Cialkoskrypt
9

36 I, Pojęcia podstawowe

wynosi v_x(B) i możemy ją wyrazić za pomocą prędkości w punkcie A przez rozwinięcie v_x(B(x+Ax,y,z)) wokół punktu A(x,y,z). Stąd na mocy wzoru Taylora

,    .    .    .    3v„ (x + 0-zjx,y,z)

v_x (x + Ax,y,z) - v_x (x,y,z) +---—--- Ax, O<0 <1.

Punkt o współrzędnych x + 0-Ax,y,z leży pomiędzy punktami A i B na linii

łączącej te dwa punkty. W przedziale czasu (t, t + At) przez ścianę zawierającą punkt B przepływa objętość cieczy równa

^vx(^x>y>^z) +

3v_x (x + 0-Ax,y,z) 9x

Ax

AyAzAt,

a przez ścianę zawierającą punkt A przepływa objętość cieczy równa v_x (x,y,z) • AyAzAt, więc zmiana objętości cieczy w kierunku osi x, będąca różnicą powyższych wartości objętości

AQ_X ⁼

v_x(x,y,z) +

3v_x(x + © • Ax,y,z)

3x

Ax

AyAzAt - v_x (x, y,z)■ AyAzAt =

3v_x (x + 0-Ax,y, z)    3v,(c)    _    _    \

= —----- AxAyAzAt = —AxAyAzAt, C = C(x + 0 • Ax, y, z).

dx    3x

Jeśli średnica elementu (przekątna) Ax)² + (Ay)² +(Az)² —>0 , to punkty B i C dążą to punktu A. Wtedy

AQ, -»dQ, =^Awii)_{dxdydzdt =} ^._dV._dt dx    3x

i dla pozostałych osi (wyprowadzamy analogiczne wyrażenia na AQ_Z, AQ_y)

AQ —> dQ -

3v_y(x,y,z,t)

9y

dxdydzdt

3v_y

3y

■ dV • dt,

AQ_Z-»dQ, = _dxdydzdt . _dV. d..

OZ    oz

Zatem całkowity przyrost objętości cieczy w czasie dt wyraża się wzorem:

d0_x + d©_y + d0_z -

dV dt = (divv)dV dt.

3v 3v 3v. —Ł +—L ₊    ;

9x 9y 3z _y

Przyrost ten równa się ilości cieczy (pdVdt, którą wydają źródła zawarte w objętości elementarnej dV w czasie dt. Zatem

(divv)dx dy dz dt = (pdV dt, (p = divv.

Jeżeli wektor pola A oznacza prędkość cząsteczek cieczy danego pola wektorowego, to divA oznacza tę ilość cieczy, którą w jednostce czasu wydają źródła zawarte w jednostce objętości badanej cieczy. Niezależnie od znaczenia wektora A, pole skalarne (p = divA określamy jako pole źródłowe przynależne do pola

wektorowego'A . Na podstawie obliczonej wydajności objętości elementarnej możemy znaleźć całkowitą wydajność pewnego dowolnie ograniczonego obszaru & w jednostce czasu. Jest ona sumą wydajności wszystkich objętości elementarnych pewnej przestrzeni, co można przedstawić za pomocą całki:

JfJ divvdV = JJJ cpdV    (1.4)

V    V

lub

J divvdV = j <pdV.    (1.5)

v    v

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego

Rys. 1.15. Objętość płynu przepływającego przez walec

Niech obszar O. = V ogranicza powierzchnia zamknięta S. Wektor jednostkowy h normalny do powierzchni jest uważany za dodatni, gdy jest skierowany na zewnątrz powierzchni. Jeżeli podzielimy tę powierzchnię na elementy powierzchniowe dA, to z elementami powierzchniowymi możemy związać wektor

dA = ndA.

Jeśli wektor v określa prędkość cząsteczek rozważanej cieczy, to wielkość

vndA = v_ndA,

gdzie v_n oznacza składową wektora v w kierunku wektora n , wyznacza objętość cieczy przepływającej w jednostce czasu przez element dA. Objętość ta równa się objętości walca mającego podstawę dA i tworzące równe długości v (rys. 1.15).

Wielkość vdA, niezależnie od znaczenia wektora v, nazywamy strumieniem wektora v przez element dA.    t

Strumień wektora v przez dowolną powierzchnię A