Dziawgo; Wyznacznik i rząd macierzy 4

64 Wyznacznik i rząd macierzy

	'1 2 + 5X	-5-27,	0"
~	0 -1-27,	7, + 2	1
	0 9-37,	7,-3	0
r(A) = 2«(9-		3X = 0 a 7,		- 3 =
r(A) = 3»(9-		37,9* 0 v X		- 3 9
np.:
			“1	17
dla X = 3 mamy		r(A) = r	0	-7
			0	0
dla X ^3 (np. X		— 0) mamy
		'1 2	-5	0~
	r(A) = r	0 -1	2	1
		0 9	-3	0

Aby rząd macierzy A był równy w wierszu trzecim muszą być su me zera.

Jeżeli jeden z elementów w wier szu trzeci jest różny od zera, tu będziemy mogli utworzyć trzec i wektor bazowy, a rząd macierzy

-11 O 5    1

O O

w,: = w,

w₂:= w₂ 1

= 2

= r

"1	2 j -5	0"
0	-1 i 2	1
0	i ©	0

3 w3:= -	co £ 1 co
w,:= w, + 5w3	"l	-13	0	0
^W2^; — w2 - 2w3 = r	0	5	0	1
co £ u co £	0	-3	1	0

Odp. Dla 7, = 3 r(A) = 2, a dla X =£ 3 r(A) = 3 .

Zadanie 5.

Sprawdzić czy wektory tworzą układ liniowo niezależny (bez korzystali u z definicji):

a)    a, = [1,0,-ll ^a2 = [2-2,3], a₃ = [-1,1,2]

b) b, = [1,-2,3,0,4,5]    b₂ = [0,1,-2,3,1,1,],    b₃ = [2,l,0,-l„2,l]

Rozwiązanie:

a)

1	2 -1
0	-2 1
-1	3 2

Z poprzednich obliczeń wynika, że na to aby wektory byty liniowo niezależne potrzeba i wystarcza, aby iit = —7 9* 0 znacznik z macierzy (o ile jest to macierz kwadratowaI, powstałej z wektorów, by! różny od zera.

()ilp. Wektory Iw<m /:i układ liniowo iiitvale/ny,

i I) 0	2~		'l	0	2 "
2 1	1		0	0	5
l -2	0	= r	0	-2	-6
0 3	-1		0	3	-1
1 1	2		0	1	-6
5 1	1		0	1	-9 J

Jeżeli macierz powstała z wektorów nie jest kwadratowa, to możemy policzyć rząd macierzy> (powstałej z tych wektorów). Zgodnie z definicją rzędu macierzy, dowiemy się ile jest wektorów liniowo niezależnych.

1 0	2		"1	0	0“
0 1	5		0	1	0
0 0	4		0	0	1
0 0	-16	= r	0	0	0
0 0	-11		0	0	0
II 0	-14		0	0	0

Rząd macierzy, powstałej z naszych wektorów, jest równy trzy. To znaczy, że mamy trzy wektory, tworzące układ liniowo niezależny.

\ lilp Wektory tworzą układ liniowo niezależny.

/ \ l> A N I A

' I Ula jakich wartości parametru a wektory są liniowo niezależne:

n) [a,1,1], [1,1,-1], [0,1,a],

I.) [a,1,-1,a], [1,0,a,-a], [0,-1,2,1], [-l,-a,l,a].

' >    ’ I »a< lać czy wektory są liniowo niezależne:

10    ^x ~[I >0,2,3],    y =    [1,3,2,0], z = [-l,2,-2,5],

l.)    x=[l, 1,1,1],    y =    [1,-1,1,-1], z = [2,3,l,4],    t = [2,1,1,3],

.1    x 11,2,1,3],    y    =    [1,-1,2,-1], z = [2,3,1,5],    t = [2,l,-l,3],

,1)    x 11,2,4,3],    y    =    [l,3,9,5], z = [-4,-2,14,0],

¹ t i Milir/yć wyznaczniki:

	1 0	0	0		0 2	1 3
	2 2	0	0		1 -1	-2 -1
.1)	1 1	3	0	, 10	2 3	1 5
	1 2	3	4		2 1	1 3