Cialkoskrypt8

214 3. Kinematyka płynu

ZADANIE 3.10.20

Dane jest równanie ruchu elementu płynu

x = 4t³, y = 4t³, z = t³,

gdzie t jest to czas, a x, y, z to współrzędne [m]. Obliczyć rzuty wektora przyspieszenia w układzie współrzędnych w chwili, gdy składowa toru w kierunku osi x osiągnie wartość x = 8. Wyznaczyć równanie linii prądu.

Rozwiązanie

Punkt x = 8 zostanie osiągnięty po czasie t, gdy

8 = 4t³ :=> t ~y[l.

Ponieważ x = 4t³ lub t = (x/4)^, więc

v_x = — = 12t² =12 * dt

X 13

4

Podobnie dla y = 4t³ (t = (y / 4)^) otrzymujemy:

a dla z = t³ (

= t³ (t = z^

=^12lt

v = —= 12t² = l₂f" ^

^y dt U

v = — = 3t² = 3z^{3 z} dt

Ą&:

• v: -i‘ • ■%

oraz

d²x

d²y

— = 24t    —2--24t

dt² ’ dt²

d²z

dt²

•;i'r

= 6t.

>»Vh>    ..aRr--:_v. J₇r

Zatem wartość wypadkowej przyśpieszenia

a = V24² +24² + 6² t = 6^4² + 4² +1²    = 6\/66 =48,74 m/s².

Równanie linii prądu jest następujące:

dx _ dy _ dz

V V x ^v y

lub po podstawieniu składowych v_X) v_y, v_z:

•W

'■ti*

dx

¹²¹1

albo

dy	dz	lub ^dX	_ ^dy
2	2		2
ljfzy	3-z^3	X^3	y^3
UJ
dx	dy	. dx	dz
1 2 “	! 2	^1 1 2	2 ’
4^3 x^3	43y3	4^3 x^3	Z^3

dz

4 ³ • z³

a po scałkowaniu równania linii prądu są wyrażone zależnościami:

x³ = y³ +C i |-| = z³ + D.

Widać, że dla przepływu niestacjonarnego równanie toru: x = 4t³, y = 4t³, z = 4t' różni się od równania linii prądu.

ZADANIE 3.10.21

Określić linię prądu następujących pól prędkości:

1.    v = x i +(y + V*² +y²)I.

2.    v = (x²-y²)I + 2xy],

Rozwiązanie

Ad 1. Linia prądu jest określona następującym równaniem różniczkowym:

dx _ dy

v„

skąd

dx __

x y + .

Po podstawieniu

dy

lub    y₊Ji₊f y

+ y

dx x

y - tx => dy = tdx + xdt

otrzymamy równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych:

I I

dx    dx dx

i i

L