Elektronika W Zad cz 2 1

W Ciążyński - ELEKTRONIKA W ZADANIACH Częić 4 Charakterystyki częstotliwościowe układów elektronicznych

zniekształcane, dzielnik napięcia nie może zakłócać relacji pomiędzy zawartymi w sygnale składowymi, tzn. musi zmniejszać ich amplitudy dokładnie w takim samym stopniu i nie może zmieniać ich wzajemnego przesunięcia fazowego. Współczynnik podziału musi więc wyrażać się liczbą rzeczywistą, niezależną od częstotliwości.

Z tego powodu (dochodząc do schematu jak na rysunku 4.11.2) wprowadzimy jeszcze do dzielnika pojemność C/, która razem z pojemnością obwodu wejściowego oscyloskopu C₂ utworzy (tylko dla sygnałów zmiennych) drugi dzielnik napięcia o charakterze pojemnościowym. Dla wysokich częstotliwości impedancje pojemnościowe są bardzo małe i to one decydują o współczynniku podziału napięcia. Dla dzielnika pojemnościowego mamy wtedy:

“o* _ UjwCt    ¹    _ ^c.    ₍₄.

u,    (1/;ti)C,) + (l/ycoCj) (C₂/C,) +1 C,+C,    ¹    '

Aby także współczynnik podziału napięcia na dwu pojemnościach wynosił 0,1, należałoby przyjąć:

C, = 0,1 (C, + Cj); 0,9 C, = 0,1 C₂ czyli Ci = C2/9.

Ostatecznie mamy więc wartości parametrów dwoi elementów dzielnika napięcia:

R1 = 9 R2 = 90 MD, oraz    (4.11.2)

C, = C₂19= 100/9 pF= 11,1 pF.    (4.11.3)

Rozwiązanie 2

Dla Czytelnika, dla którego powyższe podejście (tzn. potraktowanie układu z rysunku 4.11.2 jako dwu nałożonych na siebie dzielników napięcia: rezystancyjnego i pojemnościowego) nie jest przekonywujące przedstawimy poniżej pełne rozwiązanie.

Admitancja Y₂ i odpowiadająca jej impedancja Z₂ dla równoległego połączenia rezystora R₂ i kondensatora C₂ wynoszą:

Y,=— +jwC, czyli Z, = — = —----=-^- (4.11.4)

R2    ¹ Y₂ (l/R₂) + j0)C₂    1 + jti)R₂C₂

Odpowiednio dla równoległego połączenia rezystora R/ i kondensatora C/ mamy:

Y. =— + /'coC.

¹ R, '

^{CZyU Z}' Y_x (!/«,) +ywC,

(4.11.5)

1 +

Współczynnik podziału napięcia (transmitancja napięciowa dzielnika) dla dowolnej częstotliwości sygnału wynosi:

K*

^UQ3C _    ^ jt1)/?₂C₂_ _

^u, Z,+Z₂    ^1    )    ^2    J ₊

1 + jb)R_iC_i 1 + jwR₂C₂ R₂ 1 + jwR_lC_l Z ostatniej postaci wyrażenia otrzymanej po kilku etapach przekształceń wynika, że współczynnik podziału napięcia może być niezależny od częstotliwości i wynosić:

1_

R 1 + jwR₂C₂

(4.11.6)

^osc _ ^ _ ^2	(4.11.7)
^U, l + A. ^Rl^+R2
^R2
tylko przy spełnieniu warunku:
*,C, ^=RiC2	(4.11.8)

W Ciązyruki - ELEKTRONIKA W ZADANIACH    I POWeTed by

Część 4: Charakterystyki częstotliwościowe układów elektronicznych    I    ■    ■    _

| Ml SlOl

Warunek ten możemy wypowiedzieć w taki sposób, że „należy doprowaRCTE^S^^^^^™ równości stałych czasowych obwodu wejściowego oscyloskopu (u nas wynosi ona 1 ms) i dodatkowych elementów dzielnika napięcia”. Przy dokładnym spełnieniu warunku (4.11.8) współczynnik podziału napięcia wyraża się liczbą rzeczywistą (wyrażenie 4.11.7), a więc dzielnik nie wprowadza przesunięcia fazowego dla żadnej częstotliwości sygnału. Wartości /?; i C/ wynikające z (4.11.7) i (4.11.8) są identyczne jak uzyskane w rozwiązaniu 1.

Otrzymany wynik ma wartość tylko dla zakresu częstotliwości, przy których rozpatrywany układ możemy jeszcze uważać za obwód o stałych skupionych. Przy jeszcze wyższych częstotliwościach (a ściślej: przy większych szybkościach zmian sygnału, tzn. krótszych czasach narastania i opadania zbocza impulsu) kabel połączeniowy musimy rozpatrywać jako linię transmisyjną o stałych rozłożonych.

Taki przebieg może być odwzorowany na oscyloskopie bez zniekształceń tylko wtedy, gdy zostanie spełniony warunek dopasowania impedancji wewnętrznej źródła sygnału i impedancji obwodu wejściowego oscyloskopu do impedancji falowej kabla (typowo jest to 50 O lub 750). Przy braku dopasowania fala napięciowa rozchodząca się w kablu jak w „linii długiej” z szybkością typowo ok. 2/3 szybkości światła w próżni (tzn. na końcu kabla o długości 1 m czoło impulsu napięciowego pojawia się po upływie ok. 5 ns) odbija się od końców kabla i przebieg na wyjściu kabla (odwzorowany na oscyloskopie) wynika z nałożenia fali padającej i fal pochodzących od wielokrotnych odbić. Tylko w warunkach dopasowania fala napięciowa nie odbija się od końców kabla. Te zagadnienia wychodzące poza zakres tego zbioru zadań są rozpatrywane w wielu podręcznikach, w rozdziałach traktujących o „obwodach o stałych rozłożonych”, lub o „liniach długich”.

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Jest to przedstawienie liczby zespolonej z we współrzędnych biegunowych przy wykorzystaniu wzoru Eulera: e* =cos(p+ ysincp

Podstawiając tę zależność do postaci trygonometrycznej liczby zespolonej z:

z = |z|[cos(p + y sin tp]

otrzymujemy postać wykładniczą tej liczby: z=\z\-e^

gdzie liczba rzeczywista |ż| jest modułem (wartością bezwzględną) liczby zespolonej, a liczba <p jest jednym z jej argumentów.

Przykład: Liczbę zespoloną z = 3 - _/3>/3 można przedstawić kolejno w postaci trygonometrycznej i wykładniczej jako:

z = 6[cos(-^) + ysin(“)] = 6-e ^1} =6-e'^Jeo'

Z postaci wykładniczej wynika bezpośrednio, że moduł przykładowej liczby zespolonej (długość odpowiadającego jej wektora na płaszczyźnie zespolonej) wynosi 6, a jej argument główny to -tt/3 radianów, czyli -60°.