Funkcja- jeśli każdemu elementowi zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element y zbioru Y to dla każdego zbioru X jest określona pewna funkcja f
Sposób przyporządkowania danych elementów określony jest poprzez zbiór funkcji y=f(x)
Zbiór X jest dziedziną funkcji, zbiór określoności funkcji
Zbiór Y jest przeciwdziedziną lub zbiorem wartości funkcji
x - argument funkcji y - wartość funkcji

Własności funkcji:

1. Ograniczoność funkcji - funkcję f(x) określoną w zbiorze X nazywamy określoną z góry w X gdy istnieje takie M i x∈X ze f(x)<=M

Funkcja f(x) określoną w zbiorze X nazywamy ograniczoną z dołu w tym zbiorze gdy istnieje takie m i x∈X to f(x)=>m

Funkcje f(x) ograniczoną z góry i z dołu w X nazywamy ograniczoną w tym zbiorze gdy istnieje takie M i x∈X to |f(x)|<=M

2. Monotoniczność funkcji:
   Funkcja f(x) określoną w zbiorze X nazywamy rosnącą w tym zbiorze gdy x∈X x₁>x₂ to f(x₁)>f(x₂)
   W miarę rosnących argumentów rośnie wartość funkcji.
   Funkcja f(x) określoną w zbiorze X nazywamy malejącą w tym zbiorze gdy x∈X x₁ >x₂ to f(x₁)<f(x₂).
   W miarę rosnących argumentów maleje wartość funkcji.
   Funkcje rosnące i malejące określane są nazwą funkcji ściśle monotonicznych.
   Funkcje f nazywamy rosnącą jeśli dla dowolnych x1, x2 ∈e A zachodzi x1<x2=>f(x1)<=f(x2)

Funkcje f nazywamy malejąca jeśli dla dowolnych x1, x2 ∈e A zachodzi x1<x2=>f(x1)=>f(x2)

3. Parzystość funkcji
   Funkcja jest parzysta x, -x € X f(-x)=f(x)
   Funkcja jest nieparzysta x, -x € X f(-x)=-f(x)
   

4. Różnowartościowość funkcji- tzn. taka funkcja f: xy że dla dowolnych x1, x2 ∈ x zachodzi warunek: Funkcja f(x) jest różnowartościowa gdy x_1≠x₂ to f(x₁)≠ f(x₂)

Funkcja której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich nazywamy ciągiem liczbowym.

Twierdzenie de L'Hospitala

Warunki twierdzenia:

1. Jeżeli jednocześnie są spełnione następujące założenia
   i
   są określone w pewnym otoczeniu punktu X₀

2. 
   

3. 
   i
   

4. 
   to istnieje również
   

Twierdzenie to jest spełnione w przypadku gdy x
oraz dla granic jednostkowych

Całkowanie
Całka nieoznaczona

Pojęcie pierwotnej funkcji - załóżmy że f(x) jest pochodną pewnej funkcji F(x).
Funkcji F(x) jest funkcją pierwotną
Wyznaczanie funkcji pierwotnej danej funkcji f(x) nazywamy całkowanie funkcji f(x). Całkowanie jest działaniem odwrotnym względem różniczkowania i nie jest działaniem jednoznacznym co okresla nastepujące twierdzenie.
Jeżeli funkcja f(x) jest funkcją pierwotną f(x) to F(x) + C gdzie C jest dowolną stałą jest również funkcją pierwotną f(x).
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) i oznaczamy symbolem
.
Funkcje f(x) nazywamy funkcją podcałkową a litere X nazywamy zmienna całkowania.

Podstawowe własności całki nieoznaczonej

1. Jeżeli funkcja f(x) ma w pewnym przedziale funkcją pierwotną a k jest dowolną stałą liczbą różną od 0 to całka
   

2. Jeżeli funkcje f(x) i g(x) mają funkcje pierwotną w pewnym przedziale to
   
   Własność ta jest prawdziwa również w przypadku gdy pod znakiem całki znajduje się dowolna liczba funkcji podcałkowej

Całkowanie przez podstawianie

Różniczką funkcji f(x) którą oznaczać będziemy przez df(x)=f'(x)dx gdzie dx nazywane jest przyrostem argumentu x.

Całkowanie przez części

Jeżeli funkcja f(x) i g(x) mają w pewnym przedziale ciągłe pochodne to zachodzi wzór całkowania przez części

Całka oznaczona

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale <a,b> i F(x) jest jakakolwiek funkcją pierwotną f(x) w tym przedziale wówczas całka oznaczona jest równa

a - dolna granica całkowania b - dolna granica całkowania

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

f(x) >=0

Jest polem obszaru ograniczonego wykresem funkcji f(x) prostymi o równaniach x=a i x=b oraz osią OX

Jeżeli f(x)<=0 to pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji prostymi o równaniach x=a i x=b oraz osią OX jest równe

Całka niewłaściwa

Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w <a,
)
Całką niewłaściwą funkcji f(x) w tym przedziale nazywamy granicę całki od
to:

Jeżeli granica ta istnieje to mówimy że całka niewłaściwa jest zbieżna

Jeżeli granice ta nie istnieje to mówimy że całka niewłaściwa jest rozbieżna

Całki niewłaściwe których dolna lub górna granica są ∞ nazywamy całkami niewłaściwymi pierwszego rodzaju.

Całki niewłaściwa drugiego rodzaju

- funkcja jest nieograniczona w dolnej granicy całkowania

- funkcja jest nieograniczone w górnej granicy całkowania

Jeśli całki te są skończonej wartości mówimy, że są całkami zbieżnymi.

Jeśli całki te są nieskończonej wartości mówimy że całki są rozbieżne.

Ciągi liczbowe

ciągiem nazywamy funkcje której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych a więc są to funkcje F: NX

Silnie rosnący an< an+1

Silnie malejący an >an+1

Granica ciągu liczbowego - liczba g jest granicą ciągu {an}a=1 jeśli dla każdego ∑>0 istnieje także liczba δ>0 że dla każdego n>δ spełniona jest nierówność

|an-g|<∑ -∑< an<∑ g-∑ <an< g+∑

Twierdzenia o ciągach :

1. Każdy ciąg ma co najmniej jedną granice

2. Ciąg stały {C}n=1 gdzie C jest dowolną liczbą rzeczywistą jest zbieżny do granicy C

3. (Lim an =0)∈>(lim |an|>0) to |an|=|an|

4. Ciąg jest ograniczony (tw. Odwrotne fałszywe)

5. Ciag monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

6. Lim an= a lim bn= b

Ciąg geometryczny

Granice minimalne ( ciagi rozbiezne do nieskończoności) Ciąg {a}n=1 jest rozbiezny to ∞; -∞ Co zapisujemy lim an = ∞ jeśli dla każdej liczby M>0 istnieje taka liczba δ>0 że anM dla każdego n>δ

Tw.1 Jeśli lim an=∞ i an≠0 to lim 1/an=0

Tw.2 Jeśli lim an=0 i an >0 to lim 1/an=∞

Tw.3 Jesli lim an=0 I an <0 to lim 1/an= - ∞

Twierdzenie o granicy 3 ciągów

Niech dane będą ciągi liczbowe {a_n}, {b_n}, {c_n} i niech będą spełnione warunki
a_n < b_n < c_n i n > N to:

to

Szeregi liczbowe

Niech dany będzie nieskończony ciąg liczb a₁ + a₂ + … + a_n + … nazywamy szeregiem liczbowym a wyrazy powyższego ciągu nazywamy wyrazami tego szeregu
a_n - ogólny wyraz tego szeregu

S_n - sumy częściowe tego szeregu

Szereg liczbowy można zapisać:

Jeżeli ciąg sum częściowych {S_n} jest zbieżny do liczby
to powyższy szereg nazywamy szeregiem zbieżnym
W przypadku gdy ciąg suma częściowych S_n nie jest zbieżny do pewnej liczby to szereg nazywamy rozbieżnym

Warunek konieczny zbieżności funkcji:

1. Jeżeli szereg liczbowy a₁+a₂+a₃+…+a_n jest szeregiem zbieżnym to
   

2. Jeżeli granica wyrazu jest równa 0 nie musi być szeregiem zbieżnym

3. Jeżeli dla szeregu o wyrazie ogólnym a_n spełniony jest warunek
   to szereg może być zbieżny

4. Jeżeli warunek 3 nie jest spełniony to szereg ten jest rozbieżny

Kryteria zbieżności szeregów liczbowych

• Kryterium porównawcze
  Rozpatrujemy dwa szeregi liczbowe o wyrazach nieujemnych
  I b₁+b₂+b₃+…..+b_n gdzie n>=1 b_n>0

II c₁+c₂+c₃+….+c_n gdzie n>=1 b_n>0
Jeżeli istnieje taka liczba naturalna n₀ gdzie n>n₀ b_n <= c_n i szereg II jest zbieżny to zbieżny jest również szereg liczbowy I, natomiast jeżeli szereg liczbowy I jest rozbieżny to szereg II również jest rozbieżny

Nie można nic powiedziec o zbieżności szeregu I jeżeli szereg II jest rozbieżny

• Kryterium d'Alanberta
  Jeżeli dla szeregu liczbowego a₁+a₂+a₃+…+a_n o wyrazach dodatnich istnieje granica
  =
  (Λ - lambda) to:
  jeżeli Λ<1 to szereg jest zbieżny
  jeżeli Λ>1 to szereg jest rozbieżny

Kryterium d'Alanberta nie rozstrzyga zbieżności funkcji gdy Λ=1

• Kryterium Canch'ego
  Jeżeli dla szeregu
  gdzie n>=1 a_n>=0 istnieje granica
  =
  to:
  jeśli
  szereg jest zbieżny
  jeśli
  szereg jest rozbieżny
  jeśli
  nie rozstrzyga to sytuacji

Granica funkcji

Liczba g jest granica funkcji f w punkcie x0 jeśli dla każdego ciągu {xn}takiego że

1. x∈So (n=1,2…)

2. lim xn= y0 ciąg {f(xn)n=1 jest zbieżny do g

Ten fakt zapisujemy że liczba g jest granica funkcji f

Ciągłość funkcji

Funkcją f jest określona w pewnym otoczeniu a=(x0-δ; x0+δ) punktu x0 Mówimy że funkcja f jest ciagła w punkcie x0 jeśli lim f(x)= f(∞)

Funkcja f jest ciagła w (a,b) jeśli jest ciągła w każdym punkcie x0∈(a,b)

Funkcja f jest ciagła w [a,b] jeśli jest ciągła w (a,b) oraz lim f(x) = f(a) lim f(x)=f(b)

Funkcja f jest ciagła w [a,b) jeśli jest ciągła w (a,b) oraz lim f(x)=f(a)

Funkcja f jest ciągła w (a,b] jeśli jest ciągła w (a,b) oraz lim f(x)=f(b)

Pochodne funkcji

Jeśli istnieje skończona granica lim g(x)=lim f(x) - f(x0)/ x-x0 to tę granice nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy przez f(x0) zatem f(x)= lim f(x)-f(x0)/x-x0

MACIERZE

Jeżeli liczba wierszy macierzy jest równa liczbie jej kolumn, to macierz nazywamy macierzą kwadratową, a liczbę m = n nazywamy stopniem macierzy kwadratowej.

Macierz złożona z 1 wiersza nazywamy wektorem wierszowym. Natomiast macierz złożoną z 1 kolumny - wektorem kolumnowym.

Dwie macierze nazywamy równymi jeżeli w obu macierzach liczby wierszy i kolumn są odpowiednio równe i równe są odpowiadające elementy obu macierzy.

Macierz, w której wszystkie elementy są 0 nazywamy macierzą zerową.

Macierzą diagonalną (przekątniową) nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy nieznajdujące się na głównej przekątnej równają się 0.

Macierz jednostkowa nazywamy macierz, na której wszystkie elementy znajdujące się na głównej przekątnej równają się 1.

Macierz transponowana - macierz, która otrzymujemy z danej macierzy przez zamianę wierszy na kolumny z zachowaniem ich kolejności.

Suma dwóch macierzy o jednakowych wymiarach nazywamy macierz o tych samych wymiarach, których elementami są sumy odpowiadających sobie elementów danych macierzy.

Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne.

(A+B)+C=A+(B+C)

Aby pomnożyć macierz A przez liczbę rzeczywistą mnożymy wszystkie elementy tej macierzy przez ta liczbę.

Różnica dwóch macierzy o jednakowych wymiarach jest macierz o tych samych wymiarach, której elementami są różnice odpowiadających sobie elementów danych macierzy.

Mnożenie macierzy

Aby można było pomnożyć macierz A przez B, liczba kolumn macierzy A musi być równa liczbie wierszy macierzy B.

Aby pomnożyć macierz A przez B mnożymy wiersze macierzy A przez kolumny macierzy B.

Iloczyn macierzy nie jest na ogół przemienny.

Iloczyn macierzy kwadratowej stopnia n i macierzy jednostkowej tego samego stopnia jest zawsze przemienny i równy danej macierzy kwadratowej.

Jeżeli dowolna macierz mnożymy przez macierz 0 i iloczyn jest określony to w wyniku otrzymamy macierz 0.

Może się zdarzyć, że iloczyn dwóch macierzy jest macierzą zerową pomimo tego, że z czynników nie jest macierzą zerową.

Przyjmuje się, że: A⁰= I

Przekształcenia elementarne macierzy

Przekształceniami elementarnymi macierzy nazywamy następujące działania:

• pomożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza przez liczbę różną od 0

• zamiana miejscami (przestawienie) dwóch dowolnych wierszy macierzy

• dodanie wszystkich elementów dowolnego wiersza odpowiednich elementów innego wiersza pomnożonych poprzez dowolna liczbę różna do 0

Są to tzw. Przekształcenia elementarne pierwszego rodzaju.

Przekształcenia drugiego rodzaju nazywane analogicznie działaniami na kolumnach macierzy.

Macierze otrzymane z danej macierzy w wyniku przekształceń elementarnych nazywamy macierzami równoważnymi

Wyznaczniki macierzy

Każdej macierzy kwadratowej można według pewnej reguły przyporządkować pewną liczbę rzeczywistą, którą nazywamy wyznacznikiem tej macierzy

Własności wyznaczników:

- wyznacznik macierzy, w której co najmniej jeden wiersz lub jedna kolumna składa się z samych zer jest równy 0

- wyznacznik macierzy równy jest wyznacznikowi macierzy transponowanej

- przestawienie 2 wierszy/kolumn w macierzy powoduje zmianę znaku jej wyznacznika

- wyznacznik o dwóch jednakowych wierszach/kolumnach jest równy 0

- wspólny czynnik wszystkich elementów danego wiersza/kolumny można wynieść przed znak wyznacznika

- wyznacznik o dwóch proporcjonalnych wierszach/kolumnach jest równy 0

(dwa wiersze/kolumny nazywamy proporcjonalnymi jeżeli pierwszy z nich powstaje z drugiego w wyniku pomnożenia przez liczbę)

- wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie jeżeli do dowolnego wiersza/kolumny dodamy odpowiadające elementy innego wiersza/kolumny pomnożone przez dowolna liczbę

- wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowej tego samego stopnia jest równy iloczynowi tych wyznaczników macierzy

Macierz odwrotna

Macierz kwadratowa A nazywamy nieosobliwą jeżeli wyznacznik tej macierzy jest różny od 0.

Macierz A nazywamy macierzą osobliwą jeżeli wyznacznik tej macierzy jest równy 0.

Jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą to istnieje do niej macierz odwrotna.

Własności macierzy odwrotnej:

• Jeżeli A i B są nieosobliwymi macierzami tego samego stopnia to macierz odwrotna do tego samego stopnia to (A*B)^-1=B^-1*A^-1

• Wyznacznik macierzy odwrotnej A^-1 jest odwrotnością wyznacznika macierzy A

• Macierz odwrotna do macierzy odwrotnej A^-1 jest identyczna z dana macierzą A

• Macierz transponowana macierzy odwrotnej równa jest macierzy transponowanej

Twierdzenie dla obliczania rzędu macierzy za pomocą wyznaczników

Najwyższy stopień nieosobliwej podmacierzy macierzy A jest równy rzędowi macierzy A.

Układy równań liniowych

Macierz utworzoną ze współczynników przy niewiadomych x1, x1,x3… nazywamy macierzą współczynników przy niewiadomych lub macierzą podstawową układu równań liniowych.

Ogólnie układ równań liniowych może mieć niewiadomych więcej niż równań, niewiadomych tyle samo co równań lub niewiadomych mniej niż równań

Jeżeli wektor wyrazów wolnych b jest wektorem zerowym to układ równa liniowych nazywamy układem równań liniowych jednorodnych.

Układ równań linowych jednorodnych nigdy nie jest równaniem sprzecznym. Można udowodnić twierdzeniem istnienie nietrywialnego rozwiązania układu równań liniowych jednorodnych

Twierdzenie:

Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia nietrywialnego rozwiązania układu równań liniowych jednorodnych jest to aby rząd r(A) macierzy A współczynników niewiadomych był mniejszy od liczby niewiadomych.

Z tego twierdzenia wynika iż dowolny układ liniowy jednorodny w którym liczba równan jest mniejsza od liczby niewiadomych ma zawsze rozwiązania niezerowe.

Twierdzenie:

Warunkiem koniecznym i wsytarczajacym na to aby układ „n” równań o „n” niewiadomych miał rozwiąznia niezerowe jest aby wyznacznik tego układu równań był równy 0.

W przypadku, gdy co najmniej jeden z elementów wektora b jest różny od 0, to układ równań liniowych nazywamy układem równań liniowych niejednorodnych.

Rozwiązaniem układu równań liniowych nazywamy taki zbiór wartości niewiadomych, które wstawione do układu na miejsca niewiadomych spełniają ten układ, tzn. zamieniają go w układ tożsamości.

3 przypadki dla każdego układu równań liniowych:

- zbiór rozwiązań układu równań jest zbiorem pustym - układ nie ma rozwiązania, jest sprzeczny

- zbiór rozwiązań zawiera dokładnie jedno rozwiązanie - układ oznaczonym

- zbiór rozwiązań układu równań posiada nieskończenie wiele elementów - nieskończenie wiele rozwiązań, układ nieoznaczony.

---