1. Różniczka zupełna funkcji. Definicja i zastosowania.

Jest to rozszerzone pojęcie różniczki dla funkcji wielu zmiennych. Różniczka zupełna funkcji to suma iloczynów pochodnych cząstkowych każdej zmiennej i nieskończenie małych przyrostów danej zmiennej niezależnej. Dla danej funkcji wielu zmiennych f(x₁, x₂, … , x_n), dla której istnieją wszystkie pochodne cząstkowe dla każdej zmiennej, różniczkę zupełną zapisujemy jako wyrażenie: $\text{df} = \frac{\partial f}{\partial x_{1}}dx_{1} + \frac{\partial f}{\partial x_{2}}dx_{2} + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_{n}}dx_{n}$. Różniczka zupełna znajduje zastosowanie przy obliczaniu błędów pomiarów, gdy znane są dokładności z jakimi mierzone są poszczególne parametry. Maksymalny błąd pomiaru dany jest w postaci: f = f(x+x, y+y) − f(x, y), gdzie x i y to odpowiednio dokładności (błędy) pomiaru parametrów x i y. Przy czym w obliczeniach stosuje się pierwszy z podanych wzorów. Różniczkę zupełną wykorzystuje się również przy obliczaniu przybliżonych wartości wyrażeń. Jeżeli przyrost funkcji z = f(x,y) w punkcie z= (x, y) wyrażony jest w postaci różniczki zupełnej, to funkcję tą nazywamy różniczkowalną.

2. Operatory różniczkowe: grad, div, laplasjan, operator nabla.

Operator różniczkowy to operator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych wykorzystujący pojęcie pochodnej bądź różniczki funkcji. Operatory różniczkowe mogą działać zarówno na funkcje jednej jak i wielu zmiennych, na funkcje skalarne i wektorowe. Gradient to pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w poszczególnych punktach. Jest to wektor ukazujący szybkość, z jaką funkcja rośnie lub maleje w każdym kierunku. Jego składowymi są pochodne cząstkowe każdej zmiennej. W przypadku funkcji dwóch zmiennych zapisujemy jako: $\nabla f\left( x,y \right) = \text{grad}\ f\left( x,y \right) = \left( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial f}{\partial x}i + \frac{\partial f}{\partial y}j$. Operatory różniczkowe gradientu to: operator nabla ∇ i grad. Operator nabla dla dwóch zmiennych ma postać: $\nabla\ = \left( \frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial x}i + \frac{\partial}{\partial y}j$. Jeśli dana funkcja f jest polem skalarnym, to potraktowanie nabli jako funkcji pola skalarnego daje pole wektorowe nazywane gradientem (grad f). Operator nabla wykorzystywany jest przy zapisie innych operatorów różniczkowych (dywergencja, laplasjan, rotacja). Dywergencja (div) – inaczej rozbieżność pola wektorowego. Jest to iloczyn operatora nabla i pola wektorowego: $\overrightarrow{V} = \left( P,Q,R \right)$ , to $\text{div}\overrightarrow{V} = \nabla\ \ \overrightarrow{V} = \left( \frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)\ \ \left( P,Q,R \right) = (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z})$. Określa ona źródłowość pola, jeśli $\text{div}\overrightarrow{V} = 0$ to pole jest bezźródłowe. Laplasjan nazywany również operatorem Laplace'a to operator różniczkowy drugiego rzędu. Jest to suma pochodnych cząstkowych drugiego rzędu dla danej funkcji wielu zmiennych. Jest to pomnożony przez siebie operator nabla i ma postać: $\nabla^{2} = \nabla\ \ \nabla = \left( \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}},\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}},\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} \right)$. Dla funkcji f(x,y,z): $\nabla^{2}f = \left( \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} \right)$.

3. Pochodna kierunkowa.

Pochodna kierunkowa charakteryzuje przyrost wartości funkcji w kierunku ustalonego wektora, jest to uogólnienie pochodnej cząstkowej, w której wspomniane wektory są równoległe względem osi układu. Pochodna kierunkowa jest liczbą. Z definicji pochodna kierunkowa funkcji f(x,y) w kierunku wektora u dana jest wzorem: $D_{u}f\left( x,y \right) = \operatorname{}\frac{f\left( x + h\text{cosθ},y + h\text{sinθ} \right) - f(x,y)}{h}$. W uproszczeniu, pochodną tę oblicza się jako iloczyn gradientu funkcji f oraz wektora $\overrightarrow{u}$, przy czym wektor $\overrightarrow{u}$ jest wektorem jednostkowym (jego długość wynosi 1) oraz funkcja jest różniczkowalna po x i y: $D_{u}f\left( x,y \right) = \text{grad}\ f\left( x,y \right)*\ \overrightarrow{u}$. Aby sprowadzić dowolny wektor do wektora jednostkowego korzystamy ze wzoru $\overrightarrow{u} = (\text{cosα},\ \ \text{sinα})$ jeśli mamy podany kąt nachylenia α lub $\overrightarrow{u} = (\frac{a_{x}}{\overrightarrow{|a|}},\ \ \frac{a_{y}}{\overrightarrow{|a|}})$ jeśli mamy podane współrzędne ax, ay. Mnożenie wektorów: $\overrightarrow{a}*\overrightarrow{b} = a_{x}b_{x} + a_{y}b_{y}$.

4. Prawo Darcy’ego.

Fundamentalny wzór opisujący zależność między prędkością filtracji płynu przepływającego w ośrodku porowatym $\overrightarrow{u}$ a występującym gradientem ciśnienia grad P. Zapisuje się go w postaci wektorowej jako: $\overrightarrow{u} = - \frac{k}{\mu}\nabla p$, gdzie μ - współczynnik lepkości dynamicznej. Prawo to mówi, że wektor prędkości filtracji płynu przepływającego w ośrodku porowatym $\overrightarrow{u}$ jest wprost proporcjonalny do wziętego ze znakiem ujemnym gradientu ciśnienia ∇p i odwrotnie proporcjonalny do lepkości przepływającego płynu μ, a współczynnik proporcjonalności, zwany przepuszczalnością k jest parametrem stałym, charakterystycznym dla danego ośrodka porowatego.

5. Całka ogólna i szczególna równania różniczkowego zwyczajnego.

Równanie różniczkowe zwyczajne to równanie, w którym występują stałe, funkcje niewiadome oraz pochodne funkcji niewiadomych. W równaniach różniczkowych zwyczajnych funkcje niewiadome zależą od jednej zmiennej niezależnej. Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu n można przedstawić w postaci: f(x,y,y^′,y^″,…, y⁽ⁿ⁾) = 0. Proces znajdowania rozwiązań równania różniczkowego nazywamy całkowaniem równania różniczkowego. Rozwiązaniem albo całką równania różniczkowego nazywamy każdą funkcję y=y(x) mającą pochodne do rzędu n włącznie i spełniającą dane równanie różniczkowe dla każdego x z pewnego przedziału (a,b). Całką (rozwiązaniem) ogólną równania różniczkowego zwyczajnego jest funkcja postaci f(x , C₁, C₂,…, C_n), gdzie C jest nieznaną stałą. Całką (rozwiązaniem) szczególną nazywamy całkę otrzymaną z całki ogólnej, dla której wyznaczono wartości stałych C (na podstawie danych warunków początkowych).

6. Równania różniczkowe cząstkowe rzędu 2-go. Klasyfikacja, warunki graniczne, równania: Laplace’a, falowe, przewodnictwa cieplnego.

Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy równanie różniczkowe, w którym występuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej zmiennych i jej pochodne cząstkowe. Rzędem równania różniczkowego cząstkowego nazywamy największy rząd pochodnej funkcji niewiadomej występujący w tym równaniu. Jest to równanie postaci: (F(x,y,u(x,y)), $\frac{\partial u}{\partial x},\ \frac{\partial u}{\partial y},\ \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},\ \frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}$)= 0. Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe rzędu drugiego o niewiadomej funkcji u(x,y) dwóch zmiennych niezależnych x i y możemy zapisać jako: $A\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \ 2B\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y} + \ C\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} + a\frac{\partial u}{\partial x} + b\frac{\partial u}{\partial y} + \text{cu} + d = 0$, gdzie A, B, C, a, b, c, d - są danymi funkcjami dwóch zmiennych x i y o ciągłych pochodnych w pewnym obszarze płaskim D. Wyznacznikiem równania jest wyrażenie: ∂ = B² − 4AC. Klasyfikacja: a) równanie hiperboliczne ∂ = B² − 4AC > 0 - rozwiązanie oscylacyjne, np. równanie falowe (ważne w mechanice kwantowej, opisuje falę de Broglie'a), $\frac{\partial^{2}T}{\partial t^{2}} = \frac{1}{C}*\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}$ b) równanie paraboliczne ∂ = B² − 4AC = 0 – równanie przewodnictwa cieplnego (opisujące przepływ ciepła przy zadanym jego początkowym rozkładzie w ośrodku oraz przy określonych warunkach brzegowych), $\ \frac{\partial T}{\partial k} = k*\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}$ c) równanie eliptyczne ∂ = B² − 4AC < 0 - opisuje stan ustalony, brak zmiennej czasowej, np. równanie Laplace’a (opisuje ono wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. potencjał grawitacyjny poza punktami źródeł pola) ∇²p = 0, $\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}} + \frac{\partial T}{\partial y^{2}} = 0$. Warunki graniczne: brzegowe (na powierzchni lub linii granicznej), początkowe (dla czasu t=t₀). Warunki brzegowe: 1) warunek Dirichleta - wartość funkcji na brzegu jest znana, 2) warunek Neumanna- określona jest interakcja z brzegiem, np., wpływ do obszaru, wypływ, przyłożona siła. W szczególności warunek Neumanna pozwala zdefiniować brzeg nieprzepuszczalny, 3) warunek trzeciego rodzaju (Robina, Fouriera) - warunek ten definiuje wzajemną zależność (nieznanej) wartości rozwiązania oraz (nieznanej) pochodnej normalnej na brzegu.

7. Funkcje: Ei, Erf, Erfc.

Są to tzw. funkcje specjalne - funkcje, które nie są funkcjami elementarnymi, a jednocześnie odgrywają ważną rolę w wielu dziedzinach nauki. Zostały szczegółowo przebadane i stablicowane. Podstawowe funkcje specjalne są rozwiązaniami równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego, o zmiennych współczynnikach. Funkcja Ei (x) to tzw. funkcja całkowo – wykładnicza, dla argumentu ujemnego przyjmuje postać: $E_{i}\left( - x \right) = \int_{- \infty}^{- x}{\frac{e^{t}}{t}\text{dt}}$, dla argumentu dodatniego: $E_{i}\left( x \right) = \int_{- \infty}^{x}{\frac{e^{- t}}{t}\text{dt}} = - \int_{x}^{\infty}{\frac{e^{- t}}{t}\text{dt}}$. Do obliczeń stosuje się jednak wzór: E_i (-x) = ln (γ*x), gdzie γ = e^c = e^0, 577 ≈ 1, 781. Funkcja Erf (x) to tzw. funkcja (całka) błędu Gaussa zdefiniowana jest jako $\operatorname{erf}\left( x \right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{{- t}^{2}}\text{dt}$. Własności: erf(0) = 0, erf(x) = 1, erf(x) = −1,  erf(−x) = -erf(x), pochodna tej funkcji wynosi: $\frac{d}{\text{dx}}\left( \operatorname{erf}\left( x \right) \right) = {\frac{2}{\sqrt{\pi}}e}^{{- x}^{2}}$. Jeśli $x > 1,5\operatorname{to\ erf}\left( x \right) > 0,96,$ jeśli $x > 2\operatorname{to\ erf}\left( x \right) > 0,99$. W przybliżeniu dla |x|>2,46 erf(x) = +/- 1. Wartości dla konkretnego argumentu oblicza się w sposób numeryczny lub oblicza się argument funkcji i stosuje jedno z dwóch przybliżeń: dla |x|<0,01 $\text{ER}\left( x \right) = \sqrt{1 - \exp(\frac{- 4x^{2}}{\pi})}$, dla |x|>0,01 $\text{ER}\left( x \right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}x$. Funkcja Erfc (x) to tzw. uzupełniająca funkcja błędu i jest dana wzorem: $\operatorname{erf}{c\left( x \right)} = 1 - \operatorname{erf}\left( x \right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{{- t}^{2}}\text{dt}$. W celu jej obliczenia najpierw oblicza się wartość funkcji erf(x), a następnie korzysta z podanej zależności.

8. Współrzędne walcowe i sferyczne, operatory różniczkowe w różnych układach współrzędnych.

Walcowy (cylindryczny) układ współrzędnych to układ współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Każdy punkt P przestrzeni zapisuje się w postaci trójki współrzędnych (ρ,φ,z), gdzie: ρ - odległość od osi OZ rzutu punktu P, na płaszczyznę OXY; φ - kąt pomiędzy osią dodatnią OX a odcinkiem łączącym rzut punktu P na płaszczyznę OXY z początkiem układu współrzędnych; z - odległość rzutu punktu P na oś OZ od początku układu współrzędnych. Zależności z układem kartezjańskim: x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z, $\rho = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$, φ = arctg(y/x). Gradient we współrzędnych walcowych: $\overrightarrow{\nabla} = \hat{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} + \frac{\hat{\varphi}}{\rho}*\frac{\partial}{\partial\varphi} + \hat{z}\frac{\partial}{\partial z}$, dywergencja: $\overrightarrow{\text{div}\overrightarrow{A} = \nabla}*\overrightarrow{A} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(A_{\rho}\rho) + \frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}$ gdzie $\overrightarrow{A} = A_{\rho}\hat{\rho} + A_{\varphi}\hat{\varphi} + A_{z}\hat{z}$ . Współrzędnymi sferycznymi są: długość wektora $\overrightarrow{a}$, kąt biegunowy ϑ jaki tworzy wektor $\overrightarrow{a}$ z dodatnią półosią OZ oraz kąt azymutalny φ. Związek ze współrzędnymi kartezjańskimi jest następujący: a_x = asinϑcosφ, a_y = asinϑsinφ, a_z = acosϑ.

9. Strumień wektora przez powierzchnię, tw. Gaussa.

Strumień wektora jest to skalarny iloczyn wektora i wektora reprezentującego powierzchnię – prostopadłego do powierzchni. Strumień wektora $\overrightarrow{n}$ możemy zapisać jako: $\Phi_{n} = \overrightarrow{n}$ *$\overrightarrow{S}$, gdzie $\overrightarrow{S}$ - wektor reprezentujący powierzchnię. W ogólnym przypadku: $\Phi_{n} = \int_{S}^{}\overrightarrow{n}*\overrightarrow{\text{dS}}$ Inaczej można zapisać: $q = \overrightarrow{u}*\overrightarrow{n}*S$, gdzie q – strumień wektora $\overrightarrow{n}$ przez powierzchnię S, $\overrightarrow{u}$ – wektor normujący, S – pole. Tw. Gaussa to prawo wiążące pole elektryczne z jego źródłem, czyli ładunkiem elektrycznym. Natężenie pola elektrycznego jest polem wektorowym i spełnia twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego (umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową i na odwrót, w której funkcją podcałkową po objętości jest dywergencja pola wektorowego): $\int_{S}^{}{\overrightarrow{A}*d\overrightarrow{S} = \int_{V}^{}{\left( \nabla*\overrightarrow{A} \right)\text{dV}}}$. Tw. Gaussa mówi, że: Strumień natężenia pola elektrycznego, przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą w jednorodnym środowisku o bezwzględnej przenikalności dielektrycznej ε, jest równy stosunkowi całkowitego ładunku znajdującego się wewnątrz tej powierzchni do wartości tejże przenikalności. Dla próżni przyjmuje postać: $\Phi = \int_{S}^{}\overrightarrow{E}*\overrightarrow{\text{dS}} = \frac{1}{\varepsilon_{0}}\int_{V}^{}\rho\overrightarrow{\text{dV}} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}$. W ujęciu różniczkowym (dla próżni) prawo Gaussa mówi, że dywergencja natężenia pola elektrycznego równa jest ilorazowi gęstości ładunku i przenikalności elektrycznej próżni: $\nabla*\overrightarrow{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$.

10. Równanie ciągłości w ośrodku porowatym.

Równanie ciągłości jest matematyczną postacią prawa zachowania dla ośrodków ciągłych. Ma liczne zastosowania, np. do wyrażenia zasady zachowania ładunku, zasady zachowania masy. Można również określi równanie ciągłości dla ośrodka porowatego (we współrzędnych prostokątnych): $\frac{\partial}{\partial t}(\text{ρφ}) + \frac{\partial}{\partial x}\left( \rho v_{x} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( \rho v_{y} \right) + \frac{\partial}{\partial z}\left( \rho v_{z} \right) = 0$, np. równanie ciągłości przepływu dla ośrodka porowatego, które jest jednym z podstawowych równań hydrodynamiki podziemnej. Wyraża ono przy pomocy parametrów hydrodynamicznych zasadę zachowania masy. Od równania ciągłości przepływu występującego w ogólnej mechanice płynów równanie dla ośrodka porowatego odróżnia się występowaniem kilku dodatkowych parametrów charakterystycznych dla ośrodków porowatych. W przypadku przepływów jednofazowych ma ono postać (we współrzędnych prostopadłych): $h\frac{\partial}{\partial t}\left( \text{ρφ} \right) + \frac{\partial}{\partial x}\left( \rho hv_{x} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( \rho hv_{y} \right) + \frac{\partial}{\partial z}\left( \rho hv_{z} \right) + \rho hq = 0$, gdzie: h – parametr geometryczny (dla przepływu 3D h=1), ρ – gęstość płynu, φ – porowatość ośrodka, $\overrightarrow{v}$ – wektor prędkości filtracji (v_x,v_y,v_z), q –intensywność źródeł, (x,y,z) – współrzędne prostokątne, t – czas.

11. Równanie filtracji płynu w ośrodku porowatym, przepływ stacjonarny i niestacjonarny.

Równanie opisujące filtrację płynu w ośrodku porowatym dane jest w postaci ogólnej jako: $\text{φcρ}\frac{\partial p}{\partial t} - div\left( \frac{\text{ρk}}{\mu}\text{gradp} \right) = 0$. Przy założeniu, że płyn jest nieściśliwy (ρ,φ – const.) po przekształceniu otrzymujemy równanie: $\frac{\partial m}{\partial t} = \frac{k}{\text{φμc}}*\text{div}\left( \text{gradm} \right)$, gdzie $m\left( p \right) = \frac{1}{\frac{\rho}{\mu}*r}$ . Dla cieczy ściśliwych natomiast równanie to przyjmuje postać: $\frac{\partial m}{\partial t} = \frac{k}{\text{φμc}}\nabla^{2}m$. Przepływ stacjonarny (ustalony) to przepływ w którym w każdym punkcie obszaru zajętego przez płyn jego prędkość nie zmienia się, składowe wektora prędkości nie są funkcjami czasu. Przy takim założeniu równania opisujące ruch płynu (Naviera-Stokesa i ciągłości przepływu) przybierają prostsze formy. Przepływ niestacjonarny to ruch płynu, w którym co najmniej jedna składowa wektora prędkości płynu jest funkcją czasu. Inaczej mówiąc jest to ruch płynu zmieniający się w czasie. Przepływ laminarny może być stacjonarny lub niestacjonarny, natomiast przepływ turbulentny z definicji jest zawsze niestacjonarny.

12. Pola skalarne i wektorowe.

Pole skalarne – jest to przypisanie każdemu punktowi pewnego obszaru, pewnej wielkości skalarnej (liczby lub wielkości mianowanej). Jest jednym z rodzajów pola fizycznego. Z matematycznego punktu widzenia pole skalarne jest funkcją określoną w przestrzeni (w szczególności na płaszczyźnie lub innej powierzchni), której wartościami są liczby z ustalonego zbioru (rzeczywiste lub zespolone). Pole skalarne obrazuje się przez podanie wartości pola w wybranych punktach lub przez połączenie punktów o jednakowej wartości liniami lub powierzchniami (np. izobary, izohipsy, izobaty itp.). Przykłady pól skalarnych: pole gęstości, ciśnienia, temperatury. Pole wektorowe to funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową. Innymi słowy jest to obszar przestrzeni, w którego każdym punkcie określona jest pewna funkcja wektorowa. Np. pole grawitacyjne (reprezentowane przez wektor natężenia pola grawitacyjnego), pole elektryczne (wektor natężenia pola elektrycznego). Ogólnie pole wektorowe można określić jako przyporządkowanie: $\overrightarrow{V}:\ R^{n} \rightarrow R^{n}$. Dla trzech wymiarów możemy przedstawić pole wektorowe jako: $\overrightarrow{V}\left( x,y,z \right) = (P\left( x,y,z \right),Q\left( x,y,z \right),R(x,y,z))$.

13. Pole potencjalne.

Pole potencjalne - pole sił, w którym praca wykonywana podczas przesuwania jakiegoś ciała nie zależy od toru, po którym porusza się ciało, a jedynie od jego położenia początkowego i końcowego. Polem potencjalnym jest np. pole grawitacyjne i pole elektryczne. Pole wektorowe $\overrightarrow{V} = \left( P,Q,R \right)$ nazywamy potencjalnym wtw. $\exists du = Pdx + Qdy + Rdz = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \ \frac{\partial u}{\partial y}dy + \frac{\partial u}{\partial z}\text{dz}$ przy czym funkcje u : R³ ∋ (x, y, z)→u(x,y,z) nazywamy potencjałem pola wektorowego $\overrightarrow{V}$. W praktyce aby sprawdzić czy pole jest potencjalne (czy istnieje potencjał) sprawdza się czy spełnione są następujące warunki: $\frac{\partial P}{\partial y} = \ \frac{\partial Q}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial z} = \ \frac{\partial R}{\partial y},\ \frac{\partial P}{\partial z} = \ \frac{\partial R}{\partial x}$.

14. Przybliżone metody rozwiązywanie równań algebraicznych.

Pierwszą czynnością jest wyznaczenie przybliżenia „grubego” rozwiązania danego równania. W tym celu korzystamy z metody graficznej (rozbijamy równanie na dwie funkcje i rysujemy ich wykresy – odcięte punktów przecięcia krzywych są rozwiązaniami równania) lub metody podstawiania (podstawianie wartości aby osiągnąć wynik jak najbliższy zeru). Następnie dokonujemy szacowania dokładnego jedną z trzech metod: 1) Metoda cięciw: wybieramy możliwie wąski przedział <a,b> zawierający rozwiązanie „grube” (f. ma różne znaki na końcach przedziału), korzystamy ze wzoru: $x_{1} = a - f\left( a \right)*\frac{b - a}{f\left( b \right) - f(a)}$ , jeśli rozwiązanie jest niewystarczająco dokładne to powtarzamy dla przedziału <x₁,b> itd. 2) Metoda stycznych: korzystamy ze wzoru $x_{1} = x_{0} - \frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}$, a następnie $x_{2} = x_{1} - \frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}$ itd. aż do uzyskania odpowiednio dokładnego rozwiązania. 3) Metoda iteracji: aby można było zastosować tę metodę należy z równania wyznaczyć „x” (z dowolnego przekształcenia) i sprawdzić warunek zbieżności: |φ^′(x₀)| < 1. Jeśli warunek spełniony to obliczamy kolejno (aż do osiągnięcia odpowiedniej dokładności): x₁ = φ(x₀),   x₂ = φ(x₁) itd. przy czym φ pochodzi z przekształconego wcześniej równania (wyznaczonego „x”): x = φ.