img029

ALGORYTM OBLICZANIA CAŁEK ZUŁAMKÓW PROSTYCH II RODZAJU

Pokażemy teraz „mechnizm działania” wzoru (3.7), np. w przypadku n — 2:

f dt    1 t    _| 3 r dt    1 t    _f 3[ 1__t_ 1 r dt 1

^J(l ₊ t²)³    2-2    (Ut²)²    *Uut²)²    Ml + z*)²    4[211+/²⁺2J 1 + /²J

= ----—j-+—["—t-j+arctg tl + C.

4 [Ut²]² 8L1 + '² J

Dotychczasowe rozwiązania pozwalają podać jedną z receptur obliczania całek z ułamków prostych II. rodzaju.

gdzie A, B, a, b, c e R, n e N oraz A — b²- 4ac < 0

Algorytm obliczania całek z ułamków prostych II. rodzaju, tj. całek postaci (Ax + B)dx

[ax² +bx+c)

1. Przedstawić licznik funkcji podcałkowej w postaci a (ax¹ + bx + c)' + p=

= a(2ax + b) + p i wyznaczyć stałe a, p.

Liczby a i P wyznaczamy z równości wielomianów: Ax + B = a(2ax + b) + P, która jest równoważna układowi równań algebraicznych.

(A = laa [B = ab+P

(dlaczego?). Stąd otrzymujemy: a = —, p = B--(skąd wiadomo, że a * 0?) i wobec tego

la    la

Ax+ fi = — (lax + b) + \ B-—I 2a    l la)

oraz

f- ^Ax+B    dx = -if    ^2axt>. _ndx+(B-^]\-*-.

(*)    ^(ax² + fec+c)    (ax² + fer+c) v ) (ac²+&r+c)"

/„    K_n

2. Całkę postaci J obliczamy korzystając ze wzorów 22 lub 23 w tablicy 4 w zależności od tego czy n = 1, czy też n > 1.

Dodajmy, że całkę typu J_n można liczyć wprost przez podstawienie: t = ax² + bx + c = <p ,(*).

3. Aby obliczyć całkę typu K_n należy najpierw przekształcić trójmian kwadratowy

ax* + bx + c w sposób następujący:

2 .    <^2l5> Aj bj

ax +bx+c =--+a Lt+—

4a V 2aJ

A f la la b V 4a b=A*⁺V=ATa)

la b

29