Elementy rachunku macierzowego

Zadanie nr 1

Obliczyć wyznacznik macierzy A

A =

Ponieważ macierz jest 4-go stopnia nie można zastosować bezpośrednio metody Sarrusa - należy przed tym obniżyć stopień wyznacznika, korzystając z przekształceń elementarnych:

U w a g i:

1. pierwsze przekształcenie elementarne polegało na : pomnożeniu drugiego wiersza przez -1 i dodaniu do pierwszego oraz pomnożeniu drugiego wiersza przez -2 i dodaniu do czwartego

2. otrzymaliśmy wyznacznik zawierający w pierwszej kolumnie trzy 0 - rozwijając ten wyznacznik wg pierwszej kolumny (wzór Laplace'a) otrzymujemy wyznacznik 3-go stopnia - trzy pozostałe wyrazy rozwinięcia są zerami

3. następne przekształcenie elementarne polega na: pomnożeniu drugiego wiersza przez 2 i dodaniu do pierwszego wiersza, a następnie pomnożeniu drugiego wiersza przez 8 i dodaniu do trzeciego

4. otrzymaliśmy wyznacznik zawierający znowu w pierwszej kolumnie dwa zera - rozwijając ten wyznacznik wg tej kolumny otrzymaliśmy wyznacznik 2-go stopnia, który rozwiązujemy już z definicji.

5. oczywiście, że zamiast przekształcenia elementarnego c) mogliśmy od razu zastosować metodę Sarrusa dla wyznacznika 3-go stopnia - sposób zastosowany w zadaniu jest niewątpliwie prostszy.

6. należy zwrócić uwagę na znaki przy rozwijaniu wyznaczników: pierwsze rozwinięcie było względem 1-go wiersza i 1-ej kolumny, a więc wykładnik potęgowy n = 1 + 1 = 2 i znak dodatni - drugie rozwinięcie było względem 2-go wiersza i 1-ej kolumny, a więc n = 2 + 1 = 3 i znak ujemny.

Zadanie 2

Obliczyć wyznacznik macierzy A:

A =

U w a g i:

1. ciąg przekształceń elementarnych pierwszego wyznacznika to kolejno: pomnożenie pierwszego wiersza przez -1 i dodanie do drugiego, trzeciego i czwartego wiersza,

2. otrzymujemy wyznacznik 4-go stopnia w którym pierwsza kolumna zawiera trzy 0 - rozwijając wyznacznik wg wzoru Laplace'a względem tej kolumny otrzymujemy jeden wyznacznik 3-go stopnia

3. ciąg przekształceń elementarnych drugiego wyznacznika to kolejno: pomnożenie pierwszego wiersza przez -3 i dodanie do drugiego wiersza, a następnie pomnożenie pierwszego wiersza przez -7 i dodanie do trzeciego wiersza

4. otrzymujemy wyznacznik dalej 3-go stopnia, w którym jednak znowu pierwsza kolumna zawiera dwa 0 - rozwijając ten wyznacznik wg wzoru Laplace'a względem tej kolumny otrzymujemy jeden wyznacznik 2-go stopnia, który rozwijamy zgodnie z definicją.

5. oczywiście, że zamiast przekształcenia elementarnego c) mogliśmy od razu zastosować metodę Sarrusa dla wyznacznika 3-go stopnia - sposób zastosowany w zadaniu jest niewątpliwie prostszy.

6. należy zwrócić uwagę na znaki przy rozwijaniu wyznaczników: pierwsze rozwinięcie było względem 1-go wiersza i 1-ej kolumny, a więc wykładnik potęgowy n = 1 + 1 = 2 i znak dodatni - drugie rozwinięcie było też względem 1-go wiersza i 1-ej kolumny, a więc n = 1 + 1 = 2 i znak dodatni.

Zadanie nr 3

Obliczyć macierz odwrotną do macierzy A:

korzystając z metody bezpośredniej (wprost z definicji macierzy odwrotnej)

Wychodząc z definicji mnożenia macierzy otrzymujemy następujące układy równań liniowych:

Obliczyliśmy współczynniki pierwszego wiersza macierzy odwrotnej.

Mnożąc drugi wiersz macierzy odwrotnej kolejno przez poszczególne kolumny macierzy danej otrzymujemy następne 3 równania z 3-ma niewiadomymi.

22

Otrzymaliśmy elementy drugiego wiersza macierzy odwrotnej.

Mnożąc kolejno elementy trzeciego wiersza macierzy odwrotnej przez trzy kolumny macierzy danej (prostej) otrzymujemy ostatnie trzy niewiadome:

Ostatecznie więc poszukiwana macierz odwrotna:

Zadanie nr 4

Obliczyć macierz odwrotną do macierzy A:

korzystając z metody przekształceń elementarnych - jest to ta sama macierz co w zadaniu 3.

Nr tablicy	Tablica 1	Tablica 2	Uwagi
0			Stan wyjściowy - w tablicy 1 dana macierz 3-go stopnia, w tablicy 2 - macierz jednostkowa
1			Pierwszy wiersz obu tablic mnożymy przez
2			Pierwszy wiersz mnożymy przez (-1) i dodajemy do drugiego; pierwszy wiersz dodajemy do trzeciego
3			Drugi wiersz mnożymy przez
4			Drugi wiersz mnożymy przez i dodajemy do pierwszego; drugi wiersz mnożymy przez (- ) i dodajemy do trzeciego
5			Trzeci wiersz mnożymy przez (- )
6			Trzeci wiersz mnożymy przez (- ) i dodajemy od pierwszego; trzeci wiersz mnożymy przez (- ) i dodajemy do drugiego.

W operacji 6 w kolumnie tablica 2 otrzymujemy macierz odwrotną - identyczną jak w zadaniu nr 3. Z przykładu tego widać, że przekształcenia elementarne wykonuje się tak długo, dopóki obie macierze nie „zamienią” się miejscami.

Zadanie nr 5

Obliczyć macierz odwrotną do macierzy A:

korzystając z macierzy dopełnień - macierz dana identyczna jak w zadaniach 3 i 4.

1. obliczamy wyznacznik macierzy:

W przypadku gdyby wyznacznik był równy 0, macierz byłaby osobliwa i macierz odwrotna nie istniałaby.

2. obliczamy kolejno dopełnienia algebraiczne danej macierzy:

a więc macierz dopełnień:

3. transponujemy macierz dopełnień:

4. macierz odwrotną uzyskujemy przez podzielenie ostatniej macierzy przez wyznacznik danej macierzy:

a więc jak w przypadku zadania 3 i 4.

Zadanie nr 6

Rozwiązać poniższy układ równań:

stosując wzory Cramera.

Obliczamy wyznacznik główny układu równań liniowych:

(metodą Sarrusa).

a więc układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Wobec tego rozwiązaniem układu jest trójka liczb:

Zadanie nr 7

Rozwiązać poniższy układ równań:

stosując elementarne działania rachunku macierzowego.

Układ równań liniowych można zapisać w postaci:

A X = B

gdzie:

A =
macierz współczynników układu równań

X =
macierz niewiadomych układu równań

B =
macierz prawych stron układu równań

Po pomnożeniu obu stron równania macierzowego lewostronnie przez A^-1 (macierz odwrotną macierzy A) otrzymujemy:

A^-1 A X = A^-1 B

X = A^-1 B

Ostatnie równanie macierzowe stwierdza, że macierz(wektor) niewiadomych otrzymuje się z iloczynu odwrotnej macierzy współczynników i macierzy (wektora) prawych stron. Macierz odwrotną obliczymy np. metodą macierzy dopełnień (wykorzystamy znajomość wyznacznika tej macierzy z zadania 6):

a więc wynik identyczny jak w zadaniu 6.

Zadanie nr 8

Przeprowadzić dyskusję rozwiązania układu równań liniowych w zależności od parametru m:

Z wzorów Cramera wynika, że układ równań liniowych ma rozwiązanie w przypadku, gdy wyznacznik główny tego układu jest różny od 0.

A więc układ ma jedno rozwiązanie w przypadku gdy m ≠ 1 ∧ m ≠ -2

Obliczmy teraz wyznacznik dla niewiadomej x₁:

Jak widać dla m = -2
= 9 > 0 a więc układ jest sprzeczny, natomiast dla m = 1
= 0 i może istnieć nieskończenie wiele rozwiązań.

Jak widać dla m = -2 układ jest sprzeczny, natomiast dla m = 1
i układ może być nieoznaczony lub sprzeczny, wymaga to dalszych badań..

Napiszmy układ równań dla m = 1:

Otrzymuje trzy takie same równania, co dowodzi, że układ jest nieoznaczony i ma nieskończenie wiele rozwiązań danych zależnością:

Ostatecznie więc wyniki analizy zapiszemy następująco:

1. w przedziałach (- ∞, -2) ∪ (-2, 1) ∪ (1, ∞) układ jest oznaczony (istnieje jedno rozwiązanie)

2. dla m = -2 układ jest sprzeczny (nie istnieje rozwiązanie)

3. dla m = 1 układ jest nieoznaczony (istnieje nieskończenie wiele rozwiązań)

Strona 11/9

Elementy rachunku macierzowego Andrzej Brandt

---