Elektronika W Zad cz 2 6

W Ciązyński - ELEKTRONIKA W ZADANIACH Część A Charakterystyki częstotliwościowe układów elektronicznych

Zadanie 4.1

r

T

Narysować charakterystyki częstotliwościowe modułu i przesunięcia fazowego dla funkcji przejścia (transmitancji napięciowej) prostego filtru dolnoprzepustowego RC (układu inercji 1. rzędu) z rysunku 4.1.1. Wykresy wykonać w:

Rys. 4.1.1 Filtr dolnoprzepustowy RC, czyli układ inercyjny I-go rzędu

1.    liniowym układzie współrzędnych;

2.    logarytmicznym układzie współrzędnych;

3.    na płaszczyźnie fazowej.

Następnie przeanalizować w jaki sposób na uzyskane wyniki wpływa podłączenie do wyjścia filtru:

4.    pojemności obciążenia Cl- 0,1 pF;

5.    rezystancji obciążenia R_L = 9 kQ.

Rozwiązanie

Filtr dolnoprzepustowy z rysunku 4.1.1 dla jednej określonej częstotliwości wejściowego sygnału sinusoidalnego może być uważany za dzielnik napięcia. Współczynnik podziału napięcia określony przez wartość rezystancji R i wartość impedancji kondensatora U(ojC] dla tej częstotliwości jest stały (niezależny od amplitudy sygnału wejściowego), a więc jest to układ liniowy - dla wyrażonych liczbami zespolonymi wartości napięcia, prądu i impedancji obowiązuje prawo Ohma.

Dla dzielnika napięcia złożonego z dwu rezystorów analogiczny współczynnik podziału nie zależy także od częstotliwości, gdyż nie zależą od niej wartości rezystancji tworzących go rezystorów. W przypadku naszego filtru współczynnik podziału (moduł transmitancji) dla innej częstotliwości jest jednak inny, bo przy nie zmienionej wartości rezystancji R inna jest wtedy wartość impedancji kondensatora.

Mówimy że układ jest „filtrem”, gdyż w przypadku złożonych sygnałów ich składowe o różnych częstotliwościach (np. składowe harmoniczne) przedostają się na jego wyjście z różnym „wzmocnieniem”. Jest to filtr „dolnoprzepustowy", gdyż dla małych częstotliwości kondensator stanowi przerwę (przedstawia sobą dużą impedancję) i całe (lub prawie całe) napięcie wejściowe przedostaje się na wyjście. Przeciwnie, dla dużych częstotliwości kondensator, który przedstawia sobą wtedy bardzo małą impedancję zwiera zacisk wyjściowy do masy, a całe (lub prawie całe) napięcie wejściowe odkłada się na rezystorze.

Przystępując do dokładniejszej analizy możemy dla sinusoidalnego napięcia wejściowego u_wr o pewnej częstotliwości / (tzn. o częstotliwości kątowej, czyli „pulsacji” co = 2nf) napisać wyrażenie na prąd i jako iloraz napięcia wejściowego i sumy impedancji w obwodzie:

i ₌-^- ₍₄ ,

R + l/(jv)C)

Ten prąd pomnożony przez impedancję kondensatora daje napięcie wyjściowe:

1    u„    w„    „

^uwm^=uc~~.—-'=-i— = “—:——    (4.1.2)

•^/a)C    ju)C(R + —i-) ^{l +} J^(oRC

jioC

l-e^J

1

K_u(ja) = -

tJ\ + (oRC)²

w Ciq*yński - ELEKTRONIKA W ZADANIACH Crętt 4; Charakterystyki częstotliwościcAse układów elektronicznych

Transmitancja napięciowa (funkcja przejścia) układu ma więc pos zespolonego:

K.(M=-=- ¹

1 + ja RC

Lpowered by

Mi siol

K«

i.łir.rinini

(4.1.3)

Wyrażenie to możemy przedstawić:

• w postaci algebraicznej, tzn. jako sumę wektorową części rzeczywistej (łac.: realis) i części urojonej (łac.: imaginańus):

K_u (yco) = Re[K„ (yto)] + j Im [K_a (ja)]    (4.1.4)

Aby uzyskać taką postać należy licznik i mianownik wyrażenia (4.1.3) pomnożyć przez liczbę sprzężoną z mianownikiem, tzn. przez (1- jaiRC). Uzyskujemy wtedy: 1    . a RC

-J-,

„ , . .    1 - ja RC

K(ja) =-----7=-    ,

\-(j a RC)² l + (a)RC)²

l + (co RC)

Porównując tę postać z równaniem definicyjnym (4.1.4) mamy więc: 1

Re[AT„OU))] =

Im [K_u(ja)] = -

l + (aRC)² aRC

(4.1.5)

(4.1.6)

(4.1.7)

l + (coRCy

w postaci wykładniczej, tzn. w postaci wyrażenia określającego moduł k_u i przesunięcie fazowe <p_u transmitancji napięciowej zdefiniowane jak niżej:

=*„-<?*•    (4.1.8)

Do takiej postaci dochodzimy przekształcając na postać wykładniczą licznik i mianownik wyrażenia (4.1.3), co pokazano poniżej:

(4.1.9)

Jl + (a RC)² e

Porównując (4.1.8) i (4.1.9) otrzymujemy dwa wyrażenia, z których pierwsze pozwala na wykreślenie charakterystyki częstotliwościowej modułu k_u transmitancji (zwanej też „charakterystyką amplitudową”, gdyż określa ona dla każdej wartości co - czyli każdej /- stosunek amplitud napięcia wyjściowego i wejściowego):

k, = i ¹    (4.1.10)

V 1 + ((1) RC)²

a drugie pozwala na wykreślenie „charakterystyki fazowej”, tj. zależności od częstotliwości sygnału wartości kąta ip_u, tzn. przesunięcia fazowego pomiędzy napięciem wyjściowym a wejściowym:

W„=-arctg(aRC)    (4.1.11)

Jak widać w powyższych wyrażeniach występuje zależna od częstotliwości sygnału bezwymiarowa zmienna coRC = 2nf RC. Jeśli oznaczymy przez cuo odwrotność iloczynu wartości elementów R i C tworzących układ. tzn. przyjmiemy:

-^mI5    ^(4U2)

to stwierdzimy, że:

co 2nf f