Magdalena Nowaczyk

Paweł Utko

PPT:Fizyka rok II

Ćwiczenie nr10: BADANIE DRGAŃ WYMUSZONYCH

Do badania drgań może być użyty przyrząd Pohla, gdzie elementem drgającym jest metalowa, okrągła tarcza osadzona na poziomej osi. W pewnej odległości od osi obrotu do tarczy przymocowana jest jednym końcem sprężyna. Drugi koniec sprężyny jest połączony z dźwignią obracającą się na tej samej osi co tarcza. Dźwignia jest połączona przegubowo cięgnem z mimośrodową tarczą napędzaną silniczkiem prądu stałego o regulowanych obrotach. Obracający silniczek poprzez tarczę, cięgno oraz dźwignię powoduje cykliczne rozkręcanie się i skręcanie sprężyny. Wielkość odkształcenia sprężyny zależy od długości ramion dźwigni i można go w pewnym stopniu regulować przesuwając przegub. Przy wyłączonym silniczku wykonująca drgania tarcza nie powoduje ruchu drugiego końca sprężyny. W przyrządzie pohla tarcza obraca się pomiędzy dwiema cewkami zasilanymi prądem o regulowanym natężeniu. Układ taki to typowy hamulec tarczowy. Prąd płynący przez cewki wprowadza dodatkową, zadaną siłę dającą moment hamujący tarczę. Przesuwający się na tle skali, przymocowany na sztywno do tarczy wskaźnik ułatwia obserwację położenia tarczy.

Opisany przyrząd pozwala na badanie obrotowych drgań tłumionych i wymuszonych z możliwością zmian tłumienia oraz częstości momentu wymuszajacego. Włączenie silniczka jest przyczyną powstania cyklicznego momentu siły wymuszającego drgania tarczy.

Równanie ruchu tarczy przyrządu Pohla i jego rozwiązania.

1.Przypadek drgań bez wymuszenia.

Na tarczę przyrządu działają dwa momenty sił: napędzający - od spężyny M₁ = -D⁰α oraz hamujący - od płynącego w cewkach prądu I_h i od pozostałych oporów ruchu M₂ = -Cα , gdzie α jest kątem wychylenia tarczy mierzonym od położenia równowagi, α = - prędkością kątową tarczy, D0 to moment siły na jednostkowy kąt skręcenia sprężyny, C - współczynnik proporcjonalności pomiędzy prądem I_h w elektromagnesach a momentem hamującym. Wypadkowy moment działający na tarczę wynosi

M = -D⁰α - Cα

co daje następujące równanie ruchu

Iα + Cα + D⁰α = 0

gdzie I - moment bezwładności tarczy, α = - przyspieszenie kątowe tarczy. Dzieląc powyższe równanie przez I i podstawiając β = C/2I oraz = D⁰/I otrzymujemy

α + 2βα + ω₀α = 0

Widać, że jest to równanie liniowe względem α. Gdy α₁ oraz α₂ spełniaja to równanie to wolno nam napisać

a stąd wniosek, że suma poszczególnych rozwiązań jest także rozwiązaniem równanie ruchu.

Dla niedużych tłumień tzn. gdy β < ω₀ rozwiązaniem równania ruchu jest

α(t) = α₀e^-βt cos(ωt+ϕ₀)

gdzie

natomiast α₀ i ϕ₀ zależą od warunków początkowych. Amplituda α_A(t) = α₀e^-βt drgań tłumionych maleje z upływem czasu wykładniczo. Dla dwóch kolejnych amplitud α_n = α_A(t) oraz α_n+1 = α_A(t+T) spełniony jest zwiazek

Wielkość

nazywamy logarytmicznym dekrementem tłumienia.

Z równania wynika, że wprowadzenie tłumienia powoduje spowolnienie drgań, a rzeczywiste rozwiązania równania ruchu istnieją tylko dla > β². Dla β = 0 rozwiazanie opisuje ruch harmoniczny.

Jeśli > β² wcześniejsze rozwiązanie musimy zastąpić rozwiązaniem ogólniejszym

α(t) =

gdzie α₁ = α₂ =

natomiast stałe C1 i C2 zależą tylko od warunków początkowych. Jeśli w chwili t = 0 mamy α(0) = α₀ i to wynoszą one

C1 = C2 =

Dla dużych współczynników tłumienia ruch jest aperiodyczny. Tarcza powraca do położenia równowagi bez wykonywania oscylacji.

2. Wymuszone drgania tłumione.

Wprowadzenie momentu siły M_w(t) wymuszającej drgania powoduje konieczność uwzględnienia jej w równaniu ruchu. W przypadku silniczka pracującego z ustaloną częstością ω_w moment ten zmienia się harmonicznie i jest opisany równaniem

M_w = M₀sinω_wt

a uwzględniając go nowe równanie ruchu ma postać

Na początku tarcza wykonuje dwa nałożone na siebie drgania: pierwsze to omówione wyżej „swobodne” drganie gasnące, drugie to drganie niegasnące z częstością i amplitudą siły wymuszającej. Po dostatecznie długim czasie, obserwuje się tylko drgania o częstości siły wymuszającej. Opisuje się je równaniem

α_s(t) = α_w sin(ω_wt -φ)

Technika rozwiązywania równań różniczkowych w tym wypadku polega na odgadnięciu postaci rozwiązania i sprawdzeniu dla jakich wartości poszczególnych parametrów ( w naszym przypadku α_w,ω_w oraz φ ) jest ono sensowne. Równanie ruchu jest spełnione tylko wtedy, gdy

gdzie α0 = M0/I

oraz

Z analizy powyższych trzech równań wynika, że:

1. Im większy jest moment siły M₀ wymuszający drgania, tym większa jest ich amplituda α_w.

2. Przy ustalonym M₀ amplituda α_w osiąga maksymalną wartość wtedy, gdy ω_w ≅ω₀ czyli, gdy częstość siły wymuszającej drgania jest bliska częstości drgań własnych układu. Zjawisko to nazywamy rezonansem.

3. Im większy jest współczynnik tłumienia β tym mniejsza jest amplituda drgań.

4. Gdy β ≅ 0 amplituda drgań przy rezonansie rośnie do nieskończoności, co powoduje zniszczenie układu drgającego.

W trakcie wykonywania drgań drgający układ traci energię. Miarą tych strat jest dobroć układu drgającego Q określona jako pomnożony przez 2π stosunek jego energii W(t) w chwili t do energii po upływie jednego okresu W(t+T).

Jak wiadomo energia układu jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy, można więc napisać

Widać, że straty energii układu są niezależne od czasu.

1.Wyznaczanie częstości własnej drgań tarczy.

2. Wyznacznie logarytmicznego dekrementu tłumienia drgań „swobodnych”.

3.Wyznaczanie logarytmicznego dekrementu tłumienia drgań tłumionych.

4.Cechowanie obrotów silniczka.

5.Pomiar krzywych rezonansowych drgań wymuszonych.

---