POLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI	TEMAT : Sprawdzanie prawa Hooke'a. Wyznaczanie modułu Young'a.
Paweł Krukowski Elektronika i Telekomunikacja	DATA: 31.III.99 OCENA:

1. Sprawdzanie prawa Hooke'a w doświadczeniu polega na wykonaniu kilku pomiarów wydłużenia Δl stalowego drutu pod wpływem znanego obciążenia Q = mg i sporządzeniu wykresu Δl = f(Q). Wzór na obliczenie modułu Young'a przedstawia się następująco :

2. Przyrządy.

- Obciążniki 6 x 1 kg ( Δm ± 0,01 kg )

• Drut ( przed wydłużeniem 500 mm ± 1 mm )

• Przymiar liniowy

• Śruba mikrometryczna Δ = ± 0,005 mm

3. Układ pomiarowy.

1 - mikroskopy pomiarowe

2 - drut

3 - wskaźniki ograniczające

4 - obciążniki

4. Pomiar grubości drutu przed wydłużeniem (śrubą mikrometr.), oraz wyznaczenie wartości działki (za pomocą mikroskopów i śruby mikrometr.).

Średnica drutu przed wydłużeniem - d	Grubość wskaźników - q ( śruba mikrometryczna )		Grubość wskaźników - q' ( mikroskop )
( 0,890 ± 0,005 ) mm	Górny [mm]	Dolny [mm]	Górny [dz]	Dolny [dz]
( 0,890 ± 0,005 ) mm
( 0,890 ± 0,005 ) mm	0,568	0,578	2,115	2,175
( 0,890 ± 0,005 ) mm	0,565	0,580	2,115	2,165
( 0,890 ± 0,005 ) mm	0,580	0,590	2,122	2,138
( 0,890 ± 0,005 ) mm	Śred. 0,571	Śred. 0,583	Śred. 2,117	Śred. 2,156

5. Pomiary:

a) Seria pierwsza - zwiększanie ciężaru

m	górny - a [dz]	dolny - b [dz]	a średnie [dz]	b średnie [dz]	Przyrost długości Δl [mm]	Q [N]
1 kg	3,035	3,285	3,042	3,292	0,0675	9,81
		3,050					3,300
		3,040					3,290
	2 kg	3,171					3,570	3,170	3,572	0,1085	19,62
		3,168					3,571
		3,170					3,576
	3 kg	3,270					3,838	3,270	3,840	0,1539	29,43
		3,256					3,840
		3,277					3,842
	4 kg	3,400					4,178	3,410	4,170	0,2052	39,24
		3,415					4,160
		3,416					4,173
	5 kg	3,555					4,443	3,560	4,476	0,2473	49,05
		3,565					4,490
		3,560					4,495
	6 kg	3,625					4,700	3,622	4,712	0,2943	58,86
		3,610					4,725
		3,630					4,710

b) Seria druga - zmniejszanie ciężaru.

m	górny - a [dz]	dolny - b [dz]	a średnie [dz]	b średnie [dz]	Przyrost długości Δl [mm]	Q [N]
6 kg	3,624	4,711	3,626	4,719	0,2951	58,86
		3,629					4,735
		3,625					4,710
	5 kg	3,585					4,472	3,575	4,468	0,2411	49,05
		3,570					4,471
		3,570					4,460
	4 kg	3,490					4,250	3,498	4,241	0,2006	39,24
		3,500					4,241
		3,504					4,231
	3 kg	3,415					3,960	3,407	3,956	0,1482	29,43
		3,405					3,951
		3,400					3,958
	2 kg	3,292					3,688	3,292	3,686	0,1064	19,62
		3,295					3,685
		3,290					3,685
	1 kg	3,180					3,379	3,176	3,377	0,0543	9,81
		3,170					3,376
		3,177					3,375

6. Obliczenia.

Obliczanie przyrostu długości drutu :

przykład:

w - wartość działki

a - przesunięcie wskaźnika górnego

b - przesunięcie wskaźnika dolnego

przykład:

q - grubość wskaźnika mierzona za pomocą śruby mikrometrycznej

q' - grubość obrazu wskaźnika w mikroskopie

wartość działki mikroskopu górnego - w = 0,27 mm/dz

wartość działki mikroskopu dolnego - w = 0,27 mm/dz

Obliczanie ciężaru Q:

g = 9,81 [ m / s² ]

Wartości potrzebne do obliczenia modułu Young'a :

m = 6 [kg] ; g = 9,81 [m/s²] ; l = 0,5 [m] ; π = 3,14 ; d = 0,890 [mm] = 0,00089 [m]

Δl (dla m = 6 kg) = 0,2947 [mm] = 0,0002947 [m]

Wzór na obliczanie modułu Young'a (dla ostatniego punktu => m = 6 kg):

przykład:

7. Analiza błędów.

Δm ± 0,01 kg

Δl ± 0,001 m - błąd przymiaru liniowego

Δd ± 0,005 mm - błąd śruby mikrometrycznej

W celu wyliczenia błędu ΔE musimy obliczyć Δ(Δl), gdyż wzór na Δ(Δl) w skrypcie jest moim zdaniem błędny (wg. skryptu Δ(Δl) = 2Δl / (b - a) => [mm/dz], a Δ(Δl) powinno być w [mm] ), podobnie jak wzór na ΔE również jest błędny (wg. Skryptu, po zastosowaniu metody różniczki logarytmicznej błąd pochodzący od średnicy drutu - d² ( jak we wzorze na E = 4mgl / πd²l ) jest = Δd/d, natomiast po zlogarytmowaniu i zróżniczkowaniu d² otrzymamy 2/d, po przemnożeniu przez Δd otrzymamy 2Δd/d, a nie jak napisał autor ćwiczenia Δd/d). Wiemy, że Δl = w(b - a), więc najpierw, wyznaczyć musimy błąd Δw.

gdzie q , q' - średnie arytmetyczne wyznaczonych wartości,

Δq - największy możliwy błąd pomiaru mikrometrem , Δq' - mikroskopem.

Mając wzór na Δl = w (b - a) podstawmy sobie y = b - a => Δl = w * y, wtedy Δy = Δb + Δa.

Wielkości a i b mierzone były za pomocą mikroskopu, a największy możliwy błąd podczas pomiaru mikroskopem wynosi 0,001dz. W naszym przypadku Δy = 0,002 dz.

Wobec powyższego:

Teraz możemy policzyć błąd ΔE.

8. Wykres.

9. Wnioski.

Przyglądając się pomiarom i charakterystyce wywnioskować można, iż wraz ze wzrostem ciężaru rośnie wydłużenie drutu, co świadczy o poprawności wykonanego ćwiczenia.

Otrzymana charakterystyka Δl = f (Q) jest prawie prostoliniowa co potwierdza fakt, iż przyrost długości wydłużanego ciała rośnie wraz z przykładaną siłą, która powoduje jego wydłużenie.

Z analizy błędów wywnioskować można, iż pomiary zostały wykonane dość dokładnie (ΔE/E = 2,6 %), jak na tego typu doświadczenie, gdyż pomiary związane z odczytem wartości mierzonych za pomocą mikroskopu są narażone na dodatkowe błędy wynikłe z niedokładności ludzkiego wzroku.

Przyłożenie siły o wartości 58,86 N spowodowało wydłużenie druta o ok. 0,3 mm, co świadczyć może o niezbyt dużej podatności materiału na rozciąganie ( oczekiwaliśmy większych zmian długości). Z pewnością jest to związane z materiałem, z jakiego został wykonany drut.

Moduł Young'a dla badanego drutu wyniósł E = 1,61 *10¹¹ N/m² ( przykładowo dla stali E = 2,19 N/m², dla niklu E = 2,03 N/m² ), więc wnioskować można, iż badany przez nas drut był wykonany z jakiegoś stopu stali, lub niklu.

Zauważyć można, że podczas serii drugiej ( zmniejszaniu Q ) wydłużenie malało => drut wracał do stanu pierwotnego. Stąd wniosek, iż spowodowane odkształcenie było odkształceniem sprężystym. Co prawda nie określaliśmy, czy było to odkształcenie doskonale sprężyste, ale po wynikach pomiarów stwierdzić można, iż dla 1 kg ( w drugiej serii ) wydłużenie było niewielkie = 0,543. Sądzić można, że po całkowitym odciążeniu i pewnym czasie długość drutu zmalała do pierwotnej.

---