni w kierunku
ciągłego rozszerzania zakresu liczbowego i kształtowania myślenia na
rzecz rozumienia nieskończoności liczb naturalnych, co dla ucznia
oznacza, że w stosunku do każdej liczby można znaleść liczbę następną
większą od niej.
Rozszerzenie numeracji do 1000 ma w klasie II wyraźnie charakter wspierający
dotychczasowy zakres liczbowy, a także propedeutyczny w poznawaniu dalszych
zakresów liczbowych, zaspokaja ciekawość i właściwie kształtuje ich myślenie
logiczne.

Omawiany dział programu

zawiera następujące hasła:

• Wyodrębnienie setek, dziesiątek i jedności.
• Przedstawienie liczb w postaci:
425 = 400 + 20 + 5 = 4 * 100 + 2 * 10 + 5 * 1
• Wymawianie i pisanie liczebników
• Porównywanie liczb trzycyfrowych, np.
• 421 > 390
• Dodawanie i odejmowanie typu:
300 + 400, 700 – 300, 300 + 48, 348 – 48, 348 – 300

Realizując treści tego działu należy rozszerzać u uczniów rozumienie
pojęcia dziesiątkowego układu pozycyjnego. Konieczne jest zatem
Uświadomienie uczniom, że 10 setek to 1 tysiąc, gdyż 10 jedności to
1 dziesiątka i 10 dziesiątek to 1 setka, a tysiące są kolejnymi rzędem
w dziesiątkowym układzie pozycyjnym. Ciągle obowiązuje tu zasada, że
10 jednostek niższego rzędu tworzy 1 jednostkę wyższego rzędu.

Ćwiczenia wprowadzające jak i utrwalające najlepiej wprowadzać na :
• patyczkach
• kopertach
• monetach
• sześcianach
• albo innych liczmanach

Z kolei trzeba wyjaśnić zapis pozycyjny, tzn. że wartość liczby zależy od
pozycji, na której jest napisana cyfra, np. 7 < 8, ale w liczbie 78 większą
więc ma wartość mniejszą

Bardzo ważne jest zwracanie uwagi na odróżnianie liczb pisanych tymi
samymi cyframi. W liczbach o tych samych cyfrach np.. 22, 333, 444 itd.
każda z tych samych cyfr ma inną wartość: 4 na pozycji pierwszej
oznacza
jedności, a na pozycji czwartej tysiące itd.
Zwracać należy też uwagę na odróżnianie liczb zapisanych podobnymi
cyframi, np,. 565, 656, 665, albo 899, 799 itp.
Zawsze należy porównywać ich rzędy setek, potem dziesiątek i na końcu
Jedności.
Można też szukać ich miejsca na osi liczbowej.
Uczniowie powinni opanować umiejętność analizy liczby, polegającą na
stawianiu pytania: Jak możemy rozłożyć daną liczbę?
Odpowiedź powinna być następująca, np. 636 = 6 * 100 + 3 * 100 + 5 *

1

lub 635 = 600 + 30 + 5.

W zakresie 1000 uczniowie klasy II mogą również wykonywać
dodawanie i odejmowanie np. 435 – 5, 745 – 45, 528 – 500 oraz 467 + 3,
600 + 78, a także próby mnożenie i dzielenia. Wzbogacamy to wszystko
Porównywaniem liczb w zakresie 1000 z zastosowaniem znaków <, >, =.

Samo dojście do 1000 należy poprzedzić liczeniem w górę i w dół w ciągu
liczbowym, szukaniem sposobu przeliczania zbiorów w zakresie 1000 z
wyraźnym przekraczaniem każdej setki i liczeniem setkami. Przy okazji
musimy powtórzyć i pogłębić wiadomości o liczbach trzycyfrowych.
Dotyczy to m. in. Wymawiania i pisania liczebników, ich zapisu cyfrowego i
pozycyjnego z próbami przekraczania tysiąca, przedstawienia
i porównywania liczb na osi liczbowej oraz wykonywania prostych działań
na tych liczbach.

Najlepiej interpretuje się rozszerzenie zakresu liczbowego w tabeli

dziesiątkowego

układu pozycyjnego i na osi liczbowej. Zwracamy uwagę na używanie

właściwego

słownictwa pozycyjnego: miejsce lub rząd tysięcy, setek itd. oraz naukę
poprawnego wymawiania i pisania liczebników. Wiąże to się z innymi działami
matematyki, a także znajdujemy tu korelację z programem nauczania

gramatyki i

Ortografii.

Reasumując można przyjąć, że opracowanie rozszerzenia

zakresu liczbowego do 1000 ma doprowadzić do

umiejętności:

• Zapisywania za pomocą cyfr i odczytywania liczb od 0 do 1000

oraz ich porównywanie,

• Praktycznego stosowania ( ze zrozumieniem) dziesiątkowego

systemu pozycyjnego,

• Wskazywanie cyfr na miejscach jedności, dziesiątek, setek, i

tysięcy,

• Pokazywania miejsca danej liczby na osi liczbowej,
• Porównywania liczb przedstawionych na osi liczbowej,
• Wykonywania w pamięci prostych obliczeń w zakresie 1000 i

poprawnego ich zapisywania.

Zestaw ważniejszych ćwiczeń i środków dydaktycznych.

1.

Ćwiczenia utrwalające liczby trzycyfrowe oparte na
numeracyjnej tabeli liczb do 1000.

- Szukanie liczb pełnych setek i liczby dziesiątek w zakresie 1000,
- Czytanie i wypisywanie wszystkich liczb do 1000: z zerami w środku w
określonym zakresie, z jednym i dwoma zerami na końcu, zapisanych
tymi samymi cyframi,
- Zliczenie wszystkich liczb trzycyfrowych,
- Szukanie najmniejszych i największych liczb obu, trzy i czterocyfrowych
- Szukanie najmniejszej i największej liczby trzycyfrowej zaczynającej się
cyfrą, np,. 6, 8, 9, 3 itp.,
- Mierzenie przedmiotów w m i cm i zapisywanie wyników z jednoczesnymi
zamianami, np. 300cm = 3m, 5m 32cm = 532cm,
- Ważenie w kg i dag i zapisywanie wyników itd.

2. Ćwiczenia w tworzeniu liczb trzy i czterocyfrowych:

- Demonstrowanie liczb na liczydle łukowym do dziesiątkowego układu
pozycyjnego
- Tworzenie wszystkich liczb z trzech cyfr (6) i próby tworzenia kilku liczb z 4
cyfr oraz ich zapisywanie w tabeli dziesiątkowego układu pozycyjnego i
odczytywanie.

3. Ćwiczenia dla lepszego opanowania pisowni liczebników:

- Odliczanie w górę i w dół w określonym zakresie z dokładnym
wymawianiem liczebników,
- Dopisywanie do podanej liczby trzycyfrowej jednej cyfry i próba

odczytywania

nowej liczby, a potem zapis słowami,
- Pisanie przez jakiś czas dat słowami, np. 23 IV 1993 ( dwudziesty trzeci
kwiecień tysiąc dziewięćset dziewięćdziesiąt trzy).
- Wypełnianie odcinków opłat ( mieszkanie, przekaz, rachunek itp. ) z

pisaniem

słownie kwot do opłaty itp.,

4. Ćwiczenia na porównywanie liczb:

- Sprawdzanie kto wydał więcej pieniędzy
- Szukanie i wypisywanie liczb sąsiednich w kratkach
- Porządkowanie liczb od najmniejszej do największej i odwrotnie
- Wypisywanie liczb w kolumnach obok siebie i porównywanie z

użyciem znaków >, <, =

- Odczytywanie i wypisywanie liczb z osi liczbowej oraz

porównywanie ich znakami nierówności

- Szukanie na osi liczbowej liczb sąsiednich do danej
- Szukanie liczb odległych do danej o określoną liczbę na osi

liczbowej, w tabelkach, w pamięci

- Dodawanie i odejmowanie liczb na osi liczbowej
- Szukanie mniej więcej miejsca, między krótkimi liczbami

będzie znajdować się liczba rozpatrywana

- Sporządzanie osi liczbowej 10m, pokazując poglądowo liczbę

1000 oraz mierzenie w terenie 1 km, dzieląc go na 10
odcinków 100 metrowych

Przykładowe zadania

Zad. 1

Wyodrębnianie rzędów: jedności, dziesiątek, setek, tysięcy w

podanej liczbie (5672) - wykonanie zadania na tablicy.

Zad. 2

Zaznacz i głośno przeczytaj w jakich rzędach zapisana jest

cyfra 4.

1304, 3754, 5147, 2341, 1427, 3472, 4710, 4801

Zad. 3

W podanych liczbach podkreśl cyfrę jedności tysięcy.

4794, 1478, 2112, 5050, 7001, 3750, 8541, 6798.

Zad. 4

Oblicz wg wzoru:

5372=5•1000+3•100+7•10+2•1

6783=

4516=

5824=

9753=

7405=

Zad. 5

Porządkowanie liczb na osi liczbowej - wykonanie zadania na tablicy.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

Zad. 6

Porządkowanie liczb na osi liczbowej- wykonanie zadania na

arkuszach przygotowanych dla ucznia, sprawdzenie, wklejenie do

zeszytu.

a)

   7000 7001 7002 7003 7004 7005 7006 7007 7008 7009 7010

b)

   9000 9001 9002 9003 9004 9005 9006 9007 9008 9009 9010

Zad. 7
Wpisz najbliższe sąsiadki liczb (podział na dwie grupy) - wykonanie
zadania na arkuszach przygotowanych dla ucznia, sprawdzenie,
wklejenie do zeszytu.