W Y K Ł A D 17

METODA MIEJSC GEOMETRYCZNYCH

1. Miejsce geometryczne na płaszczyźnie zmiennej zespolonej

W ogólnym przypadku parametr zmienny obwodu elektrycznego jest pewną zmienną zespoloną

(17.1)
, (17.2)

Funkcja
przekształca płaszczyznę Z w płaszczyznę W lub - co oznacza to samo - odwzorowuje obszar Z w obszar W. W ogólnym przypadku badana wielkość zespolona może być funkcją homograficzną

. (17.3)
, (17.4)

co oznacza odwzorowanie obszaru W w obszar Z czyli przekształcenie okręgu w okrąg lub prostą.

2. Równanie prostej na płaszczyźnie zespolonej

Równanie prostej w postaci odcinkowej (rys.17.1)
(17.5)

Rys.17.1. Prosta w postaci odcinkowej na płaszczyźnie zespolonej

Rys.17.2. Prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych

(17.6)

Po podstawieniu powyższego wzoru do (17.5), otrzymujemy

(17.7)
. (17.8)

pewna liczba zespolona
, (17.9)

równanie prostej na płaszczyźnie zespolonej

. (17.10)

(17.11) lub
. (17.11a)

Rys.17.3. Prosta prostopadła do osi rzeczywistej (17.12)

Rys.17.4. Prosta prostopadła do osi urojonej . (17.13)

3. Równanie okręgu na płaszczyźnie zespolonej

Rys.17.5. Okrąg na płaszczyźnie zespolonej

Rys.17.6. Okrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych

Dla okręgu o środku w punkcie
i promieniu R (rys.17.5), zgodnie z definicją okręgu , mamy


, (17.14)

a stąd


, (17.14a)

lub też


, (17.14b)

skąd otrzymujemy równanie okręgu na płaszczyźnie zespolonej


, (17.15)

albo, po wymnożeniu otrzymujemy


. (17.15a)

W przypadku gdy okrąg przechodzi przez początek układu współrzędnych (rys.17.6), dla
otrzymujemy, ze
i wtedy równanie okręgu ma postać


. (17.16)

4. Inwersja

Inwersja jest przekształceniem typu
. (17.17)

Przekształcenie okręgu w okrąg.

Rys.17.7.a. Przekształcenie obszaru wewnątrz okręgu na obszar na zewnątrz odwzorowanego okręgu

Rys.17.7.b. Przekształcenie obszaru wewnątrz okręgu na obszar wewnątrz odwzorowanego okręgu

Dla okręgu nie przechodzącego przez początek układu współrzędnych (rys.17.7) w wyniku podstawienia


(17.18)

do równania (17.15a) otrzymujemy


(17.19)

lub też


. (17.19a)

sodek:
. (17.20) promień
. (17.20a)

Analogicznie, wychodząc z równania okręgu na płaszczyźnie Y


. (17.21)

w wyniku podstawienia
otrzymujemy równanie okręgu


. (17.22)

o środku w punkcie


. (17.22a)

i promieniu


. (17.22)

Przekształcenie okręgu w prostą.

Rys.17.8. Przekształcenie okręgu przechodzącego przez początek układu współrzędnych w prostą nie przechodzącą przez początek układu współrzędnych za pomocą funkcji (podstawienie ) oraz przekształcenie prostej nie przechodzącej przez początek układu współrzędnych w okrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych za pomocą funkcji (podstawienie )

W przypadku gdy okrąg przechodzi przez początek układu współrzędnych - równanie (17.16), rys.17.8 - w wyniku podstawienia
otrzymujemy


, (17.23)

i jest to równanie prostej nie przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Przekształcenie prostej w okrąg.

Gdy prosta nie przechodzi przez początek układu współrzędnych (rys.17.8) i dana jest równaniem (17.23). to w wyniku podstawienia
otrzymujemy z tego równania


. (17.24)

i jest to równanie okręgu przechodzącego przez początek układu współrzędnych.

Przekształcenie prostej w prostą.

Rys.17.9. Przekształcenie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych w prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych za pomocą funkcji (podstawienie )

Gdy prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych (rys.17.2) i dana jest równaniem (17.11) lub (17.11a), to w wyniku podstawienia
otrzymujemy


(17.25) lub
, (17.25a)

co przedstawia prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych.

Reasumując, stwierdzamy, że poprzez inwersję
uzyskujemy następujące przekształcenia krzywych wektorowych:

• okrąg nie przechodzący przez początek układu współrzędnych Z przechodzi w okrąg nie przechodzący przez początek układu współrzędnych Y,

• okrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych Z przechodzi w prostą nie przechodzącą przez początek układu współrzędnych Y,

• prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych Z przechodzi w prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych Y,

• prosta przechodzący przez początek układu współrzędnych Z przechodzi w okrąg nie przechodzący przez początek układu współrzędnych Y,

1. Przekształcenie homograficzne

Załóżmy, że badana wielkość elektryczna (zespolona) można wyrazić za pomocą funkcji homograficznej (bilingowej)


, (17.26)

gdzie A, B, C, D są liczbami zespolonymi, zaś k jest zmiennym parametrem rzeczywistym.

Zgodnie z własnością kołowa funkcji homograficznej przy zmianie parametru k koniec wektora W opisuje okrąg. Należy zatem wyznaczyć środek i promień tego okręgu.

Ze wzoru (17.20) otrzymujemy


. (17.27)
. (17.28)

Porównując prawe strony równań (17.27) i (17.28) otrzymamy


(17.29)


. (17.29a)

Porównując równanie (17.29a) z równaniem okręgu
wyznaczamy środek okręgu


. (17.30)

Ponadto mamy


, (17.31)

promień okręgu
. (17.32)

W przypadku szczególnym, gdy
, funkcja homograficzna


, (17.33)

Postępując podobnie jak wyżej, otrzymujemy równanie


, (17.34)

po porównaniu którego z równaniem
, stwierdza się, że jest to okrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych. Środek tego okręgu


, (17.34a)

a jego promień


. (17.34b)

Jeśli rozpatrywana zespolona wielkość fizyczna opisana jest przez funkcję homograficzną


, (17.35)

której obrazem jest okrąg uzyskany po przesunięciu równoległym o wektor F każdego punktu poprzednio rozpatrywanego okręgu.

2. Wykresy impedancji i admitancji prostych obwodów

Rozpatrzymy wykresy kołowe impedancji i admitancji obwodów o szeregowym, równoległym i mieszanym połączeniu elementów R i X - przy zmianie jednego z tych elementów.

Połączenie szeregowe

Dla szeregowego połączenia rezystancji R i reaktancji X impedancja


, (17.36) zaś admitancja
. (17.36a)

Rys.17.10. Wykres impedancji i admitancji dla połączenia szeregowego w zależności od R

Miejscem geometrycznym końca wektora impedancji układu szeregowego R, X przy zmianie rezystancji R ≥ 0 (rys.17.10a) jest półprosta równoległa do osi rzeczywistej (rys.17.10b). Wtedy dla admitancji określonej wzorem (17.36a) parametr rzeczywisty i stałe zespolone funkcji homograficznej (17.33) są następujące:




Miejscem geometrycznym wektora admitancji jest półokrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych płaszczyzny zespolonej Y (rys.17.10c) o środku w punkcie




i promieniu




czyli średnicy


.

Druga połowa okręgu odpowiadająca ujemnym wartościom R nie jest rozpatrywana. Wartości
odpowiada na okręgu Y punkt najbardziej oddalony, a wartości
punkt O - początek układu współrzędnych płaszczyzny Y.

Dla
miejsce geometryczne wektora Z jest położone ponad osią rzeczywistą, a dla
- poniżej osi rzeczywistej. Odpowiednio półokrąg Y dla
jest położony poniżej osi rzeczywistej, a dla
- ponad osią rzeczywistą.

Rys.17.11. Wykres impedancji i admitancji dla połączenia szeregowego w zależności od X

Przy zmianie reaktancji (rys.17.11a) miejscem geometrycznym końca wektora impedancji Z jest prosta równoległa do osi urojonej (rys.17.11b). Wtedy dla admitancji określonej wzorem (17.36a) parametr rzeczywisty i stałe zespolone funkcji homograficznej (17.33) są następujące:




Miejscem geometrycznym wektora admitancji jest okrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych płaszczyzny zespolonej Y (rys.17.11c) o środku w punkcie
i promieniu
, czyli średnicy
. Wartościom
odpowiada półokrąg dolny, a wartościom
półokrąg górny. Przy
obwód jest rezystancyjny i odpowiednio kondukcyjny. Przy
admitancja jest równa zeru.

Rys.17.12. Wykres impedancji i admitancji dla połączenia szeregowego elementów R, L, C

Jeżeli reaktancja X jest reaktancją szeregowo połączonych elementów L i C (rys.17.12a), to warunek
odpowiada rezonansowi napięć dla pulsacji rezonansowej


. (17.37)

Wykres impedancji przedstawiono na rys.17.12b, zaś admitancji na rys.17.12c przy zmianie pulsacji od 0 do ∞. Wtedy reaktancja wypadkowa X zmienia się od -∞ do +∞ , zatem można bezpośrednio korzystać z wykresów przedstawionych na rys.17.11.

Dla
koniec wektora admitancji opisuje półokrąg górny, a dla
- półokrąg dolny (rys.17.12c). Dla pulsacji rezonansowej
obwód jest rezystancyjny i kondukcyjny. Moduł impedancji jest wtedy minimalny i wynosi
, a moduł admitancji jest maksymalny i wynosi
. Należy zwrócić uwagę, że na wykresach z rys.17.12b i c skale pulsacji są nierównomierne.

Połączenie równoległe

Dla równoległego połączenie rezystancji R i reaktancji X admitancja


, (17.38) zaś impedancja
. (17.38a)

Rys.17.13. Wykres admitancji i impedancji dla połączenia równoległego w zależności od R

Miejscem geometrycznym końca wektora admitancji układu równoległego R, X przy zmianie rezystancji R ≥ 0 (rys.17.13a) jest półprosta równoległa do osi rzeczywistej (rys.17.13b). Wtedy dla impedancji określonej wzorem (17.38a) parametr rzeczywisty i stałe zespolone funkcji homograficznej (17.26) są następujące:




Miejscem geometrycznym wektora impedancji jest półokrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych płaszczyzny zespolonej Y (rys.17.13c) o środku w punkcie




i promieniu




czyli średnicy


.

Druga połowa okręgu odpowiadająca ujemnym wartościom R nie jest rozpatrywana. Wartości
odpowiada na okręgu Z początek układu współrzędnych, tzn. odpowiada zerowej wartości impedancji, a wartości
punkt leżący na przeciwległej stronie średnicy.

Dla
miejsce geometryczne wektora Y jest położone pod osią rzeczywistą, a dla
- ponad tą osią. Odpowiednio półokrąg Z dla
jest położony ponad osią rzeczywistą, a dla
- poniżej tej osi.

Rys.17.14. Wykres admitancji i impedancji dla połączenia równoległego w zależności od X

Przy zmianie reaktancji (rys.17.14a) miejscem geometrycznym końca wektora admitancji Y jest prosta równoległa do osi urojonej (rys.17.14b). Wtedy dla impedancji określonej wzorem (17.38a) parametr rzeczywisty i stałe zespolone funkcji homograficznej (17.26) są następujące:




Miejscem geometrycznym wektora impedancji jest okrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych płaszczyzny zespolonej Z (rys.17.14c) o środku w punkcie
i promieniu
, czyli średnicy
. Wartościom
odpowiada półokrąg górny, a wartościom
półokrąg dolny. Przy
admitancja jest nieskończenie wielka, a impedancja obwodu jest równa zeru. Przy
obwód jest rezystancyjny i kondukcyjny.

Rys.17.15. Wykres admitancji i impedancji dla połączenia równoległego elementów R, L, C

Jeżeli reaktancja X jest reaktancją równolegle połączonych elementów L i C (rys.17.15a), to warunek
odpowiada rezonansowi prądów dla pulsacji rezonansowej określonej wzorem (17.37).

Wykres admitancji przedstawiono na rys.17.15b, zaś impedancji na rys.17.15c przy zmianie pulsacji od 0 do ∞. Wtedy reaktancja wypadkowa X zmienia się od -∞ do +∞ , zatem można bezpośrednio korzystać z wykresów przedstawionych na rys.17.14.

Dla
koniec wektora impedancji Z opisuje półokrąg górny, a dla
- półokrąg dolny (rys.17.15c). Dla pulsacji rezonansowej
obwód jest rezystancyjny i kondukcyjny. Moduł admitancji jest wtedy minimalny i wynosi
, a moduł impedancji jest maksymalny i wynosi
. Należy zwrócić uwagę, że na wykresach z rys.17.15b i c skale pulsacji są nierównomierne.

Połączenie mieszane

Połączeniem mieszanym elementów jest układ przedstawiony na rys.17.16a.

Rys.17.16. Wykres impedancji dla połączenia mieszanego w zależności od reaktancji X

Impedancja powyższego układu


, (17.39)

co jest rozpatrywanym już okręgiem
z rys.17.14 przesuniętym względem początku układu współrzędnych o wektor zespolony
- rys.17.16b.

Podobnym przykładem jest impedancja dwójnika przedstawionego na rys.17.17a przy zmianach pulsacji ω.

a)	b)
Rys.17.17. Wykres impedancji dla połączenia mieszanego w zależności od pulsacji ω ; a) dwójnik elektryczny, b) wykres kołowy tego dwójnika

Impedancja tego dwójnika jest równa


, (17.40)

Jest to dokładnie postać (17.35) funkcji homograficznej, a więc miejscem geometrycznym końca wektora impedancji Z jest okrąg
przesunięty względem początku układu współrzędnych o wektor, w ogólnym przypadku zespolony,
- rys.17.17b.

W połączeniu mieszanym elementów może ulegać zmianie wartość jednego z elementów, np. pojemności C' w układzie przedstawionym na rys.17.18a

Rys.17.18. Wykres admitancji i impedancji dla połączenia mieszanego w zależności od pojemności C'

Admitancja gałęzi RL wynosi


, (17.41)

zaś gałęzi z pojemnością C'


. (17.41a)

Admitancja obwodu


, (17.41b)

co oznacza, że do stałej wartości
dodajemy zmieniającą się wartość
, przy czym C' zmienia się od 0 do ∞. Miejscem geometryczny końców wektora Y jest zatem prosta równoległa do osi urojonej.

Do wyznaczenia miejsca geometrycznego admitancji i impedancji pomocne będzie również określenie pojemności C' , dla której zachodzi rezonans prądów, tzn.


, (17.42) skąd mamy
(17.42a)

i wtedy
, (17.42b)

oraz impedancja


. (17.42b)

Impedancja
występuje przy rezonansie prądów i jest impedancją największą z możliwych do osiągnięcia w tym obwodzie czyli jest to jednocześnie średnica okręgu na płaszczyźnie Z. Miejscem geometrycznym impedancji Z jest zatem okrąg przechodzący przez początek układu współrzędnych o średnicy równej impedancji rezonansowej - rys.17.18c.

Impedancja


. (17.43)

Z porównania tej impedancji z funkcją homograficzną wynika, że


. (17.44)

Możemy zatem wyznaczyć środek okręgu


(17.44a)

oraz promień tego okręgu


. (17.44b)

Dysponując wykresami kołowymi impedancji lub admitancji możemy wyznaczać położenie wektorów napięć przy zadanym prądzie -
lub też prądów przy zadanym napięciu -
. Wystarczy obrócić wykres kołowy impedancji lub admitancji o kąt fazowy prądu lub napięcia.

3. Wykresy transmitancji w prostych obwodach

Często używaną transmitancją jest transmitancja napięciowo-napięciowa wyrażająca stosunek dwóch napięć zespolonych w dwóch różnych miejscach obwodu elektrycznego. Przykładem takiej transmitancji jest stosunek napięcia
na rezystancji lub na kondensatorze
w odniesieniu do napięcia zasilania
w obwodzie przedstawionym na rys.17.19.

Rys.17.19. Transmitancja napięciowo-napięciowa; a) - obwód RC , b) - wykres kołowy na płaszczyźnie zespolonej, c) - wykres modułu transmitancji, d) - wykres argumentów transmitancji


(17.45)


(17.46)


(17.47) oraz
. (17.48)

Równość modułów zachodzi dla pulsacji


(17.49)

i wtedy


(17.50)

oraz


(17.51)

Tak więc przy zmianie pulsacji od 0 do ∞ wektor
opisuje półokrąg w pierwszej ćwiartce a wektor
w czwartej ćwiartce płaszczyzny zespolonej - rys.17.19b. W obu przypadkach koniec tych wektora przesuwa się zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

Rezygnacja z wykresu kołowego pociąga za sobą konieczność, w celu opisu transmitancji, użycia dwóch wykresów: zależność częstotliwościowa modułów transmitancji - rys.17.19c oraz zależność częstotliwościowa kątów - rys.17.19d w prostokątnym układzie współrzędnych.

Wykres na płaszczyźnie zmiennej zespolonej daje obraz zmienności zarówno modułu, jak i kąta rozpatrywanej wielkości w zależności od zmiennego parametru obwodu. Wykres taki zastępuje dwa wykresy, które w prostokątnym układzie współrzędnych należy wykonywać oddzielnie dla modułu i dla kąta.

W zależności od konkretnych potrzeb i warunków zadania w praktyce wykonujemy wykresy zarówno w płaszczyźnie zmiennej zespolonej, jak i w prostokątnym układzie współrzędnych.

Tablica 17.1 ilustruje różne sposoby przedstawiania funkcji zespolonych jako miejsca geometryczne na płaszczyźnie zmiennej zespolonej (w zależności od pulsacji) i charakterystyki częstotliwościowe modułów i kątów w prostokątnym układzie współrzędnych.

Tablica 17.1. Charakterystyki częstotliwościowe wybranych obwodów




17

14

---