MATEMATYKA - TEORIA ( I-wszy semestr )

Macierz - tablica zawierająca m*n liczb rzeczywistych zapisanych w m wierszach (rzędach) i n kolumnach.

Wymiar macierzy - para liczb naturalnych określających liczbę wierszy i kolumn macierzy.

Klasyfikacja macierzy:

1. ze wzg. na wymiar:

1. macierz prostokątna gdy m≠n

2. macierz kwadratowa gdy m=n (wyrazy a[i,j] tworzą przekątną główną)

1. macierz jednostkowa II - na głównej przekątnej są 1 a reszta wyrazów to zera.

2. ze wzg. na elementy tworzące macierz:

1. zerowa (wszystkie wyrazy = 0)

2. jedynkowa (wszystkie wyrazy = 1)

3. diagonalna (a[i,j]≠0 dla i=j i a[i,j]=0 dla dla i≠j) jest macierzą trój. dolną i górną.

4. trójkątna górna (dolna) - a[i,j]=0 dla i>j (i<j)

5. symetryczna (a[i,j]=a[j,i])

Działania wykonywane na macierzy:

1. na jednej macierzy:

1. transponowanie (odwrócenie wierszy i kolumn)

2. mnożenie macierzy przez liczbę

3. odwracanie macierzy (tylko kwadratowa i nieosobliwa [det A≠0] i macierzą odwrotną do A nazywamy macierz B jeżeli A*B=B*A=II)

4. potęgowanie macierzy (tylko macierz kwadratowa)

2. na dwóch macierzach:

1. dodawanie (A i B muszą mieć ten sam wymiar)

2. odejmowanie ( --II--)

3. mnożenie macierzy przez macierz (Amxn * Bpxq = Cmxq ;war: n=p)

4. iloczyn KRONECKERA - każdy el. macierzy A mnożymy przez całą macierz B (powstaje macierz blokowa). Własności:

1. (A+B)®C = A®B + B®C

2. A®B≠B®A

3. (A®B)trans = Atrans ® Btrans

4. α*(A®B)= (αA)®B

Charakterystyki liczbowe macierzy - liczby przyporządkowywane macierzom.

1. Ślad (tr) - liczba rzeczywista równa sumie el. na głównej przekątnej. Własności:

1. trIIn = n

2. tr(A+B)= trA + trB

3. tr(A*B)= tr(B*A)

4. tr(αA)= α trA

5. tr(A®B)= trA*trB

2. Wyznacznik macierzy (det) - det Amxn nazywamy liczbę określoną wzorem rekurencyjnym:

1. Gdy n=1: detAn= a[1,1]

2. Gdy n>1:

detA=a[1,1]*(-1)1+1*detA1x1 + a[1,2]*(-1)1+2*detA1x2+…+a[1,n]*( 1)1+n*detA1xn

Tw. LAPLACE'A:

Jeżeli macierz A=a[i,j]nxn to detA można przedstawić w postaci:

detA= a[i,1]*D[i,1]+a]i,2]*D[i,2]+…+a[i,n]*D[i,n] ;D[i,j]=(-1)i+j*detAij

lub

detA= a[1,j]*D[1,j]+a]2,j]*D[2,j]+…+a[n,j]*D[n,j] ;D[i,j]=(-1)i+j*detAij

Własności wyznacznika:

a) An -T1 B, to detB= α*detA ;T1- α*a[i,j]

b) A -T2-> B, to detB= - detA ;T2- zamiana miejscami wierszy/kolumn

c) A -T3 B, to detB=detA ;T3 - dodawanie wierszy/kolumn

3. Rząd (rz) - liczba rzeczywista równa stopniowi macierzy jednostkowej otrzymanej po przekształceniach elementarnych na macierzy. Własności:

1. rzIIn (macierzy jednostkowej) = n

2. rz A=0 A jest macierzą zerową

3. 0 =< rz Anxm=< min. (m,n)

4. rzA = rzAtrans

5. Amxn T1 lub/i T2 lub/i T3 B to rzA = rzB

Związki między rzędem i wyznacznikiem:

1. detAn≠0 rzA=n

2. rzAn=n det An ≠0

wektor - ciąg liczb rzeczywistych (a1, a2,…, an) o wyrazach a[i] € R o postaci [a1,a2…an]T , gdzie a1,a2…an to składowe wektora.

n-wymiarową przestrzenią wektorową (Rn) nazywamy zbiór wszystkich wektorów zawierających n składowych.

Działania na wektorach:

1. Dodawanie wektorów należących do jednej przestrzeni (przemienność, łączność, el. neutralny 0, el. przeciwny)

2. Mnożenie wek. Przez liczbę (rozdzielność mnożenia wzg. sumy dwóch wek.; łączność)

3. ILOCZYN SKALARNY

a o b = a1*b1+…+an*bn

a o b = |a|*|b|*cos(a,b)

Liniową przestrzenią wektorową nazywamy (uporządkowaną czwórkę składającą się ze zbioru wszystkich wektorów n- składowych) strukturę algebraiczną składającą się z:

1. zbioru Rn

2. zbioru wektorów V

3. działań wewnętrznych (+)

4. działań zewnętrznych (-)

liniowa kombinacja - sposób do zrobienia nowych wektorów.

Wektor nazywamy liniową kombinacją wek. a1, a2…ak należących do przestrzeni Rn, gdy:

a= α1a1 + α2a2+...+αkak ;α1...αk należą do R - współczynniki liniowej kombinacji

Układ wek. a1…ak nazywamy liniowo ZALEŻNYM α1..αk≠0 i α1a1+…+αkak=0

Układ wek. jest liniowo NIEZALEŻNY równanie α1a1+…+αkak=0 jest prawdziwe α1=…=αk=0

Własności:

a. rzAn=n układ wektorów jest liniowo niezależny

b. rzAn<n układ wektorów jest liniowo zależny

Baza Przestrzeni Wekt. Rn - każdy układ n-wektorów a1,a2…an € Rn liniowo niezależnych.

Aby wektory tworzyły bazę to:

1. ilość wektorów n = n w przestrzeni Rn

2. rz[a1,a2…an]=n czyli det[a1,a2…an]≠0

Przestrzeń wektorowa - niepusty zbiór L taki, że:

/\ a+b€L /\ i /\ a*α € L

a,b€L i a€L α€L

Bazą liniowej podprzestrzeni wektorowej (L) nazywać będziemy a1,a2…ak € Rn spełniające warunki:

1. wektory są liniowo niezależne

2. jeżeli do układu wektorów dołączymy dowolny wektor ze zbioru L to układ ten jest układem wektorów liniowo zależnym.

Stożek algebraiczny (S) - nazywać będziemy zbiór wszystkich wektorów € Rn , które są liniowymi kombinacjami wektorów o współczynnikach NIEUJEMNYCH:

(α1…αk>0).

Wielościan wypukły (W) utworzony przez wek. a1…ak nazywać będziemy podzbiór przestrzeni wektorowej utworzony przez wszystkie liniowe kombinacje wek. o współczynnikach NIEUJEMNYCH SUMUJĄCYCH SIĘ DO JEDYNKI:

(α1…αk>0 i α1+...+αk=1)

Rozmaitość liniowa (P) wyznaczona przez wek. a1…ak nazywać będziemy podzbiór przestrzeni wektorowej utworzonej przez liniowe, wypukłe kombinacje wektorów, których współczynniki SUMUJĄ SIĘ DO JEDYNKI:

(α1+…+αk=1)

Układ równań - o niewiadomych x1, x2,…,xn nazywamy liniowym jeżeli można go zapisać w postaci:

| a1,1*x1 + a1,2*x2+…+ a1,n*xn=b1 |

| ……………………………... | Ax=b

| am1*x1+ am2*x2+…+amn*xn=bm |

Rozwiązaniem układu równań nazywać będziemy układ liczb x1..xn spełniający każde równanie

Lub

Rozwiązaniem układu równań jest wektor X=[x1…xn]T , którego składowe spełniają równanie:

X={x: x€Rn i Ax=b}

TW. Croneckera-Capelli'ego - układ równań liniowych Ax=b ; Amxn, bmx1, x€ Rn posiada rozwiązanierzA=rz[A|b]

Z: rzA≠rz[A|b] T: układ równań Ax=b jest sprzeczny

Z: rzA=rz[A|b]=n T: układ oznaczony

Z: rzA=rz[A|b]=r<n T: układ nieoznaczony

TW. Cramera - układ n równań liniowych o n niewiadomych Ax=b nazywamy układem równań Cramera detA≠0.

Układ Crameta ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem:

detAk

xk= ----------- ; dla k=1,2,…,n ; k-ilość rozwiązań układu

detA

Jednorodny układ równań - układ postaci Ax=Ø gdzie A=a[i,j]mxn, x€Rn , Ø€Rm. Własności:

1. Układ jednorodny posiada zawsze rozwiązanie, bo rzA=[A| Ø]

2. rzA=n (detA≠0) to układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie i jest nim wektor zerowy!

3. rzA=r<n (det=0) posiada rozwiązanie niezerowe

Nieoznaczony układ równań w warunkiem brzegowym - Ax=b i xj≥0. Zbiór rozwiązań takiego układu może być:

1. zbiorem pustym

2. zbiorem jednoelementowym

3. wielościanem wypukłym (wierzchołki tego wielościany wyznaczają rozwiązania bazowe układu równań o niezmiennych składowych α1+…+αn=1 i αn≥0)

4. nieograniczonym wielościennym zbiorem wypukłym (jeżeli w każdym rozwiązaniu bazowym, w każdym wektorze niegazowym występuje przynajmniej jedna współrzędna ujemna).

Układ nierówności liniowych - nierówność postaci:

a1*x1 +…+ an*xn <(≤) b1 lub w postaci macierzowej: Ax≤(<)b

Rozwiązaniem nierówności liniowej nazywamy układ liczb x1…xn spełniający tę nierówność lub każdy wektor X=[x1…xn]T, którego składowe spełniają nierówność.

Jeżeli zbiór X rozwiązań układu nierówność jest zbiorem pustym, to układ jest sprzeczny (niezgodny).

Jeżeli zbiór X rozwiązań układu nierówności zawiera przynajmniej 2 elementy, to jest zbiorem wypukłym.

Jeżeli zbiór X może być:

1. zbiorem jednoelementowym X={(x1,x2…xn)}

2. wielościanem wypukłym (α1+…+αn=1 i αn≥0)

3. wielościennym zbiorem wypukłym(?)

1

---