7. Podstawy z wytrzymałości materiałów do projektowania prętów z uwagi na stan graniczny zniszczenia.

IV.4. Wymiarowanie przekrojów prętów przy obciążeniach prostych i złożonych

• Zasada superpozycji

Jeśli do danej bryły o ustalonych więzach przyłożono, w dowolnej kolejności, układy sił zewnętrznych
; k =1,2...n i dla każdego układu znane jest rozwiązanie zagadnienia brzegowego liniowej teorii sprężystości:
,to pola tensorowe naprężeń i odkształceń oraz pole wektorowe przemieszczeń określają relacje:

;
;

• Zasada de Saint Venanta

Jeżeli do bryły przyłożone jest na małej powierzchni ΔS << S obciążenie wywołujące pewien stan naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia i jeśli na tej powierzchni ΔS obciążenie zastąpimy innym, ale statycznie równoważnym, to wartości naprężeń, odkształceń i przemieszczeń wywołanych drugim obciążeniem, w dostatecznej odległości od miejsca przyłożenia sił, będą się różnić dowolnie mało od wartości odpowiednich wielkości wywołanych obciążeniem pierwszym.

• Stan graniczny - stan, w którym konstrukcja lub jej część przestaje spełniać swoje funkcje lub gdy nie odpowiada założonym warunkom użytkowania.

• Stan graniczny nośności - utrata stateczności, zniszczenie najbardziej wytężonych przekrojów

• Stan graniczny użytkowania obejmuje: ugięcia, zarysowanie, drgania

• Rodzaje obciążeń:

• Czyste i proste rozciąganie i ściskanie:

Czyste rozciąganie - pręt obciążony tylko na ściankach poprzecznych siłami o równomiernie rozłożonej gęstości (q=const)

Macierz naprężeń Macierz odkształceń

Proste rozciąganie - rozwiązanie czystego rozciągania redukujemy do środka ścianki poprzecznej (N=qA => q=N/A )

N -siła, A- powierzchnia ścianki poprzecznej

Warunki projektowania: -stan graniczny zniszczenia
; - stan graniczny użytkowania

• Czyste zginanie

Przy prostym zginaniu:

Warunki projektowania: -stan graniczny zniszczenia:

wskaźnik wytrzymałości:

wytrzymałość na:
- rozciąganie,
-ściskanie

- stan graniczny użytkowania:

- max. ugięcie (strzałka ugięcia )

• Zginanie ukośne

• Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie

Oś obojętna - krawędź przecięcia płaszczyzny naprężeń z płaszczyzną przekroju poprzecznego. Równanie osi obojętnej σ_x =0

Może zajmować trzy położenia:

1. Przechodzi przez przekrój poprzeczny - prosta l₁ - dzieli pole przekroju poprzecznego na dwie części, w których naprężenia σ_x mają przeciwne znaki (σ_x dodatnie czyli rozciąganie nad osią, część poniżej osi jest ściskana ( - ).

2. 
   Jest styczna do konturu przekroju poprzecznego - prosta l₂ naprężenia we wszystkich punktach przekroju

3. 
   Przechodzi poza przekrojem poprzecznym - prosta l₃ poprzecznego są tego samego znaku (+)rozciąganie

• Zginanie poprzeczne - pręt pryzmatyczny, prosty, o przekroju poprzecznym symetrycznym wzgl. osi z , obciążenie przyłożone symetrycznie wzgl. płaszczyzny xz na pobocznicy i ściankach poprzecznych

Czyste i proste skręcanie

• czyste skręcanie - pręt prosty, pryzmatyczny, o dowolnym przekroju poprzecznym, obciążony siłami o gęstości
  ,przyłożonymi na ściankach poprzecznych.

Z pręta wycinamy walec, którego tworzące, po przyłożeniu obciążenia stają się liniami krzywymi,( na rys. linia n-n, krzywa n-n'), w dowolnym przekroju poprzecznym, punkt A przemieści się do p.A”, który wychodzi poza płaszczyznę przekroju, p.A' oznacza rzut p.A'' na naszą płaszczyznę przekroju poprzecznego.

-kąt skręcania :
,
-jednostkowy kąt skręcania

funkcje przemieszczeń :
,
,

pole odkształceń: z równań Cauchy'ego
otrzymujemy
,
,
,

,
,

pole naprężeń: z równań Hooke'a
mamy
,
,
,

,
,

zagadnienie brzegowe - spełnienie równań Naviera i statycznych warunków brzegowych zależy od odpowiedniego doboru

funkcji

,
, i,j =1,2,3 czyli
zagadnienie Neumanna

• proste skręcanie -obciążenie momentami skupionymi równoważnymi z obciążeniem jak przy czystym skręcaniu

podstawiając jednostkowy kąt skręcania
do czystego skręcania otrzymujemy rozwiązanie przemieszczeń, odkształceń i naprężeń

• skręcanie pręta o przekroju kołowym

- biegunowy moment bezwładności

przemieszczenia :
,
,

odkształcenia :
,
,
,

naprężenia :
,
,
,

warunek projektowania : -stan graniczny zniszczenia
(
wskaźnik wytrzymałości przy skręcaniu) ; -stan graniczny użytkowania - nieprzekroczenie dopuszczalnego kąta skręcania
:

• 
  skręcanie pręta o przekroju prostokątnym

(
wskaźnik wytrzymałości przy skręcaniu pręta prostokątnego )

warunek projektowania : -stan graniczny zniszczenia

• Hipotezy wytężeniowe -o wytężeniu materiału decyduje:

R_k = ( R_H , R_s , R_e , R_m )

1. Galileusz - maksymalna, bezwzględna wartość naprężenia głównego

2. Coulomb-Tresca-Guest - maksymalna, bezwzględna wartość największego naprężenia stycznego

np. betonowa próbka w kształcie walca poddana ściskaniu(ekstremalne naprężenia styczne leżą w płaszczyznach przekroju, które przechodzą przez jedną z osi głównych, a do pozostałych nachylone są pod kątem 45° - tworzą się dwa charakterystyczne stożki),zniszczenie następuje na pobocznicy tych stożków.

3. Huber-Mises-Hencky - ilość nagromadzonej w nim energii odkształcenia postaciowego

Niezależnie czy wartość ta powstała w wyniku prostego czy złożonego obciążenia

z q=const. z

N N

x

x

q=const. czyste rozciąganie proste rozciąganie

z z

M z_g

x y

z_d

czyste zginanie zginanie proste

z

M_z

M_y y

---