Cialkoskrypt
8

34 1. Pojęcia podstawowe

Dwukrotne stosowanie operatora V

Operator V formalnie jest wektorem, można więc go mnożyć przez siebie skalarnie, wektorowo lub diadycznie, a otrzymany w ten sposób nowy operator zastosować zarówno do funkcji skalarnych, jak i wektorowych. Jeśli

cp = (p(x,y,z)

jest funkcją skalarną, to

V • (Vq>) = div(gradcp) = div(Vcp) =

fr 3 ~ 3,-3 1

i ——* + i ——h k —

^ 3x 3y    9z J r 3 -r 3 r 3

i--ł- ] — + k —

3x 3y 3z

<P =

9x²

3²    3² )

+-— H--—

3y²    9z'j

3²cp 3²tp 3²(p 3x²    9y²    3z²

Iloczyn V ■ V jest więc operatorem skalarnym, zwanym operatorem Laplace 'a. Oznaczamy go symbolem V² albo A, przy czym

_{n2 A} 3²    3²    3²

V —A—-—4--—4--—.

3x² 3y²    3z²

Operator Laplace’a można stosować zarówno do funkcji skalarnych, jak i wektorowych. Zastosujemy go do iloczynu dwóch funkcji skalarnych <p i ij/, Wówczas

A((p\|/) = V • V((p4/)= V(cpV\|/ + \|rVcp)-(pA\|/ + 2V(pV\j/ + \j/A(p.

Na szczególną uwagę zasługują następujące tożsamości;

rot grad cp = V x Vcp =

div rot v - V ■ (V x v) =

i	j	k
Ł	3	_3_
3x	3y	3z
3(p	3(p	3tp
9x	3y	3z
3	3	3
3x	ay	9z
3	_3_	A
3x	3y	3z
^Vx	^vy	^Vz

= 0,

= 0.

Ponadto bywa użyteczny wzór:

rot rot V = V x (V x v) = grad div V - Av.

Interpretacja fizyczna dywergencji

Rozważmy pewne pole wektorowe:

v = v _x (x, y, z)i + v_y (x, y, z) j + v _z (x, y, z)k.

Niech składowe wektory v_x, v_y, v_z tego pola przedstawiają prędkość cieczy nieściśliwej (p = const). Jeżeli w pewnym punkcie pola przybywa cieczy, to taki punkt nazywamy źródłem dodatnim. Jeżeli ubywa cieczy, to taki punkt nazywamy źródłem ujemnym (upustem). Źródła mogą się znajdować w punktach odosobnionych, pokrywać w sposób ciągły pewną powierzchnię lub wypełniać całkowicie pewną objętość. Wydajnością źródła nazywamy ilość cieczy dostarczaną przez źródło w jednostce czasu. Jeżeli źródła wypełniają w sposób ciągły pewną objętość, to wydajność jednostki objętości nazywamy gęstością przestrzenną wydajności. Całkowitą objętością pewnej objętości zawierającej źródła nazywamy różnicę między tą ilością cieczy, która w jednostce czasu wypływa z danej objętości, a ilością, która do niej wpływa w tym czasie. Aby tę wydajność znaleźć, obliczymy najpierw wydajność objętości elementarnej:

dV = dx dy dz.

Jeżeli cieczy w pewnej objętości przybywa, to na podstawie założenia, że ciecz jest nieściśliwa, a objętość się nie zmienia, można wnioskować, że prędkość wypływu musi być większa od prędkości wpływu.

. .    . . 3v_v (x +0-Ax,y,z)

dx

v_x (B) = v_x (A) + —— .^Ax, 0< 0 <1

B(x + Ax, y,z) -> v_x(B)

Rys. 1.14. Bilans masy w kierunku x w elemencie płynu

Niech v_x(A(x,y,z)) oznacza składową prędkości cieczy równoległą do osi x (rys. 1.14). Przy wypływie cieczy z elementu prędkość wypływu w punkcie B(x+Ax,y,z)