img041
OBLICZANIE CAŁEK Z FUNKCJI WYMIERNYCH POSTACI Ć/faz*+b)”
Uwaga 3.6
Metoda wyodrębniania części wymiernej może być z powodzeniem stosowana do obliczania całek z ułamków prostych, zarówno I. jak i II. rodzaju, w przypadku n > 1 (zobacz (1.3) i (1.4)). Oznacza to, iż w praktyce wystarczy umieć obliczać całki z ułamków prostych I. i II. rodzaju, ale tylko w przypadku, gdy n = 1. Jest to z pewnością „racjonalny sposób studiowania”. Wymaga on jednak dodatkowo opanowania twierdzenia Ostrogradskicgo.
Na zakończenie podajemy jeszcze kilka metod obliczania całek nieoznaczonych z funkcji wymiernych specjalnych typów.
Obliczanie całek z funkcji wymiernych postaci
Całki postaci
f x'dx
(3.14)
(a, b e R, a * 0 oraz k, l, n e N)
J (ax* + ł>y
wygodnie jest obliczać przez podstawianie t = / = ę>_,(*) (zobacz twierdzenie 2.5), gdzie p > 1 jest największym wspólnym podzielnikiem liczb l + 1 oraz k (taka liczbap nie zawsze istnieje!).
PRZYKŁADY 3.11. Ponieważ w całce
J
x3dx
(3*’+2y 1=3 oraz k=2, więc podstawiamy / = x2 = <p_/x). Wówczas x=4t =(p(t) (oczywiście dla*
1-1
z odpowiedniego przedziału!) oraz <p'(l) = —t 2. Wobec tego
f ćdx 1 r tjj 2 (lf td
J (3x2 + 2)2 2J (3t + 2)2 \2J (3t +
(3x2+2)2
' (3' + 2)
W
tdt
(3t+2 Yls
(3f+2) 3.12. Zauważmy, iż w całce
(3/ + 2)2 x*dx
=lln(3*2+2)+1
1
9 3* +2
-+C.
i 1 --
Z=8 oraz k=6. Podstawiamy więc t = x3 =<p_l(x). Stąd x=t3 = <p(t) oraz (p'(t) = —t 3. Zatem
f x8dx 1 f t3t 5 , 1 f f2df 1 ft2+l-lJ(
A**1
Jf7Tlf" 3J(^f ' "3 l(t* + i)3J ,"3 J^ + 1f
41
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
img041 OBLICZANIE CAŁEK Z FUNKCJI WYMIERNYCH POSTACI Ć/faz*+b)” Uwaga 3.6 Metoda wyodrębniania częśc
img043 OBLICZANIE CAŁEK Z FUNKCJI WYMIERNYCH POSTACI x//(ax*+b)" C. Jeżeli +r
img045 OBLICZANIE CAŁEK Z FUNKCJI WYMIERNYCH POSTACI l/(j+o)”(jr+fc)’ Całkowanie funkcji wymiernych
img043 OBLICZANIE CAŁEK Z FUNKCJI WYMIERNYCH POSTACI x//(ax*+b)" C. Jeżeli +r
img045 OBLICZANIE CAŁEK Z FUNKCJI WYMIERNYCH POSTACI l/(j+o)”(jr+fc)’ Całkowanie funkcji wymiernych
114(1) 542. / § 9. Całkowanie niektórych funkcji przestępnych (niealgebraicznych) Do całek funkcji w
całki 3 2 79 6.4. Oblicz) ć całki funkcji wymiernych 3) /x2-2x+5QX b) / c>
img047 ODPOWIEDZI 1 WSKAZÓWKI Korzystając z rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste, obliczyć na
1) Wstęp Bardzo prosta i szybka funkcja do obliczania całek oznaczonych (w tym przypadku pola pod da
) VI. Pochodne funkcji postaci y=f(x) Zadanie 6.13. Obliczyć pochodną funkcji y=e~
kartka03b przedstawić 5. Funkcję wymierną /(ar) = + i) rzeczywistych. postaci sumy
1- Oblicz całkę: dx 3x -
Oblicz całkę: dx 9x2 — 62: + 10 Rozwiązanie: Całkowanie funkcji wymiernych r dx i f dx 1 1
158 2 314 XVI. Całki funkcji wymiernych Zadanie 16.16. Obliczyć całkę 314 XVI. Całki funkcji
155 2 308 XVI. Całki funkcji wymiernych Rozwiązanie. Obliczamy wyróżnik trójmianu znajdującego się w
całki z funkcji wymiernej dotyczące obliczania całki oznaczonej przy pomocy
31 §2. Całkowanie funkcji wymiernych Po obliczeniu w taki sposób wartości M i N, możemy także i tu
141 § 5. Przybliżone obliczanie całek oznaczonych występującej we wzorze (16), zauważmy, że funkcja
więcej podobnych podstron