P O L I T E C H N I K A C Z Ę S T O C H O W S K A

Katedra Fizyki

Laboratorium

Fizyki

ćwiczenie numer 2

Temat: Pomiar pojemności kondensatora

metodą mostkową

Rafał Ziębacz

Wydział Elektryczny

rok I

grupa dziekańska III

1. Wiadomości wstępne

Mostek Wheatstone'a jest to sieć czterech przewodników, pozwalających wyznaczyć opór nieznany przewodnika w sposób łatwy, nie wymagający pomiaru ani natężenia, ani napięcia. Obwód ogniwa E zamyka się za pomocą wyłącznika W na dwóch równolegle połączonych rozgałęzieniach ACB i ADB. W jednym rozgałęzieniu znajdują się opory R₁ i R₂, w drugim R₃ i R₄. Oba rozgałęzienia połączone są „mostkiem” CD., w którym znajduje się czuły galwanometr o dowolnej podziałce. Opór R₀ nie odgrywa istotnej roli w sieci połączeń, jest tylko zabezpieczeniem źródła prądu przed przeciążeniem nadmiernym prądem. Przez mostek nie płynie prąd tylko wówczas, gdy cztery opory spełniają następujące proporcję:

Jeśli między punktami C i D nie płynie prąd, to napięcie między tymi punktami musi być równe zeru, tzn. potencjały w tych punktach muszą być jednakowe. Między punktami A i B panuje napięcie V, które zapewnia odpowiednie spadki napięć w rozgałęzieniach. Ponieważ napięcie między C i D jest równe zeru, więc spadki napięć na odcinkach AC i AD oraz CB i DB są między sobą równe:

oraz

Na podstawie prawa Ohma wiemy, że napięcie V na końcach przewodnika jest równe iloczynowi natężenia prądu I i oporu R:

Wprowadzając oznaczenia natężenia prądu płynącego w rozgałęzieniach otrzymujemy równania wyrażające równość wymienionych spadków napięć

Zakładając, że opór połączeń jest równy zeru. Zgodnie z I prawem Kirchhoffa suma natężeń prądów dopływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów odpływających. Ponieważ przez mostek CD. prąd nie płynie, więc dla punktów rozgałęzieniach C i D słuszne są równania:

oraz

Uwzględniając te równości oraz dzieląc równania stronami otrzymujemy napisaną poprzednio proporcję

Jeżeli jeden z czterech oporów jest nieznany, to można go wyznaczyć - w oparciu o powyższe równania - na podstawie trzech pozostałych oporów. Można uzasadnić w sposób taki sam jak poprzednio, że proporcja jest spełniona również i w tym przypadku, gdy źródło prądu dołączone jest w punktach C i D, a galwanometr w punktach A i B. Układ połączeń czterech oporów tworzy w istocie czworobok oporów, połączenia zaś przekątne między punktami A i B oraz C i D zawierające źródło prądu i galwanometru mogą być miejscami zamienne.

Kondensatorami elektronicznymi nazywa się urządzenia służące do gromadzenia ładunków elektrycznych. Kondensatory, obok rezystorów, są podstawowymi elementami biernymi obwodów elektrycznych. Najprostszy kondensator składa się z dwóch płyt metalowych zwanych okładzinami, oddzielonych od siebie dielektrykiem stałym, ciekłym lub gazowym. Układ taki jest elektrycznie obojętny, dopóki nie zostanie przyłączony do źródła napięcia stałego. Z chwilą wykonania takiego przyłączenia następuje krótkotrwałe przenoszenie ładunków w połączonych z sobą częściach przewodzących. Na okładzinach gromadzą się wtedy ładunki dodatnie, a na drugiej - ujemne. Ten krótkotrwały prąd płynie dopóty, dopóki różnica potencjałów okładzin kondensatora nie stanie się równa sile elektromotorycznej źródła Ilość gromadzonego ładunku jest tym większa, im większa jest powierzchnia okładzin, im mniejsza jest odległość między okładzinami i im większa jest przenikalność elektryczna materiału izolacyjnego umieszczonego między okładzinami. Przy stałych wymiarach geometrycznych kondensatorów i jednakowej przenikalności elektrycznej materiału izolacyjnego, ilość gromadzonego ładunku wzrasta wraz ze wzrostem napięcia Iloraz ładunku q zgromadzonego na okładzinie do napięcia U występującego między okładzinami jest dla każdego kondensatora o niezmiennej powierzchni okładzin wielkością stałą, zwaną pojemnością elektryczną i oznaczaną literą C, opisana wzorem

Jednostką pojemności jest farad (F). Kondensator ma pojemność 1 F, jeżeli przy napięciu miedzy okładzinami równym 1 V gromadzi się na każdej okładzinie ładunek 1 C. Farad jest jednostką bardzo dużą, często w praktyce stosuje się podwielokrotności: mikrofarad (μF) i pikofarad (pF).

Idealny kondensator w układzie prądu zmiennego posiada odmienną charakterystykę napięciowo-prądową w odróżnieniu od układów prądu stałego. Każdej zmianie napięcia, towarzyszy zmiana ładunku na okładzinach kondensatora. Ze zmianą ładunku na okładzinach kondensatora wiąże się z przepływem prądu w przewodach łączących kondensator ze źródłem napięcia, przy czym prąd ten nazywamy prądem ładowania kondensatora. Jeżeli rozważylibyśmy zjawiska zachodzące w dielektryku kondensatora w czasie jego ładowania, to stwierdzilibyśmy, że w dielektryku występuje prąd przesunięcia równy co do wartości prądowi ładowania. Stąd wniosek, że prąd w obwodzie z kondensatorem jest proporcjonalny do prędkości zmian w czasie napięcia na jego okładzinach.

Kondensator pracujący w obwodzie prądu zmiennego posiada charakterystyczną jaką jest reaktancja pojemnościowa lub inaczej opór bierny pojemnościowy X_C. Jednostką reaktancji pojemnościowej jest Ω.

Tak jak rezystancja w obwodzie prądu stałego tak i reaktancja podlega prawu Ohma. Drugą charakterystyczną cechą działania kondensatora w obwodzie prądu zmiennego jest to, iż powoduje on opóźnienie napięcia względem prądu. W przypadku kondensatora idealnego opóźnienie to wynosi ϕ=-Π/2. Ze wzoru na reaktancję wynika, że kondensator w obwodzie prądu zmiennego stanowi przerwę, w przypadku prądu zmiennego o nieskończenie wielkiej częstotliwości stanowi zwarcie.

W praktyce spotykamy się z różnorodnymi konstrukcjami kondensatorów, jednym z najczęściej budowanych jest kondensator płaski. Jest to kondensator, gdzie okładzinami są płaskie równoległe płyty metalowe. Zazwyczaj odległość okładzin jest mała w stosunku do wymiarów okładzin. W takim przypadku pole elektryczne w kondensatorze można przyjąć za równomierne. Określamy związek między napięciem na zaciskach okładzin kondensatora, a natężeniem pola elektrycznego, która wyraża się wzorem

gdzie: U - napięcie, d - odległość po między okładzinami, E - natężenie pola elektrycznego. Znamy również następującą zależność

a, gęstość powierzchniowa , gzie S - powierzchnią okładzin, czyli

W wyniku porównania powyższych zależności otrzymujemy

Ostatecznie otrzymujemy

Z powyższego wzoru wynika, że pojemność kondensatora płaskiego zależy od jego wymiarów oraz własności dielektryka. Im większa jest powierzchnia okładzin oraz przenikalność elektryczna względna dielektryka oraz im mniejszy odstęp pomiędzy okładzinami, tym większa jest pojemność. Wnioski wynikające z powyższego wzoru mają również istotne znaczenie dla innych rodzajów kondensatorów.

II. Schemat pomiarowy

III. Tabela pomiarowa

Lp.	Numer oporu oraz ich połączenia	Opór dekadowy Rd [Ω]	Wartość na dzielniku R1[Ω] R2[Ω]		Opór zmierzony Rx [Ω]	Opór obliczony Rx' [Ω]	ΔRx [Ω]
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

IV. Omówienie wyników pomiarowych

Powyższe doświadczenie polegało na wyznaczeniu pojemności badanych kondensatorów. Za układ pomiarowy posłużył nam mostek Wheastone'a. Mostek ten zasilany pierwotnie prądem stałym służył do wyznaczania rezystancji. Ponieważ na kondensatorach jak i na cewkach w obwodach prądu zmiennego następuje spadek napięcia, to przy zasileniu mostka prądem zmiennym, możemy wyznaczyć reaktancje kondensatorów i cewek. Następnie po prostych obliczeniach z reaktancji możemy wyznaczyć pojemność kondensatorów jak i indukcyjność cewek.

gdzie:

X_C - reaktancja pojemnościowa

X_L - reaktancja indukcyjna

C - pojemność kondensatora

L - indukcyjność cewki

ω - pulsacja

f - częstotliwość

Korzystając z równowagi mostka dla rezystancji, która ma postać:

W naszym przypadku rezystory R₁ i R₂ zostały zastąpione kondensatorem badanym C_X oraz kondensatorem dekadowym C_D. Więc wzór opisujący równowagę mostka ma postać:

Ponieważ oba kondensatory są zasilane napięciem o tej samej częstotliwości to pulsację możemy uprościć, gdyż nie ma ona wpływu na pomiar. Podobnie jak wartości rezystancji rezystorów R₃ i R₄, które w naszym doświadczeniu są jednakowe i wynoszą 5 kΩ. Po tych przekształceniach nasz wzór ma postać:

Z powyższego wyprowadzenia wynika, iż wartość pojemności badanego kondensatora jest równa wartości pojemności kondensatora dekadowego, gdy mostek jest w równowadze. W momencie gdy mostek jest w stanie równowagi następuje ściszenie tonu w słuchawce pomiarowej.

W powyższych rozważaniach używaliśmy pojęcia kondensatora badanego, jednak jest to pojęcie nie precyzyjne ze względu na to, że pojemność C_X może być pojemnością zastępczą układu kilku kondensatorów. Podobnie jak w przypadku rezystorów rozróżniamy dwa podstawowe układy połączeń:

a) połączenie szeregowe

Połączenie to charakteryzuje się tym, iż przez każdy kondensator płynie ten sam prąd, a z drugiego prawa Kirchhoffa wynika, iż napięcie zasilania jest równe sumie spadków napięć na wszystkich kondensatorach.

Z powyższego wyprowadzenia wynika, iż odwrotność pojemności zastępczej szeregowego układu kondensatorów równa jest sumie odwrotności pojemności wszystkich kondensatorów.

b) połączenie równoległe

Połączenie to charakteryzuje się tym, że przez każdy kondensator płynie to samo napięcie, a z pierwszego prawa Kirchhoffa wynika, iż prąd zasilania równy jest sumie prądów płynących przez każdy z kondensatorów.

Z powyższego wyprowadzenia wynika, iż pojemność zastępcza równoległego układu kondensatorów równa jest sumie pojemności wszystkich kondensatorów.

W naszym doświadczeniu wykonaliśmy 11 pomiarów. Każdy pomiar dokonywaliśmy przy różnym połączeniu trzech badanych kondensatorów: C₁ ,C₂ i C₃.

pomiar1

układ: C₁

p. obliczona: 0,2 μF

p. zmierzona: 0,2 μF

błąd: -

pomiar 2

układ: C₂

p. obliczona: 0,5 μF

p. zmierzona: 0,5 μF

błąd: -

pomiar 3

układ: C₃

p. obliczona: 0,02 μF

p. zmierzona: 0,02 μF

błąd: -

pomiar 4

układ: szeregowo C₁ C₂

p. obliczona:

p. zmierzona: 0,14 μF

błąd: 0,003 μF

pomiar 5

układ: szeregowo C₁ C₃

p. obliczona:

p. zmierzona: 0,019 μF

błąd: 0,001 μF

pomiar 6

układ: szeregowo C₁ C₂ C₃

p. obliczona:

p. zmierzona: 0,018 μF

błąd: 0,001 μF

pomiar 7

układ: równolegle C₁ C₂

p. obliczona:

p. zmierzona: 0,72 μF

błąd: 0,02 μF

pomiar 8

układ: równolegle C₁ C₃

p. obliczona:

p. zmierzona: 0,22 μF

błąd: 0 μF

pomiar 9

układ: równolegle C₂ C₃

p. obliczona:

p. zmierzona: 0,53 μF

błąd: 0,01 μF

pomiar 10

układ: równolegle C₁ C₂ C₃

p. obliczona:

p. zmierzona: 0,74 μF

błąd: 0,02 μF

pomiar 11

układ: szeregowo C₂ C₃

p. obliczona:

p. zmierzona: 0,0197 μF

błąd: 0,0007 μF

Powyższy opis wykonanego przez nas doświadczenia wykazuje prawdziwość wyprowadzonych wzorów na różne połączenia kondensatorów. Pierwsze trzy pomiary pojedynczych kondensatorów przyjmujemy bez błędów. Różnice w wartościach mierzonych i obliczonych wynikają z niedokładności aparatury oraz sumowania się błędów kondensatorów występujących w połączeniu.

Pomiar pojemności kondensatora metodą mostkową

---