6. MASA, CIĘŻAR.

MASA

w fizyce jedna z najważniejszych wielkości fizycznych określająca ich bezwładność i oddziaływania grawitacyjne. Potocznie rozumiana jako ilość materii i energii zgromadzonej w ciele fizycznym.

W nierelatywistycznej fizyce klasycznej masa występuje jako:

1. Masa grawitacyjna- wielkość opisująca oddziaływania grawitacyjne dwóch punktowych ciał występująca we wzorze na oddziaływania grawitacyjne,lub stanowi czynnik powodujący powstawanie ciężkości, czyli wywołujący zjawisko grawitacji. Mówiąc po prostu - masywne ciało trudno jest podnieść.

W=mg

2. Masa bezwładna- jest miarą bezwładności ciała, to znaczy przeciwdziałania się ciała zmianie ruchu wywołanej działaniem na nie siły. (a więc wpływa na to, że "masywne" ciało trudno jest rozpędzić, a rozpędzone - trudno zatrzymać).

Według drugiej zasady dynamiki Newtona zachodzi równość:

Własności masy:

1. Masa jest wielkością addytywną - tzn. jeżeli weźmiemy dwa ciała i połączymy ze sobą, to masa całego układu jest sumą mas składników tego układu.

2. Zgodnie z prawem zachowania masy - jeżeli układ nie wymienia materii z otoczeniem, to masa materii uczestniczącej w dowolnym procesie fizycznym lub chemicznym pozostaje stała.

3. Zgodnie z teorią względności Alberta Einsteina masa może być równoważnie postrzegana jako energia, i dlatego założenie pierwotne musi być rozszerzone na wszystkie rodzaje energii.

4. W szczególnej teorii względności masa jest wielkością skalarną i traktowana jest niezmienniczo, gdyż Autor teorii posługiwał się konsekwentnie pojęciem masy spoczynkowej.

5. Masa jest tym większa, im większe jest ciało (ma większą objętość) i im większa jest jego gęstość.Inaczej rzecz ujmując, masa ciała rośnie wraz z

-ilością atomów lub cząsteczek ciała, czyli najczęściej też z wielkością ciała

-masą atomów lub cząsteczek z jakich składa się ciało (masą atomową lub cząsteczkową)

Jednostka masy

Jednostką masy jest kilogram (skrót kg). Jednostka ta należy do tzw. jednostek podstawowych (patrzJednostki układu SI), co oznacza, że jest ona definiowana poprzez eksperyment fizyczny, a nie na drodze przeliczeń innych jednostek. Ze sposobu definiowania masy 1kg wynika, że mamy tylko jedno ciało na świecie, o którym na pewno wiadomo, że ma masę dokładnie jednego kilograma. Jest to walec wykonany ze stopu platyny i irydu, umieszczony w Sevres pod Paryżem - służy on oczywiście jako wzorzec kilograma.

CIĘŻAR

lub siła ciężkości - siła z jaką Ziemia lub inne ciało niebieskie przyciąga dane ciało. Ciężar jest wypadkową sił przyciągania grawitacyjnego i siły odśrodkowej wynikającej z ruchu obrotowego określonego ciała niebieskiego.

Często zamiast masy ciała, na które działa siła F, mamy podany jego ciężar W. Wtedy możemy połączyć oba równania:

F=(W/g)a

Własności:

1. W przypadku Ziemi ciężar ciała zależy od położenia ciała względem Ziemi, zależny jest między innymi od szerokości geograficznej, wysokości nad poziomem morza i budowy podłoża.

2. Ciężar, jako siła, jest wielkością wektorową - wektor ciężaru skierowany jest w każdym miejscu do środka ciężkości układu planeta-ciało, co w praktyce oznacza środek ciężkości planety.

3. Jeżeli masa sferycznie symetrycznej planety o promieniu r wynosi M, a masa danego ciała m, to wartość ciężaru ciała na powierzchni planety dana jest wzorem:

wielkość tą nazywa się przyspieszeniem grawitacyjnym na powierzchni planety i oznacza przez g,

co prowadzi do prostego wzoru : F =mg

4. Ze wzoru wynika, że na ciała o większej masie działa odpowiednio większa siła grawitacji:

- jeśli masa ciała rośnie 2 krotnie, to siła grawitacji też rośnie 2 krotnie,

- jeśli masa ciała rośnie 5 krotnie, to siła grawitacji też rośnie 5 krotnie itd...

Jednostka ciężaru.

Jednostką ciężaru w układzie SI jest niuton, jednak nadal dozwolone jest używanie jednostek spoza układu SI - stosuje się jeszcze np. kilogram-siłę - kG (kilogram siła).

7. SIŁY TARCIA.

Tarcie jest zjawiskiem, które występuje na powierzchniach styku ciał materialnych. Działanie siły tarcia obserwujemy wtedy, gdy próbujemy przesunąć względem siebie stykające się ciała.

Siła ta nie zależy od pola powierzchni zetknięcia się ciał; zależy jednak od materiału, z jakiego są one wykonane i od stanu ich powierzchni. Po prostu, każde ciało ma na sobie drobne chropowatości, które podczas kontaktu trą o siebie i utrudniają ruch.

Jeśli ciało jest w ruchu (ślizga się po drugim), to działa na nie siła tarcia dynamicznego, która jest skierowana przeciwnie do wektora prędkości i wywołuje efekt hamujący.

To właśnie dzięki niej, ciała w realnym świecie nie pozostają w nieskończonym ruchu, gdy są raz wprawione w ruch, lecz po pewnym czasie zatrzymują się.

Jeśli natomiast próbujemy wprawić ciało w ruch, a ono nadal pozostaje w spoczynku, to znaczy, że zapobiega temu siła tarcia statycznego.

Wartość siły tarcia dynamicznego zależy od wartości siły nacisku (jednego ciała na drugie), którą możemy oznaczyć jako N. Zależność ta jest wprost proporcjonalna, a współczynnikiem proporcjonalności jest współczynnik tarcia w ruchu μk(v). Nie jest on stałą, lecz jest zależny od prędkości względnej trących ciał, dlatego tarcie dynamiczne również zmienia się z prędkością.

T = μk(v)N

gdzie: T - wartość siły tarcia dynamicznego, μk(v) - współczynnik tarcia w ruchu jako funkcja prędkości, N - wartość siły nacisku.

Wiadomo, że gdy chcemy przesunąć po podłodze jakiś ciężki przedmiot, to stawia on wyraźny opór. Na początku, możemy działać siłą i mimo to ciało nie przesunie się. Będzie tak dlatego, że nasza siła będzie równoważona przez przeciwnie skierowaną siłę tarcia statycznego. Ta ostatnia będzie coraz większa, wraz ze zwiększaniem się naszego naporu, aż osiągnie wartość maksymalną, po której przekroczeniu ciało ruszy.

Ta maksymalna siła tarcia statycznego, dla której ciało jest jeszcze w spoczynku, to tzw. graniczna siła tarcia. Jest ona proporcjonalna do siły nacisku, a współczynnikiem proporcjonalności jest współczynnik tarcia statycznego μs

Tg = μsN

gdzie: Tg - wartość granicznej siły tarcia statycznego, μs - współczynnik tarcia statycznego, N - wartość siły nacisku.

Jest mocną regułą, że graniczne siły tarcia statycznego są, dla tych samych ciał, większe od sił tarcia dynamicznego, a to dlatego, że z reguły: μs > μk(v).

Podział:

I. Tarcie zewnętrzne

• definicja

Jest to zjawisko oporu w płaszczyźnie zetknięcia dwóch stykających się ciał, będących w ruchu względem siebie;

-siła skierowana do kierunku ruchu ciała;

-zjawisku tarcia towarzyszy wydzielenie się ciepła, elektryzowanie się ciał, ich niszczenie.

• Dzieli się na:

1. Tarcie poślizgowe- występujące przy ocieraniu się o siebie powierzchni dwóch ciał stałych.

a) kinetyczne- gdy ciała przesuwają się względem siebie

b) statyczne- gdy ciała spoczywają względem siebie a istnieje siła dążąca do przesunięcia ciał

Przykładem może być klocek umieszczony na płaskiej, poziomej powierzchni stołu i wprowadzony w ruch przez popchnięcie będzie się poruszał z malejącą prędkością i zatrzyma się po chwili.

2. Tarcie toczne- występuje podczas toczenia się jednego ciała po drugim.

Przykładem może też być walec metalowy lub drewniany toczący się po powierzchni stołu z malejącą prędkością, gdyż działa na walec hamująco siła tarcia tłoczonego.

II. Tarcie wewnętrzne.

• Definicja

Jest to stawianie oporu między poruszającymi się warstwami cieczy lub gazu względem siebie i rozproszenie energii tj. przekształcenie w ciepło energii mechanicznej dostarczonej do ciała w pięciu procesach jego odkształcenia innymi słowy jest to zjawisko powstawania sił stycznych, przeciwdziałających wzajemnemu przesuwaniu się części cieczy lub gazu.

Własności:

1. Siła tarcia jest niezachowawcza, co oznacza, że praca wykonana przez nią lub przeciwko niej, pomiędzy dwoma ustalonymi punktami, zależy od drogi, jaką obierzemy.

2. Na ciało spoczywające na stole nie działa żadna siła tarcia dynamicznego. Jeśli jednak chcemy je pociągnąć, odczuwamy siłę oporu przeciwną do kierunku ruchu. Tarcie jest siłą, która działa hamująco na ruch ciała.

3. Gdy ciało porusza się, tak że jego elementy stykające się z powierzchnią mają różne kierunki ruchu (np złożenie ruchu postępowego i obrotowego), to siły tarcia pochodzące od poszczególnych punktów styku ciała z podłożem mają różne kierunki.

4. Podobnie jak dla wszystkich rodzajów oddziaływań, również dla tarcia słuszna jest trzecia zasada dynamiki NEWTONA.

Wyznaczanie współczynnika tarcia:

Wyznacza się go za pomocą równi pochyłej:

Umieszczamy ciało na równiach o różnych kątach nachylenia α i wybieramy równię o maksymalnym kącie αm, dla którego ciało się jeszcze nie zsuwa. Skoro ciało się jeszcze nie zsuwa, to siła zsuwająca musi być równoważona przez siłę tarcia granicznego. A więc:

Tg = Fz

μsFgcosαm = Fgsinαm

μscosαm = sinαm

μs = tgαm

zatem współczynnik tarcia statycznego równy jest po prostu tangensowi maksymalnego kąta nachylenia równi, przy którym ciało się jeszcze z niej nie zsuwa.

8. UKŁADY NIEINERCJALNE. SIŁY BEZWŁADNOŚCI.

Układ nieinercjalny jest przeważnie związany z jakimś materialnym obiektem, w którym opisuje się dane zjawisko. Takim obiektem może być samochód, Ziemia, satelita na orbicie. Układ taki jest układem nieinercjalnym, bo działa na niego jakąś siła zewnętrzna. W układzie nieinercjalnym (np. na karuzeli): jeśli siedzimy na obracającej się karuzeli (a zatem jesteśmy w spoczynku względem tego układu nieinercjalnego),

to na pewno działa na nas siła (w tym wypadku tzw. siła dośrodkowa).

Siła bezwładności pojawia się tylko w nieinercjalnych układach odniesienia.

Siła bezwładności (siła inercji) to wyimaginowana, pozorna siła nie pochodząca od żadnego ciała, będąca wynikiem przyspieszenia układu odniesienia (czyli układu nieinercjalnego). Siła bezwładności nie jest siłą, gdyż definicja tej wartości nie jest do końca zgodna z pierwotnym założeniem I zasady dynamiki Newtona. Nazwa wzięła się stąd iż siła ma swój efekt, w niektórych układach nieinercjalnych można zauważyć efekt typowy dla dziania siły (np. przemieszczenie), jednakże dziejący się bez działania tej siły.

Jeszcze jednym istotnym spostrzeżeniem na temat sił bezwładności jest to, że jeśli układ odniesienia jest związany z jakimś obiektem materialnym (pojazdem, karuzelą itp.), to każdej sile bezwładności zawsze towarzyszy jakaś siła oddziaływań, która nadaje temu obiektowi przyspieszenie. Siła ta jest przeciwna do siły bezwładności ale jej nie równoważy (są to siły zupełnie innego rodzaju i nie można ich ze sobą składać).

Każdy układ nieinercjalny porusza się względem układów nieinercjalnych z pewnym przyspieszeniem, więc przyspieszenie danego ciała w układzie inercjalnym w jest inne niż przyspieszenie w' w układzie nieinercjalnym. Różnicę powyższych przyspieszeń oznacza się przez a i definiuje:

Przedstawmy wzór na przyspieszenie ciała względem układu inercjalnego, zakładając, że wypadkowa wszystkich sił działających na to ciało wynosi F:

Dzięki tym dwóm wzorom możemy wyprowadzić wzór na przyspieszenie ciała w dowolnym układzie nieinercjalnym:

Zauważamy, że w momencie gdy F = 0 (na ciało nie działają żadne siły, bądź działające siły równoważą się) ciało porusza się z przyspieszeniem -a czyli tak samo jak gdyby działała na nie siła -am. Jest to siła bezwładności.

Jak widzimy, siła bezwładności jest to siła, jaką należy wprowadzić, aby prawom ruchu w układzie nieinercjalnym nadać taką samą postać jak w ruchu w układzie inercjalnym. Teraz możemy wprowadzić "nieinercjalny" zapis drugiego prawa Newtona:

Fcałkowita = Foddziaływań + Fbezwładności

Dzięki zdefiniowaniu siły bezwładności mamy możliwość opisania ruchu w układach nieinercjalnych. Ważne jest, że sił bezwładności nie można stawiać obok sił wynikających z działania na dane ciało innych ciał. Siły bezwładności uwarunkowane są własnościami układu odniesienia, jakim się posługujemy.

Siły bezwładności pojawiają się w różnych sytuacjach:

• Siła bezwładności podczas ruszania pojazdu - gdy samochód rusza do przodu siła bezwładności wciska pasażerów w fotel

• Siła bezwładności podczas hamowania pojazdu - gdy samochód (lub inny pojazd) nagle hamuje, wtedy siła bezwładności rzuca pasażerem do przodu

• Siła odśrodkowa - gdy siedzimy na wirującej karuzeli siła bezwładności (nazywana w tym przypadku "siłą odśrodkową") wypycha nas i przedmioty przez nas trzymane na zewnątrz okręgu.

• Siła Coriolisa - siła ta jest nieco podobna do siły odśrodkowej i pojawia się, gdy opisujemy ruch ciała z poziomu obracającego się układu odniesienia

9. PRZYSPIESZENIE ODŚRODKOWE. SIŁA CORIOLISA.

Siła odśrodkowa - w fizyce, jedna z sił bezwładności występująca w obracających się układach odniesienia. Układy takie zalicza się do układów nieinercjalnych.

Siła odśrodkowa wyrażona jest wzorem:

Gdzie:

m- masa, v- składowa prędkości prostopadła do promienia krzywizny toru ruchu r , ω=v/r - chwilowa prędkość kątowa, a wektor r(wektor promienia) jest wektorem o początku w chwilowym środku obrotu układu (środku krzywizny toru ruchu) i końcu w miejscu analizowanego ciała.

Zatem wartość przyspieszenia odśrodkowego obliczymy podstawiając do tego równania, że F=ma, mamy wtedy:

a_odś=ω² R

gdzie R-promień obrotu

Siła odśrodkowa działa od osi obrotu, co oznacza, że będzie ona zmniejszać siłę ciężkości.

Jak z tego wynika, sumaryczna siła ciężkości (uwzględniająca zarówno grawitację jak i siłę odśrodkową) będzie zależna od położenia geograficznego ciała - największą wartość siła odśrodkowa ma na równiku (ma tam największy promień) , a na biegunach ma wartość zero. Dodatkowo jeszcze na równiku siła ta najefektywniej zmniejsza ciężar, co wynika z faktu, że działa ona tam dokładnie przeciwnie do siły ciężkości.

Dokładniejsza analiza ujawnia, że tylko składowa siły odśrodkowej równoległa do promienia powoduje zmniejszanie ciężaru.

Składowa prostopadła z kolei odpowiada m.in. za spłaszczenie kształtu Ziemi.

Siła odśrodkowa wywołana ruchem wirowym Ziemi wywołuje jeszcze inne zjawiska niż zmniejszanie ciężaru. Należy do nich m.in. siła Coriolisa.

Efekt Coriolisa - efekt występujący w obracających się układach odniesienia. Objawia się zakrzywieniem toru ciał poruszających się w takim układzie. Zakrzywienie to zdaje się być wywołane jakąś siłą (dlatego efekt Coriolisa nazywany jest najczęściej siłą Coriolisa), w rzeczywistości jest jednak spowodowany ruchem układu odniesienia. Wartość tej pozornej siły wynosi:

lub przyspieszenia:

Wyprowadzenie wzoru na przyspieszenie dla przypadku ruchu jednostajnego ciała wzdłuż promienia. :

Po obracającej się tarczy, w układzie odniesienia związanym z tarczą, od środka do jej krawędzi po promieniu porusza się ze stałą prędkością promieniową ciało. W tym układzie siła Coriolisa zapewnia ruch ciała po prostej.

W inercjalnym układzie odniesienia ruch ten jest złożeniem ruchu po prostej i po okręgu.

gdzie:

t- czas ruchu kulki od środka do krawędzi,

V- stała prędkość promieniowa ciała,

ac i Fc to odpowiednio przyspieszenie i siła Coriolisa

AB- przemieszczenie biegunowe (w bok), droga przebyta ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem ac w czasie t

W trakcie ruchu ciała tarcza się obraca. Po dotarciu kulki do krawędzi tarcza będzie obrócona tak, że punkt B będzie znajdował się tam gdzie obecnie jest punkt A.

Tak więc ruch ciała jest złożeniem dwóch ruchów. Jednostajnego prostoliniowego z prędkością V oraz ruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku prostopadłym do ruchu jednostajnego.

Ziemia obraca się wokół swojej osi i dlatego dla ciał poruszających się po powierzchni Ziemi występuje efekt Coriolisa.

-Aby zrozumieć na czym polega ta siła, wyobraźmy sobie, co się dzieje np. z obiektem poruszającym się od równika Ziemi w kierunku bieguna. Ponieważ w okolicach równika prędkość (liniowa, czyli w m/s) ruchu wirowego jest większa niż w pobliżu bieguna, to ciało poruszające się do bieguna północnego będzie miało "nadmiar" prędkości wynikającej z ruchu wirowego. I dlatego będzie ono zbaczało w kierunku zgodnym z kierunkiem obrotu Ziemi.

-Odwrotna sytuacja występuje, gdy ciało zbliża się od bieguna do równika - wtedy "brakuje mu" jakby prędkości adekwatnej do ruchu wirowego na danej szerokości geograficznej.

Dodatek:

• przyspieszenie w układzie inercjalnym jest składową 3 przyspieszeń:

kolejno: przyspieszenie w układzie obracającym się, przyspieszenie Coriolisa, przyspieszenie odśrodkowe.

• Siła pozorna przy stałej prędkości kątowej:

kolejno: siła Coriolisa, siła odśrodkowa.

10. PĘD. ZADADA ZACHOWANIA PĘDU.

Pęd - podstawowa wielkość fizyczna w mechanice opisująca ruch ciała. Pęd mają wszystkie formy materii, np. ciała obdarzone masą, pole elektromagnetyczne, pole grawitacyjne. Każde ciało, które posiada prędkość posiada również pęd.

• Pęd w mechanice klasycznej

Pęd punktu materialnego

Pęd punktu materialnego jest równy iloczynowi masy [m] i prędkości [v] punktu. Pęd jest wielkością wektorową; kierunek i zwrot pędu jest zgodny z kierunkiem i zwrotem prędkości.

Pęd, a raczej jego zmiana- ma ścisły związek z siłą działającą na ciało.

Zależność tę określa się nieraz mianem uogólnionej drugiej zasady dynamiki Newtona.

W układzie SI jednostka pędu nie ma odrębnej nazwy, a jest określana za pomocą jednostek prostszych, np. (N·s) lub (kg·m/s).

• Pęd w mechanice relatywistycznej

W mechanice relatywistycznej pęd swobodnej cząstki o masie spoczynkowej m poruszającej się z prędkością v określony jest wzorem

m(v) nazywamy masą relatywistyczną. Między pędem i energią cząstki zachodzi prawidłowość:

Dopuszcza to dwa różne znaki

• Pęd fotonu

Pęd fotonu p, jest określony wzorem

lub równoważnym,

Foton (jako cząstka) oddziałując z materią podczas odbicia, pochłonięcia, emisji zmienia swój pęd, a tym samym i pęd ciała z którym oddziałuje.

Zasada zachowania pędu :

Zasada zachowania pędu mówi, że dla dowolnego izolowanego układu punktów materialnych, bez względu na to, jakie jest oddziaływanie między nimi, suma wektorowa wszystkich pędów pozostaje stała.

Przez układ odosobniony, zwany też układem zamkniętym, rozumiemy zespół ciał, pomiędzy którymi działają tylko siły wewnętrzne, czyli siły akcji i reakcji, o których mówi III zasada dynamiki.

Lub inaczej:

2. Jeżeli na jakiś układ ciał nie działają siły (oddziaływania) zewnętrzne, wtedy układ ten ma stały pęd.

! Zmienić pęd układu może tylko siła działająca z zewnątrz układu.

Zasada zachowania pędu obowiązuje na przykład przy zderzeniach sprężystych i niesprężystych.

• Zderzenia doskonale sprężyste -

w ich wyniku ciała nie odkształcają się wzajemnie, a ich energia mechaniczna przed zderzeniem i po zderzeniu pozostaje stała.

m₁×v₁ + m₂×v₂ = m₁×u₁+ m₂×v₂

• Zderzenia doskonale niesprężyste -

w ich wyniku ciała odkształcają się, a część energii mechanicznej zmienia się w chwili zderzenia w energię wewnętrzną. W tym rodzaju zdarzeń nie jest spełniona zasada zachowania energii mechanicznej.

m₁×v₁ + m₂×v ₂ = (m₁+ m₂) u

Szczególnym przypadkiem zderzeń są zderzenia centralne, czyli takie, w których wektory prędkości zderzających się ciał leżą, zarówno przed zderzeniem, jak i po zderzeniu, na jednej prostej.

Przykłady zasady zachowania pędu:

Wyskakując z łódki stojącej przy brzegu jeziora uzyskujemy pęd skierowany w stronę lądu. Równocześnie łódka - zgodnie z zasadą zachowania pędu - oddala się nieco od brzegu uzyskując pęd równy co do wartości, lecz przeciwnie skierowany. Wypadkowy pęd układu łódka-człowiek pozostaje nadal równy zeru.

Pocisk porusza się w powietrzu, w pewnej chwili pod wpływem wybuchu wewnątrz niego (sił wewnętrznych) ulega rozerwaniu. Ponieważ siły wewnętrzne nie zmieniają wypadkowego pędu układu, więc odłamki rozlatują się na wszystkie strony w ten sposób, że suma wektorowa pędów w chwili rozerwania jest równa pędowi pocisku tworzącego jeszcze całość. Pomijając zmiany oporu powietrza spowodowane zmianą kształtu i wielkości ciała, środek masy odłamków porusza się po takim samym torze jak poruszał się pocisk.

Na zasadzie zachowania pędu opiera się działanie śruby okrętowej i śmigła samolotu. Śruba odrzuca wodę do tyłu, statek uzyskuje pęd skierowany ku przodowi. Podobnie śmigło odrzuca do tyłu masy powietrza, a samolot przesuwa się naprzód.

Znane są ogólnie zjawiska „odrzutu” przy użyciu broni palnej: dubeltówka czy karabin „uderzają” strzelca, lufa cofa się przy wystrzale. Zjawisko odrzutu jest wykorzystywane na szeroką skalę w samolotach odrzutowych i pociskach rakietowych. Zasada ich ruchu polega na tym, że w specjalnej komorze wewnętrznej odbywa się spalanie mieszanki wybuchowej. Gazy z dużą prędkością, a więc i z dużym pędem, uchodzą przez otwór w tylnej części samolotu lub rakiety, które równocześnie uzyskują pęd równy co do wartości, lecz skierowany ku przodowi.

21. Praca i moc w ruchu obrotowym:

Praca W ruchu obrotowego:

Praca W to jest zmiana energii kinetycznej Ekin

22. Zasada zachowania momentu pędu:

Zasada zachowania momentu pędu (L=const, jeśli M=0)

Zasada ta wynika z izotropii przestrzeni. Jeśli obrócimy nasz układ współrzędnych w

przestrzeni, to równania praw fizyki (przyrody) nie ulegną zmianie.

Moment pędu układu, na który nie działają momenty sił zewnętrznych, lub działające momenty sił się równoważą, pozostaje stały.

Resnick rozdz. 13 -> Tu są też ładne przykłady

23. Siły żyroskopowe:

Ruch precesyjny

Istnieje bardzo ciekawy przykład ruchu obrotowego ciała wokół osi, która nie jest osia

nieruchoma w inercjalnym układzie odniesienia. Jest to wszystkim dobrze znany z

dzieciństwa ruch zabawki zwanej bąkiem (żyroskopowym). Schematycznie ruch baka

przedstawiono na poniższym rysunku. W istocie moment pędu bąka (L) „krąży” po

powierzchni stożka o pionowej osi symetrii; kat rozwarcia stożka wynosi . Ruch taki

nazywamy ruchem precesyjnym.

Nutacja - zjawisko polegające na drganiu osi obrotu ciała poddanego precesji.

Nutacja pojawia się, gdy wirująca bryła nie ma osi symetrii, nie wiruje wokół osi symetrii bądź moment sił działających na bryłę (względem punktu zamocowania) nie jest równy zeru. Drgania nutacyjne występują np. w żyroskopach. Poddana jest im również oś Ziemi.

24. Warunki równowagi ciał sztywnych:

Zagadnienia równowagi ciała sztywnego

Ogólne warunki równowagi dowolnego układu sił (warto zajrzeć do wykładu z mechaniki i wytrzymałości )

Dowolny układ sił przyłożonych do ciała stałego wywoła skutek mechaniczny, zależny na ogół od punktu przyłożenia tych sił. Jako skutek mechaniczny rozumiemy zmianę ruchu lub odkształcenia tego ciała. Cechą charakteryzującą ciało sztywne jest to, że nie może się ono odkształcać pod wpływem przyłożonych sił. Jedynym skutkiem mechanicznym sił działających na ciało sztywne może więc być tylko zmiana ruchu.
Jeżeli obierzemy dowolny punkt 0 (punkt redukcji), możemy dowolny układ sił działających na bryłę sztywną zastąpić równoważnym jemu układem składającym się tylko z jednej siły przyłożonej w punkcie 0 oraz z pary sił.

Przyłóżmy w punkcie O n sił
oraz n sił


=
.
Nie wpłynie to na zmianę skutków mechanicznych, gdyż suma wszystkich tych sił przyłożonych w pkt. O jest równa zeru.
W rezultacie otrzymujemy n sił
zbieżnych w pkt. O, oraz n par sił
,

Redukcja dowolnego układu sił.

wielkość tej siły i momentu pary sił wynosi:

Układ sił jest wtedy w równowadze, gdy suma sił oraz suma momentów względem dowolnego punktu są równe zeru
.
W przestrzennym układzie sił (x, y, z) otrzymamy sześć równoważnych równań algebraicznych określających warunki równowagi sił działających na bryłę sztywną. Trzy równania rzutów sił na osie współrzędnych (x, y, z) oraz trzy równania momentów sił względem tych osi.
Będziemy zajmować się płaskim układem sił, gdy rozważany układ sił znajduje się w jednej płaszczyźnie (x, y).

25. Ruch prosty harmoniczny:

1. Ruch harmoniczny jest to taki ruch drgający w którym wychylenie z położenia równowagi zmienia się wraz z upływem czasu tak jak funkcja sinus, lub:

ruch harmoniczny jest to taki ruch drgający, w którym wartość działającej siły jest wprost proporcjonalna do wychylenia a wektor siły jest zwrócony do środka drgań Np. ruch ciężarka na końcu sprężyny lub ruch wahadła matematycznego (dla małych wychyleń).

Ruch harmoniczny jest ruchem niejednostajnie zmiennym.

2. Związek między ruchem jednostajnym po okręgu a ruchem harmonicznym: rzut punktu poruszającego się ruchem jednostajnym po okręgu na prostą równoległą do średnicy okręgu porusza się ruchem harmonicznym.

Z tego związku wynika, że do opisu ruchu harmonicznego można wykorzystać wielkości opisujące ruch po okręgu.

3. Wielkości opisujące ruch harmoniczny:

a) wychylenie x [m] - jest to odległość aktualnego położenia ciała od położenia równowagi (w którym działające siły się równoważą),

b) amplituda A [m] - maksymalne wychylenie z położenia równowagi,

c) faza ruchu  [rad] - kąt jednoznacznie określający położenie ciała,

d) faza początkowa ₀[rad] - kąt określający położenie początkowe ciała (najczęściej przyjmujemy ₀=0),

e) okres ruchu T [s] - czas w którym nastąpiło jedno pełne drganie,

f) częstotliwość f [Hz] - liczba pełnych drgań w ciągu jednej sekundy,

g) częstość kołowa  [Hz] - wielkość związana z częstotliwością wzorem

.

4.a) wahadło matematyczne jest to masa skupiona w jednym punkcie zawieszona na nieważkiej i nierozciągliwej nici (modelem takiego wahadła jest ciężka mała kulka zawieszona na mocnej nici).

b) wahadło fizyczne jest to dowolne ciało sztywne zawieszone powyżej środka masy, tak aby mogło wykonywać drgania.

5. Rezonans mechaniczny jest to zjawisko pobudzania ciała do drgań o rosnącej amplitudzie wskutek działania okresowo zmiennej siły zewnętrznej Okres zmian tej siły jest równy okresowi drgań własnych ciała.

26. Tłumienie w ruchu drgającym (dekrement tłumienia)

Tłumienie drgań - proces zmniejszania amplitudy drgań swobodnych w układzie drgającym wskutek strat wywołanych rozproszeniem (dyssypacją) energii.

Straty energii drgań wywołane są w mechanicznych układach drgających tarciem oraz wysyłaniem fal sprężystych w otaczający ośrodek

Przykładem może być ruch samochodu jadącego ze stałą prędkością, którego silnik musi pracować by pokonywać siłę oporu powietrza. Natomiast ruch tłoka w silniku może być przykładem ruchu okresowego, powtarzającego się w czasie, drgającego.

Oznaczając prędkość ciała przez v a współczynnik oporu ośrodka przez b, wzór na siłę oporu przybiera postać:

.

Równanie ruchu drgań tłumionych możemy więc zapisać następująco:

.

Rozwiązanie tego równania, czyli funkcja, która bezpośrednio opisuje ruch ciała ma postać:

.

Pierwszy człon tego wyrażenia (w nawiasie), który maleje w miarę upływu czasu i opisuje zmniejszanie się amplitudy wskutek tłumienia, nazywa się amplitudą drgania tłumionego. Wykres funkcji x(t) pokazano na Rys. 2.

Stała tłumienia b. Im większy jest współczynnik oporu ośrodka b, a dokładniej wartość b/2m, tym większe jest tłumienie i szybsze malenie amplitudy. Czynnik b/2m nazywa się stałą tłumienia.

Częstość kołowa ω.

Bez tłumienia częstość kołowa drgań ω jest równa
, natomiast w obecności tłumienia częstość kołowa ω′ jest mniejsza i równa
.

Obecność sił oporu ośrodka powoduje więc po pierwsze, zanikanie amplitudy drgań, a po drugie, zmniejszenie ich częstości.

Jeżeli siły oporu są zbyt duże, to ruch przestaje być ruchem periodycznym i wychylenie nie osiąga ujemnych wartości x, a tylko dąży wykładniczo do zera. Ruch zachowuje charakter okresowy wówczas gdy
.

Dekrement tłumienia (logarytmiczny dekrement tłumienia)

Wielkość charakteryzująca w sposób ilościowy tłumienie drgań w układzie liniowym. Jest to logarytm naturalny stosunku dwu kolejnych maksymalnych wychyleń drgającej wielkości w tę samą stronę

.

Wielkość δ - nazywamy logarytmicznym dekrementem tłumienia.

27 Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu

Drgania wymuszone zachodzą pod wpływem zewnętrznej siły, będącej źródłem energii podtrzymującej drgania.
Siła wymuszająca F_W ma zwykle charakter siły o wartości okresowo zmiennej:
F_W = F_W0sinωt
gdzie: F_W0 - amplituda siły wymuszającej.

Oto równanie ruchu: m(d²x/dt²) = - kx + F_o cos ωt

Amplituda drgań wymuszonych nie jest stała i zależy od częstości siły wymuszającej ω.
Amplituda drgań wymuszonych wyraża się wzorem:

gdzie: ω_o - własna częstotliwość drgań oscylatora, ω - częstotliwość drgań siły wymuszającej.

Amplituda przybiera bardzo duże wartości dla ω bardzo zbliżonego wartością do ω_o (mały mianownik). Jeśli jednak ω = ω_o, to mamy do czynienia z osobliwością. Równanie „wybucha”, bo mamy zero w mianowniku, co sugeruje nieskończoną amplitudę.
Oczywiście, w rzeczywistym świecie nigdy z czymś tak nierealnym nie mamy do czynienia. Jest tak dlatego, że każdy realny oscylator jest tłumiony, co objawia się tym, że nawet gdy siła wymuszająca drga zgodnie z częstością własną oscylatora (ω = ω_o), to mianownik nie jest zerem, bo pojawia się tam człon związany ze współczynnikiem tarcia.
Jednak amplituda osiąga wtedy największą, aczkolwiek skończoną wartość. Zjawisko, z którym mamy wtedy do czynienia to tzw. rezonans.

 • Rezonans mechaniczny zachodzi wówczas, gdy częstość siły wymuszającej ω jest równa częstości własnej układu ω₀ (czyli dla częstotliwości f = f₀). W warunkach rezonansu wzrasta gwałtownie amplituda drgań układu oraz jego energia.



Częstotliwość f₀ nosi nazwę częstotliwości rezonansowej.

28 Składanie drgań. Figury Lissajous.
Punkt materialny jednocześnie uczestniczy w dwóch drganiach

harmonicznych, które odbywających się wzdłuż jednej prostej z jednakową

częstością ω. Do składania tych drgań stosuje się metodę graficzną.

Krzywe Lissajous (figury Lissajous) to w matematyce krzywe opisane przez równania parametryczne

opisujące drgania harmoniczne

Kształt krzywych jest szczególnie uzależniony od współczynnika a/b. Dla współczynnika równego 1, krzywa jest elipsą, ze specjalnymi przypadkami okrąg (A = B, δ = π/2 radianów) oraz odcinek (δ = 0). Inne wartości współczynnika dają bardziej złożone krzywe, które są zamknięte tylko gdy a/b jest liczbą wymierną.Różne krzywe otrzymane przy składaniu drgań wzajemnie prostopadłychnazywa się figurami Lissajous. Kształt tych krzywych zależy od ilorazu amplitud,częstości i początkowych faz drgań.

30. Wyznaczanie stałej grawitacji G.

Skoro, zgodnie z I prawem Keplera planety krążą po torach zakrzywionych, to siła powodujące ten ruch musi być siłą dośrodkową. Newton stwierdził, iż siła powodująca ruch planet jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości od Słońca, a także podobny charakter mają siły powodujące ruch Księżyca wokół Ziemi i siła powodująca spadek ciał na Ziemię. Skoro, zgodnie z I prawem Keplera planety krążą po torach zakrzywionych, to siła powodujące ten ruch musi być siłą dośrodkową.

Waga skręcen

Na cienkiej, sprężystej nici, będącej osią obrotu, zawieszono poziomo lekki pręt P, obciążony na obu końcach kulkami o jednakowych masach m, tak że może on obracać się w płaszczyźnie poziomej (tu w płaszczyźnie rysunku). W pobliżu tych kulek, na podstawie, którą można obrócić, umieszcza się symetrycznie, dwie duże kule o masach M, tak by każda przyciągała „swoją” masę m z taką samą siłą. Pod wpływem przyciągania grawitacyjnego będzie następował obrót pręta i skręcanie nici, na której jest on zawieszony. W zależności od tego, z której strony mas m zbliżymy masy M (patrz Rys. 1., linie ciągłe, lub przerywane) kierunek obrotu pręta będzie różny. Skręcenie nici spowoduje powstanie sił sprężystych, przeciwdziałających obrotowi. Warunkiem równowagi statycznej takiego układu jest warunek, aby moment pary sił przyciągania grawitacyjnego obu par kulek 2 N_g, i moment sił sprężystości N_s były sobie równe. Pierwszy z nich obliczymy mnożąc siłę grawitacji obliczoną wg wzoru (1) przez odległość d środka masy m od osi obrotu.

2. Opis ruchu 1-wymiarowego (przykłady).

Ruch jednowymiarowy jest szczególnym przypadkiem ruchu dwuwymiarowego:

gdzie, i jest wektorem jednostkowym kierunkowym (wskazującym kierunek dodatni osi x).

w uproszczeniu (ruch odbywa się wzdłuż osi x):

czyli
, gdzie

, gdzie
zaś w ruchu dwuwymiarowym:

!!!!!

(Tablica 1)

!!!!!

(Wyprowadzenie tych wszystkich wzorów jest w Resnicku, jak jest potrzeba mogę je dorobić)

4. Układy inercjalne, transformacja Galileusza.

Definicja wg wikipedii:

Układ inercjalny - układ odniesienia, względem którego każde ciało niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z czymkolwiek porusza się bez przyspieszenia (tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym); zwany również układem "inercyjnym". Istnienie takiego układu jest postulowane przez pierwszą zasadę dynamiki Newtona. Zgodnie z zasadą względności Galileusza wszystkie inercjalne układy odniesienia są równouprawnione i wszystkie prawa mechaniki są w nich identyczne. Identyczne są również wszystkie prawa fizyki w układach inercjalnych. Uogólnienie tej zasady na układy nieinercjalne jest podstawową treścią ogólnej teorii względności.

Ziemię przyjmuje się często za układ inercjalny. W rzeczywistości, układ związany z Ziemią nie jest inercjalny ponieważ w związku z jej ruchem obrotowym, na ciała materialne znajdujące się na jej powierzchni, działają siły bezwładności: siła odśrodkowa oraz siła Coriolisa. Lepszym przybliżeniem układu inercjalnego jest układ związany ze Słońcem.

Definicja wg Resnicka:

Układ inercjalny to taki układ odniesienia, który albo spoczywa, albo porusza się ze stałą prędkością względem średnich pozycji gwiazd stałych, jest to zbiór układów określonych przez pierwszą zasadę dynamiki Newtona, mianowicie taki zbiór układów, w którym ciało nie ma przyspieszenia (a=0), jeśli w otoczeniu tego ciała nie ma innych ciał mogących wywierać na nie jakieś siły (F=0).

Transformacja Galileusza - opisuje świat na sposób tradycyjny. W transformacji Galileusza (zgodnej z mechaniką niutonowską) czas i przestrzeń są traktowane jako jednolite, niezmienne, niezależne od układu odniesienia. Tutaj czas jaki upływa między dwoma zdarzeniami jest niezależny od tego z poziomu jakiego układu odniesienia jest wyznaczany - powinien mieć tę samą wartość dla obserwatora spoczywającego, poruszającego się z ogromną prędkością, czy znajdującego się w silnym polu grawitacyjnym. Podobnie jest z odległością między dwoma punktami - jeśli w jednym układzie odległość ta wynosi x metrów, to tyle samo metrów odległość ta powinna mieć w dowolnym innym układzie odniesienia.

(W fizyce analogiczna sytuacja jest zazwyczaj prostsza, bo istnieje aparat matematyczny, który po podstawieniu liczb do odpowiednich równań pozwala na ścisłe ustalenie co zmierzy obserwator w innym układzie odniesienia. Ten układ równań tłumaczący świat jednego obserwatora, na świat innego, nazywany jest transformacją.)

Transformacja Galileusza prowadzi do wniosku, że prędkości postrzegane przez różnych obserwatorów nie muszą być takie same, ale niezmienne pozostają odległości między punktami i odstępy czasu pomiędzy wydarzeniami.

W życiu codziennym poruszamy się z prędkościami znacznie mniejszymi od prędkości światła i dlatego transformacja Galileusza bardzo dobrze opisuje najbliższe otoczenie człowieka. Dla przykładu, prędkości obiektów poruszających się w tym samym kierunku, odejmują się w ich układach odniesienia. Jeżeli na drodze wyprzedzamy samochód ciężarowy, który porusza się z prędkością 100 km/h w samochodzie jadącym z prędkością 130 km/h, to prędkość wyprzedzania jest równa różnicy obu prędkości i wynosi 30 km/h (130-100). Jeżeli samochód ciężarowy ma 20 m długości, to wyprzedzanie będzie trwało 2,4 s.

Zgodnie z transformacją Galileusza, kiedy dwa obiekty poruszają w przeciwnych kierunkach, to ich prędkości się dodają. Co stanie się, jeśli na drodze zza drzew wyłoni się TIR jadący z przeciwka z prędkością 70 km/h? W układzie odniesienia kierowcy samochodu osobowego, TIR będzie miał prędkość 200 km/h. (130 + 70).

41. Kontrakcja długości i dylatacja czasu.

Dylatacja czasu

   Rozpatrzmy rakietę, w której znajduje się przyrząd wysyłający impuls światła z punktu A, który następnie odbity przez zwierciadło Z, odległe o d, powraca do tego punktu A, gdzie jest rejestrowany (rysunek U.1.2).

Rys. U1.2. Pomiar czasu przebiegu impulsu świetlnego w dwóch układach odniesienia

Czas Δt' jaki upływa między wysłaniem światła, a jego zarejestrowaniem przez obserwatora będącego w rakiecie (rysunek a) jest oczywiście równy Δt' = 2d/c. Teraz to samo zjawisko opisujemy z układu nieruchomego obserwatora (rysunek b), względem którego rakieta porusza się w prawo z prędkością V. Chcemy, w tym układzie, znaleźć czas Δt przelotu światła z punktu A do zwierciadła i z powrotem do A. Jak widać na rysunku U1.2 (b) światło przechodząc od punktu A do zwierciadła Z porusza się po linii o długości S

 

(U1.8)

Zatem czas potrzebny na przebycie drogi AZA (to jest dwóch odcinków o długości S) wynosi

 

(U1.9)

Przekształcając to równanie otrzymujemy ostatecznie

 

(U1.10)

Widzimy, że warunek stałości prędkości światła w różnych układach odniesienia może być spełniony tylko wtedy gdy, czas pomiędzy dwoma zdarzeniami obserwowanymi i mierzonymi z różnych układów odniesienia jest różny. 

Prawo, zasada, twierdzenie Każdy obserwator stwierdza, że poruszający się zegar idzie wolniej niż identyczny zegar w spoczynku.

To zjawisko dylatacji czasu
jest własnością samego czasu i dlatego spowolnieniu ulegają wszystkie procesy fizyczne gdy są w ruchu. Dotyczy to również reakcji chemicznych, więc i biologicznego starzenia się.
Dylatację czasu zaobserwowano doświadczalnie między innymi za pomocą nietrwałych cząstek. Cząstki takie przyspieszano do prędkości bliskiej prędkości światła i mierzono zmianę ich czasu połowicznego zaniku.

2)kontrakcja długości

Skrócenie długości

Teraz rozpatrzmy inny przykład. W rakiecie poruszającej się z prędkością V, wzdłuż osi x' leży pręt o długości L'. Sprawdźmy jaką długość tego pręta zaobserwuje obserwator w układzie nieruchomym.
Pomiar długości pręta polega na zarejestrowaniu dwóch zjawisk zachodzących równocześnie na końcach pręta (np. zapalenie się żarówek). Ponieważ żarówki zapalają się na końcach pręta to Δx' = L'. Ponadto żarówki zapalają się w tym samym czasie (dla obserwatora w układzie spoczywającym ) to dodatkowo Δt = 0. Uwzględniając te warunki otrzymujemy na podstawie transformacji Lorentza

 

(U1.16)

gdzie Δx jest długością pręta L w układzie nieruchomym. Stąd

 

(U1.17)

Okazuje się, że pręt ma mniejszą długość, jest krótszy.

42. Temperatura i jej pomiar.

W SI jednostką temperatury jest kelwin8. Jeden kelwin (K) jest to 1/273,16 część tempera-

tury Tpt punktu potrójnego wody9.

Temperatura wyrażana w kelwinach nosi nazwę temperatury bezwzględnej.

W Polsce używamy powszechnie skali Celsjusza, w której 100◦C odpowiada temperaturze

wrzenia wody, a 0◦C — temperaturze zamarzania wody (w warunkach normalnych). Zauważmy, że 0◦C odpowiada 273,15K. Przeliczanie temperatur z jednej skali na drugą określają podane

niżej wzory:

t = T − 273,15 (1)

lub

T = t + 273,15, (2)

gdzie t — temperatura w skali Celsjusza, zaś T — temperatura bezwzględna wyrażona w kel-

winach.

W krajach anglosaskich jest używana jeszcze inna skala — Fahrenheita10, na której tem-

peratura topnienia lodu wynosi 32◦F, a temperatura wrzenia wody odpowiada 212◦F. Stąd otrzymujemy, że

t_F = 9/5t + 32°F oraz

∆T = ∆t = 5/9∆ t_F

W charakterze układu C stosujemy termometry, które, jak mówimy, mierzą temperaturę

zwaną często temperaturą empiryczną. Działanie termometrów opiera się na wykorzystaniu

zależności od temperatury:

1. Objętości cieczy — przykładem tego jest termometr rtęciowy. Ma on ograniczony zakres

stosowalności z uwagi na krzepnięcie rtęci (w temperaturze −39◦C). Termometr spirytu-

sowy zawodzi dla temperatur mniejszych od −85◦C.

2. Ciśnienia gazu przy stałej objętości — na tej zasadzie działa termometr gazowy. Wy-

korzystywana jest liniowa zależność pomiędzy ciśnieniem i temperaturą gazu idealnego

(patrz rozdział 2.2), którą obserwuje się w przemianie izochorycznej (wtedy V = const;

rozdział 2.3). Wykres zależności p(T ) jest linią prostą, która przecina oś odciętych, na

której odkładamy temperaturę, w punkcie, któremu w skali bezwzględnej przypisujemy

temperaturę 0K. W skali Celsjusza temperaturze tej przypisuje się wartość −273,15◦C

3. Objętości gazu przy stałym ciśnieniu — jest to wykorzystywane w innego rodzaju termo-

metrach gazowych.

4. Oporu elektrycznego przewodników prądu — zjawisko to wykorzystuje się np. w platyno-

wym termometrze oporowym, za pomocą którego mierzyć można temperatury w zakresie

od 14K do 630K.

5. Barwy określonych obiektów — wykorzystane jest to w pirometrach, za pomocą których

mierzymy temperatury T > 1000K.

6. Elektrycznego napięcia kontaktowego, które powstaje na złączu dwóch metali (patrz roz-

dział 6.4). Jest to wykorzystywane w termoparach.

Pomiar temperatury może być realizowany na wiele sposobów. W zależności od interakcji pomiędzy badanym obiektem pomiarowym a czujnikiem pomiarowym wyróżnić można:

• pomiar dotykowy (pomiar kontaktowy) - czujnik (termometr) styka się z obiektem, którego temperaturę mierzymy

• pomiar bezdotykowy (pomiar bezkontaktowy) - poprzez pomiar parametrów promieniowania elektromagnetycznego emitowanego przez rozgrzane ciało (promieniowanie cieplne) np. długości fali, ilości emitowanej energii przez obiekt.

W zależności od wykorzystanych do pomiaru własności fizycznych czujnika pomiarowego, wyróżnić można pomiar z wykorzystaniem zjawiska:

• odkształcenia bimetalu,

• wytwarzania napięcia elektrycznego na styku dwóch metali (termopara) w różnych temperaturach,

• zmiany rezystancji elementu (termistor),

• zmiany parametrów złącza półprzewodnikowego (termometr diodowy)

• zmiany objętości cieczy, gazu lub długości ciała stałego (termometr, termometr cieczowy),

• zmiana barwy - barwa żaru, barwa nalotowa stali, farba zmieniająca kolor pod wpływem temperatury,

• stożki Segera.

43. Ciepło właściwe, ciepło, pojemność cieplna.

1) Ciepło właściwe

Definicja
Ciepło właściwe substancji definiujemy jako dQ/dT czyli ilość ciepła, którą trzeba dostarczyć do jednostki masy, żeby spowodować jednostkową zmianę jej temperatury.

Gdy masę wyrażamy w kilogramach to mówimy o cieple właściwym wagowym
, a gdy wyrażamy ją w molach to mamy do czynienia z molowym ciepłem właściwym
. Ciepłem molowym nazywamy ilość ciepła potrzebną do ogrzania 1 mola gazu o jeden Kelwin.

Ciepło właściwe (oznaczane małą literą c) wprowadza się jako współczynnik proporcjonalności w prawie fizycznym mówiącym, że:

Zmiana energii wewnętrznej (ΔE) ciała jest proporcjonalna do masy ciała (m) i zmiany temperatury (Δt).

Prawo to jest prawem doświadczalnym i spełnione jest z pewnym przybliżeniem oraz pod warunkiem, że ciało nie zmienia stanu skupienia lub fazy.

Formalnie ciepło właściwe określa wzór:

gdzie: c - ciepło właściwe, (J/kg K),

m - masa substancji,

Q - ciepło dostarczane do układu,

T - temperatura.

Ciepło właściwe molowe definiuje wzór:

gdzie:

C - molowe ciepło właściwe, (J/mol K)

n - liczność (ilość substancji w molach)

Q - ciepło dostarczane do układu

Klasyczna teoria ciepła właściwego określa, że energia kinetyczna na jeden stopień swobody (oznaczany zwykle literą i) (zasada ekwipartycji energii) jednej cząsteczki wynosi kT/2, zatem energia jednego mola gazu doskonałego, która jest sumą energii kinetycznej cząsteczek wyraża się wzorem:

gdzie:

i - liczba stopni swobody cząsteczki,

N - liczba cząsteczek liczba Avogadra

k - stała Boltzmana,

T - temperatura

Ciepło właściwe przy stałej objętości

Ciepło właściwe jednego mola gazu utrzymywanego w stałej objętości oznaczamy c_v. Ponieważ dV = 0 więc zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki dU = dQ, a stąd

 

(15.26)

Dla gazu jednoatomowego (dla jednego mola) mamy na podstawie równania  U=3/2 NkT
 
. Zatem

 

(15.27)

Dla jednego mola gazu dwuatomowego na podstawie równania U=5/2 NkT = 5/2 RT

 

(15.28)

a dla jednego mola cząsteczek wieloatomowych z równania U=3 NkT = 3RT

 

(15.29)

Jak wynika z powyższych obliczeń mechanika klasyczna przewiduje ciepło właściwe niezależne od temperatury. Tymczasem badania pokazują, że jest to prawdziwe tylko dla gazów jednoatomowych. Dla pozostałych c_v rośnie z temperaturą.

Przykład takiej zależności jest pokazany na rysunku 15.4 gdzie przedstawiono ciepło właściwe c_v dla wodoru (cząsteczka dwuatomowa H₂) w funkcji temperatury (w skali logarytmicznej). Zauważmy, że w temperaturach niższych od 100 K,
co wskazuje, że w tak niskich temperaturach cząsteczka porusza się tylko ruchem postępowym i nie wiruje. Rotacja staje się możliwa dopiero w temperaturach powyżej 100 K; i dopiero wtedy
. Ale w temperaturach powyżej 2000 K ciepło właściwe c_v rośnie do wartości
co oznacza, że przybyły jeszcze dwa stopnie swobody. Ten wynik doświadczalny wiążemy z drganiami atomów w cząsteczkach. W tak wysokich temperaturach cząsteczka przestaje się zachowywać jak ciało sztywne i zderzenia między cząsteczkami powodują, że dwa atomy wodoru (w cząsteczce) będą drgały.

Rys. 15.4. Zależność molowego ciepła właściwego wodoru od temperatury

Wytłumaczenie tych zjawisk nie jest możliwe na gruncie mechaniki klasycznej. Dopiero mechanika kwantowa daje wyjaśnienie tych zmian ciepła właściwego. Na jej gruncie można pokazać, że do wzbudzenia rotacji potrzeba pewnej minimalnej energii. Podobnie jest dla ruchu drgającego, który może być wywołany dopiero dla dostatecznie wysokiej energii. Zatem w wysokich temperaturach oprócz energii kinetycznej ruchu postępowego i obrotowego istnieje jeszcze energia kinetyczna i potencjalna drgań. Zatem średnia energia wewnętrzna na cząsteczkę wodoru wynosi

 

(15.30)

a dla 1 mola

(15.31)

Stąd otrzymujemy molowe ciepło właściwe przy stałej objętości

 

(15.32)

 

Ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu

Zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki

 

(15.33)

a na podstawie równania

więc

 

(15.34)

Z równania stanu gazu doskonałego
wynika, że dla jednego mola gazu
więc

 

(15.35)

Dzieląc stronami przez dT otrzymujemy

 

(15.36)

a to z definicji jest równe ciepłu właściwemu przy stałym ciśnieniu c_p

 

(15.37)

Widzimy, że ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu jest większe od ciepła właściwego przy stałej objętości c_p > c_v. Dzieje się tak dlatego, że w przemianie izobarycznej trzeba dostarczać ciepła nie tylko na zmianę energii wewnętrznej, związaną ze zmianą temperatury, ale i na wykonanie pracy związanej ze zmianą objętości podczas gdy w przemianie izochorycznej praca jest równa zeru.

2) ciepło

Ciepło w termodynamice to jedna z form, obok pracy, przekazywania energii termicznej. Jest funkcją procesu.

Ciepło przepływa między ciałami, które znajdują się w stosunku do siebie w nierównowadze termicznej, tzn. gdy posiadają one różne temperatury. W niektórych, szczególnych przypadkach może ono jednak także przepływać między ciałami, których temperatury są jednakowe.

Każde ciało posiada określoną energię wewnętrzną, która jest sumą energii kinetycznej chaotycznego ruchu jego cząstek i energii wzajemnego oddziaływania na siebie tych cząstek. Energia wewnętrzna ciała jest zależna od jego temperatury. Ta część energii wewnętrznej, która jest wymieniana między ciałami, jest nazywana energią termiczną. Jeśli ciała mają kontakt termiczny, to część energii wewnętrznej ciała o wyższej temperaturze przepływa do ciała o temperaturze niższej. Przepływ energii trwa aż do wyrównania temperatur obu ciał. Ilość energii, która przepłynęła w ramach tego procesu, jest ilością ciepła, jaka została wymieniona pomiędzy oboma ciałami.

Energia swobodna przemian, które odbywają się tylko poprzez zmiany energii kinetycznej ruchu cząstek, jest dokładnie równa ciepłu tych przemian i dlatego często całkowicie utożsamia się te pojęcia.

Transport ciepła może zachodzić poprzez:

• Przewodzenie ciepła (bezpośredni kontakt układów),

• konwekcję (w polu grawitacyjnym planety ciepłe masy wody lub gazów unoszone są do góry, a chłodne masy opadają)

• Promieniowanie elektromagnetyczne.

Jednostką ciepła w układzie SI jest dżul[1J]. W innych układach jednostek ciepło wyrażane jest przez kalorie, ergi i inne. Tradycyjnie, we wzorach fizycznych, ciepło oznacza się literą Q.

3) pojemność cieplna

Pojemność cieplna - stosunek ilości ciepła (dQ) dostarczonego do układu, do odpowiadającego mu przyrostu temperatury (dT).

gdzie: C - pojemność cieplna

Q - ciepło

T - temperatura

Pojemność cieplna przypadająca na jednostkę masy to ciepło właściwe a na 1 mol to molowe ciepło właściwe (ciepło molowe).

Pojemność cieplna C jest związana z ciepłem właściwym poprzez prostą zależność:

gdzie: c - ciepło właściwe

m - masa substancji

Pojemność cieplną oblicza się często na podstawie molowego ciepła właściwego (ciepła molowe) wg wzoru:

gdzie: M - masa molowa

Wygodnie jest rozpatrywać pojemność cieplną molową. W wszystkich równaniach poniżej używa się właśnie molowych pojemności cieplnych.

Pojemność cieplna gazów

W przypadku układów zawierających fazy nieskondensowane (gazy i pary) często konieczne jest jeszcze rozróżnienie warunków w których mierzona jest (molowa) pojemność cieplna:

dla przemiany izochorycznej (przy stałej objętości układu, V=const):

dla przemiany izobarycznej (przy stałym ciśnieniu w układzie, p=const):

Dla jednoatomowego gazu doskonałego, gdzie energia wewnętrzna składa się jedynie z energii kinetycznej ruchu postępowego cząsteczek - na każdy stopień swobody przypada kT/2 (RT/2 dla mola cząsteczek):

Dla cząsteczek wieloatomowych, w zależności od ich budowy pojemność cieplna rośnie, gdyż oprócz ruchu postępowego cząsteczek mamy do czynienia z obrotem - dla cząsteczek liniowych możliwy jest wzrost energii cząsteczek poprzez obrót w 2 prostopadłych kierunkach, skąd:

Dla cząsteczki o budowie nieliniowej (obrót w 3 prostopadłych kierunkach):

C_v,nielin = 3R

Dla wszystkich gazów doskonałych dla przemiany izobarycznej:

C_p = C_v + R

Skąd dla gazu jednoatomowego:

44. Rozszerzalność termiczna ciał-prawo stygnięcia.

1) prawo stygnięcia

Prawo stygnięcia (prawo stygnięcia Newtona) - w fizyce prawo określajace z jaką szybkością ciała przekazują sobie energię cieplną w wyniku przewodnictwa ciepła. Prawo zostało sformułowane przez Izaaka Newtona.

Prawo nie obowiązuje jeżeli przekazywanie energii cieplnej odbywa się przez promieniowanie cieplne, konwekcję lub przewodzeniu towarzyszy zmiana stanu skupienia (np. parowanie).

Prawo stygnięcia (prawo stygnięcia Newtona) mówi, że:

"Szybkość z jaką układ stygnie jest proporcjonalna do różnicy temperatur pomiędzy układem a otoczeniem."

Matematycznie można to wyrazić jako:

gdzie:

• T - temperatura

• ΔT - różnica temperatur układu i otoczenia

• t - czas

• k - stała dla danego układu (zależna m.in. od fizycznej wielkości układu, jego pojemności cieplnej i jego wewnętrznej struktury, przenikalności cieplnej ścianek układu, rodzaju otoczenia)

Stygnięcie przy stałej temperaturze otoczenia

Z powyższego, przy założeniu stałości temperatury otoczenia, otrzymujemy eksponencjalną zależność temperatury stygnącego układu od czasu stygniecia:

gdzie ΔT(0) - początkowa różnica temperatur.

Stałość temperatury otoczenia możliwa jest do utrzymania gdy:

1. "otoczenie" ma nieskończenie wielką pojemność cieplną, lub

2. temperatura otoczenia utrzymywana jest za przez przemianę fazową zachodzącą w stałej temperaturze.

W praktyce stałość temperatury otoczenia można uzyskać przez użycie takich warunków eksperymentalnych jak:

• łaźnia laboratoryjna, np. łaźnia wodna lub olejowa (poprzez termostatowanie)

• woda z lodem (stała temperatura 0°C),

• wrząca woda przy ciśnieniu standardowym (stała temperatura 100°C) itp.

• ciekły azot w otwartym naczyniu (pod stałym ciśnieniem wrze w stałej temeraturze 77-78 K)

Stygnięcie przy zmiennej temperaturze otoczenia

Założenia

Jeżeli stygnący układ i bezpośrednie otoczenie układu są odizolowane od otoczenia termodynamicznego, prawo stygnięcia Newtona pozostaje słuszne, pomimo tego że temperatura otoczenia układu nie jest stała.

Najprościej można sobie wyobrazić 2 układy odizolowane termicznie od otoczenia a w kontakcie ze sobą poprzez przegrodę, przy czym wnętrza obu układów mają jednorodny rozkład temperatury (uzyskuje się np. poprzez mieszanie lub gdy szybkość przepływu ciepła przez przegrodę jest dużo mniejsza niż przepływ wewnątrz obu układów). Konieczne jest też założenie o (przynajmniej w przybliżeniu) stałości pojemności cieplnych obu układów (stałości ciepeł właściwych).

Przepływ ciepła przez przegrodę zależy od różnicy temperatur obu układów:

Oba układy są izolowane od otoczenia, a więc:

Rozwiązanie : Różnice pojemności cieplnej obu układów (inna masa, m, i inne ciepło właściwe, C), powodują że ta sama ilość ciepła (energii) zmienia temperaturę w różny sposób:

dQ₂ = − dQ₁   i   ΔQ₂ = − ΔQ₁

dQ₁ = m₁C₁dT₁   i   ΔQ₁ = m₁C₁ΔT₁

dQ₂ = m₂C₂dT₂   i   ΔQ₂ = m₂C₂ΔT₂

a także:

gdzie temperatura końcowa T_eq jest funkcją temperatur początkowych T_1,0 i T_2,0 oraz pojemności cieplnych układów:

Stąd:

gdzie ΔT jest róznicą temperatur układów "1" i "2":

ΔT = T₁ − T₂

Skąd wynika:

gdzie:

• 
  

I ostatecznie:

T₁(t) − T₂(t) = ΔT(t) = ΔT₀exp( − k_T,12t)

gdzie ΔT₀ jest początkową różnicą temperatur:

ΔT₀ = ΔT(0) = T_1,0 − T_2,0

oraz:

lub

Wynik końcowy zgodny jest więc (co do charakteru przebiegu eksponencjalnego) z prawem stygnięcia Newtona dla stygnącego układu w kontakcie z otoczeniem o stałej temperaturze. To tłumaczy również sukces tego prostego prawa nawet gdy jego podstawowe założenia nie są spełnione. Przypadek graniczny - stała temperatura otoczenia

Gdy pojemność układu "2" traktowanego tutaj jako "bezpośrednie otoczenie" jest dużo większa niż pojemność cieplna układu stygnącego:

m₂C₂ > > m₁C₁

wówczas temperatura układu "2" (bezpośredniego otoczenia stygnącego układu) pozostaje stała:

oraz:

gdzie współczynnik k_T,1 w równaniu jest tożsamy z wartością k w oryginalnym równaniu eksponencjalnym:

2)rozszerzalność cieplna ciał

Rozszerzalność cieplna (rozszerzalność termiczna) - właściwość fizyczna ciał polegająca na zwiększaniu się ich długości (rozszerzalność liniowa) lub objętości (rozszerzalność objętościowa) w miarę wzrostu temperatury.

Rozszerzalność liniowa

Przyjmuje się, że zmiana długości jest proporcjonalna do temperatury (mierzonej względem temperatury, w której długość jest równa x₀), co wyraża wzór na rozszerzalność liniową i objętościową:

gdzie odpowiednio dla rozszerzalności liniowej(objętościowej):

- długość(objętość) przedmiotu po zmianie temperatury,

- długość(objętość) pierwotna,

- współczynnik rozszerzalności liniowej(objętościowej).

Współczynnik rozszerzalności oznacza o ile zwiększa się długość/objętość jednostki długości/objętości po ogrzaniu o jednostkę temperatury (1K). Wyraża się wzorem:

Rozszerzalność liniową stosuje się tylko dla ciał stałych.

Rozszerzalność objętościowa

Rozszerzalność objętościowa i liniowa ciał stałych jest powiązana przybliżoną relacją λ_obj = 3λ_lin. Relacja ta wynika z podniesienia wzoru na objętość liniową do trzeciej potęgi i przyjęciu odpowiednich przybliżeń. Obowiązuje tylko dla ciał o rozszerzalności izotropowej.

Większość ciał zwiększa swą objętość w wyniku wzrostu temperatury, znanych jest jednak kilka wyjątków. Najpowszechniejszym jest woda, która w zakresie od 0°C do 4°C rozszerza się nietypowo czyli jej objętość maleje przy wzroście temperatury, a rośnie przy spadku temperatury.

Objętość gazów zależy nie tylko od temperatury ale też od ciśnienia, dlatego dla gazów współczynnik rozszerzalności objętościowej zależy od ciśnienia i można go obliczyć z równań Clapeyrona.

45. Praca gazu, ciepło w przemianach gazowych

Gdy dwa układy o różnych temperaturach zetkniemy ze sobą to ciepło Q przepływa z ciała cieplejszego do chłodniejszego.

Ciepło pobrane przez układ jest równe wzrostowi energii wewnętrznej układu plus pracy wykonanej przez układ nad otoczeniem zewnętrznym

czyli

(15.22)

To jest sformułowanie pierwszej zasady termodynamiki. W tym zapisie mamy rozdzieloną energię ciała na część makroskopową (energię mechaniczną) i mikroskopową (energię wewnętrzną). Zasada ta działa również w "drugą stronę" to znaczy, gdy nad układem zostanie wykonana praca to układ może oddawać ciepło. To równanie często piszemy w postać różniczkowej

(15.23)

Widzimy, że zmiana energii wewnętrznej związana jest z ciepłem pobieranym (dQ>0) lub oddawanym (dQ<0) przez układ oraz z pracą wykonaną przez układ (dW>0) lub nad układem (dW<0).

Jeżeli rozpatrzymy gaz działający siłą F na tłok o powierzchni S, jak na rysunku 15.3, to praca wykonana przez gaz wynosi

(15.24)

i wtedy

(15.25)

Rys. 15.3. Gaz wykonuje pracę przesuwając tłok na odcinku dx

Przykład:Dane:  V₁ = V₄ = 1 dm³, V₂ = V₃ = 2 dm³, p₁ = p₂ = 1 atm. oraz p₃ = p₄ = 1.01 atm. 

Na odcinku 1→2 gaz rozpręża się pod stałym ciśnieniem p₁ od objętości V₁ do objetości V₂ wykonując pracę W₁ = pΔV = 101 J. Zgodnie z równaniem stanu gazu doskonałego
temperatura gazu rośnie i rośnie jego energia wewnętrzna.

Na odcinku 2→3 objętość gazu jest stała i w związku z tym praca jest równa zeru. Ciśnienie gazu rośnie od p₂ do p₃ więc temperatura gazu rośnie i rośnie jego energia wewnętrzna.

Na odcinku 3→4 gaz jest sprężany pod stałym ciśnieniem p₃ od objętości V₃ do objetości V₄ więc praca wykonana nad układem W₂ = pΔV = 102 J. Temperatura gazu maleje i maleje jego energia wewnętrzna.

Na odcinku 4→1 objętość gazu jest stała i w związku z tym praca jest równa zeru. Ciśnienie gazu maleje od p₄ do p₁ więc temperatura gazu maleje i maleje jego energia wewnętrzna.

Przemiana	znak (+/0/)
		W	ΔU
1→2	+	+
2→3	0	+
3→4
4→1	0
1→2→3→4→1		0

  Praca wypadkowa w całym cyklu jest równa różnicy W₁
W₂ i liczbowo odpowiada polu zawartemu pomiędzy liniami na wykresie p(V) (pole prostokąta).  Ponieważ energia wewnętrzna jest funkcją stanu więc jej zmiana na drodze zamkniętej jest równa zeru.

Jeżeli przemiana gazowa zostanie przedstawiona w układzie współrzędnych p i V, to pracę W, wykonywaną przez rozprężający się gaz od objętości V1 do V2, możemy wyznaczyć obliczając pole pomiędzy osią Vi krzywą opisującą proces.

M

M

M

M

m

m

oś

pręt

Podstawa

dużych kul

Widok z góry

P

Rys. 1. Schemat wagi skręceń Cavendisha

---